Номер 377, страница 199 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 8. Интеграл. Глава 3. Первообразная и интеграл - номер 377, страница 199.

Условие.

377.— Вода, подаваемая с плоскости основания в цилиндрический бак через отверстие в дне, заполняет весь бак. Определите затраченную при этом работу. Высота бака равна $h$, радиус основания равен $r$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для определения работы, затраченной на заполнение цилиндрического бака водой, необходимо вычислить работу, совершаемую против силы тяжести при подъеме воды. Поскольку разные слои воды поднимаются на разную высоту, мы будем использовать метод интегрирования.

Введем систему координат, направив ось $y$ вертикально вверх от дна бака. Дно бака находится на уровне $y=0$.

Рассмотрим тонкий горизонтальный слой воды на высоте $y$ от дна. Пусть его толщина будет бесконечно малой величиной $dy$.

Площадь основания цилиндра, а следовательно, и площадь этого слоя, равна $S = \pi r^2$.

Объем этого элементарного слоя воды равен $dV = S \cdot dy = \pi r^2 dy$.

Пусть $\rho$ — плотность воды. Тогда масса этого слоя равна $dm = \rho \cdot dV = \rho \pi r^2 dy$.

Сила тяжести, действующая на этот слой, равна $dF = dm \cdot g = \rho g \pi r^2 dy$, где $g$ — ускорение свободного падения.

Вода подается с плоскости основания (с уровня $y=0$). Чтобы поднять этот элементарный слой на высоту $y$, необходимо совершить работу $dW$, равную произведению силы на перемещение:

$dW = dF \cdot y = (\rho g \pi r^2 dy) \cdot y = \rho g \pi r^2 y \, dy$

Полная работа $A$ по заполнению всего бака от дна ($y=0$) до верха ($y=h$) находится путем интегрирования элементарной работы $dW$ по всей высоте бака:

$A = \int_{0}^{h} dW = \int_{0}^{h} \rho g \pi r^2 y \, dy$

Поскольку величины $\rho$, $g$, $\pi$ и $r$ являются постоянными, их можно вынести за знак интеграла:

$A = \rho g \pi r^2 \int_{0}^{h} y \, dy$

Вычислим определенный интеграл:

$A = \rho g \pi r^2 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{h} = \rho g \pi r^2 \left( \frac{h^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = \frac{\rho g \pi r^2 h^2}{2}$

Таким образом, работа, затраченная на заполнение бака, зависит от плотности воды, ускорения свободного падения, а также квадратов радиуса основания и высоты бака.

Ответ: $A = \frac{\rho g \pi r^2 h^2}{2}$, где $\rho$ — плотность воды, а $g$ — ускорение свободного падения.