Номер 374, страница 198 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 8. Интеграл. Глава 3. Первообразная и интеграл - номер 374, страница 198.

Условие.

374.-

Сила в $4 \text{ Н}$ растягивает пружину на $8 \text{ см}$. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на $8 \text{ см}$?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Работа, совершаемая при растяжении пружины, равна потенциальной энергии, которую пружина приобретает в результате деформации. Сила, необходимая для растяжения пружины, не является постоянной, а линейно увеличивается с увеличением растяжения. Эта зависимость описывается законом Гука:

$F = kx$

где $F$ – приложенная сила, $k$ – коэффициент жесткости пружины, а $x$ – её растяжение (удлинение).

Работа $A$, совершаемая переменной силой, вычисляется как площадь под графиком зависимости силы от перемещения. Для пружины этот график представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат, а площадь под ним – площадь треугольника. Поэтому работа равна произведению средней силы на величину растяжения:

$A = F_{ср} \cdot x = \frac{F_{начальная} + F_{конечная}}{2} \cdot x$

Так как пружина растягивается из состояния покоя, начальная сила $F_{начальная} = 0$. Формула для работы упрощается:

$A = \frac{F_{конечная}}{2} \cdot x$

В условии задачи даны конечная сила и конечное растяжение.

Дано:
Конечная сила $F = 4$ Н
Растяжение $x = 8$ см

Перед вычислением необходимо перевести единицы измерения растяжения в систему СИ (метры):

$x = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Теперь можно рассчитать работу, подставив значения в формулу:

$A = \frac{4 \text{ Н}}{2} \cdot 0.08 \text{ м} = 2 \text{ Н} \cdot 0.08 \text{ м} = 0.16 \text{ Дж}$

Альтернативный способ решения:

Можно сначала найти коэффициент жесткости пружины $k$ из закона Гука:

$k = \frac{F}{x} = \frac{4 \text{ Н}}{0.08 \text{ м}} = 50 \text{ Н/м}$

Затем вычислить работу как потенциальную энергию пружины $E_p$:

$A = E_p = \frac{kx^2}{2} = \frac{50 \text{ Н/м} \cdot (0.08 \text{ м})^2}{2} = \frac{50 \text{ Н/м} \cdot 0.0064 \text{ м}^2}{2} = 25 \cdot 0.0064 \text{ Дж} = 0.16 \text{ Дж}$

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 0.16 Дж.