Номер 370, страница 198 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 8. Интеграл. Глава 3. Первообразная и интеграл - номер 370, страница 198.
№370 (с. 198)
Условие. №370 (с. 198)
скриншот условия

370.— Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
а) $y = x^2 + 1$, $x = 0$, $x = 1$, $y = 0;$
б) $y = \sqrt{x}$, $x = 1$, $x = 4$, $y = 0;$
в) $y = \sqrt{x}$, $x = 1$, $y = 0;$
г) $y = 1 - x^2$, $y = 0.$
Решение 1. №370 (с. 198)


Решение 3. №370 (с. 198)

Решение 4. №370 (с. 198)

Решение 5. №370 (с. 198)
Объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной неотрицательной функции $y = f(x)$ на отрезке $[a, b]$, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле:
$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$
а)
Криволинейная трапеция ограничена линиями $y = x^2 + 1$, $x = 0$, $x = 1$ и $y = 0$.
В данном случае $f(x) = x^2 + 1$, а пределы интегрирования $a = 0$ и $b = 1$.
Подставляем эти значения в формулу объема:
$V = \pi \int_{0}^{1} (x^2 + 1)^2 dx$
Раскроем скобки в подынтегральном выражении, используя формулу квадрата суммы:
$(x^2 + 1)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = x^4 + 2x^2 + 1$
Теперь вычислим определенный интеграл:
$V = \pi \int_{0}^{1} (x^4 + 2x^2 + 1) dx = \pi \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + x \right]_{0}^{1}$
Подставляем пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница:
$V = \pi \left( \left( \frac{1^5}{5} + \frac{2 \cdot 1^3}{3} + 1 \right) - \left( \frac{0^5}{5} + \frac{2 \cdot 0^3}{3} + 0 \right) \right) = \pi \left( \frac{1}{5} + \frac{2}{3} + 1 \right)$
Приводим дроби к общему знаменателю 15:
$V = \pi \left( \frac{3}{15} + \frac{10}{15} + \frac{15}{15} \right) = \pi \left( \frac{3+10+15}{15} \right) = \frac{28\pi}{15}$
Ответ: $\frac{28\pi}{15}$
б)
Криволинейная трапеция ограничена линиями $y = \sqrt{x}$, $x = 1$, $x = 4$ и $y = 0$.
Здесь $f(x) = \sqrt{x}$, пределы интегрирования $a = 1$ и $b = 4$.
Подставляем в формулу объема:
$V = \pi \int_{1}^{4} (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_{1}^{4} x dx$
Вычисляем интеграл:
$V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{4} = \pi \left( \frac{4^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right)$
$V = \pi \left( \frac{16}{2} - \frac{1}{2} \right) = \pi \left( \frac{15}{2} \right) = 7.5\pi$
Ответ: $\frac{15\pi}{2}$
в)
Криволинейная трапеция ограничена линиями $y = \sqrt{x}$, $x = 1$ и $y = 0$. Чтобы область была замкнутой, необходимо найти вторую границу интегрирования. Она определяется точкой пересечения графика функции $y = \sqrt{x}$ с осью абсцисс $y=0$.
$\sqrt{x} = 0 \implies x = 0$.
Таким образом, интегрирование производится по отрезку $[0, 1]$, то есть $a = 0$ и $b = 1$.
Вычисляем объем тела вращения:
$V = \pi \int_{0}^{1} (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_{0}^{1} x dx$
Вычисляем интеграл:
$V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = \pi \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{2}$
Ответ: $\frac{\pi}{2}$
г)
Фигура ограничена линиями $y = 1 - x^2$ и $y = 0$. Пределы интегрирования $a$ и $b$ в данном случае — это точки пересечения параболы $y = 1 - x^2$ с осью абсцисс ($y=0$).
Найдем эти точки:
$1 - x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = -1$ и $x = 1$.
Следовательно, пределы интегрирования $a = -1$ и $b = 1$.
Вычисляем объем по формуле:
$V = \pi \int_{-1}^{1} (1 - x^2)^2 dx$
Раскроем скобки в подынтегральном выражении:
$(1 - x^2)^2 = 1 - 2x^2 + x^4$
Вычисляем интеграл:
$V = \pi \int_{-1}^{1} (1 - 2x^2 + x^4) dx = \pi \left[ x - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^5}{5} \right]_{-1}^{1}$
Подставляем пределы интегрирования:
$V = \pi \left( \left( 1 - \frac{2 \cdot 1^3}{3} + \frac{1^5}{5} \right) - \left( (-1) - \frac{2 \cdot (-1)^3}{3} + \frac{(-1)^5}{5} \right) \right)$
$V = \pi \left( \left( 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} \right) - \left( -1 + \frac{2}{3} - \frac{1}{5} \right) \right)$
Раскрываем скобки и упрощаем:
$V = \pi \left( 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} + 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} \right) = \pi \left( 2 - \frac{4}{3} + \frac{2}{5} \right)$
Приводим к общему знаменателю 15:
$V = \pi \left( \frac{2 \cdot 15}{15} - \frac{4 \cdot 5}{15} + \frac{2 \cdot 3}{15} \right) = \pi \left( \frac{30 - 20 + 6}{15} \right) = \pi \left( \frac{16}{15} \right) = \frac{16\pi}{15}$
Ответ: $\frac{16\pi}{15}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 370 расположенного на странице 198 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №370 (с. 198), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.