Номер 370, страница 198 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2008 - 2025

Цвет обложки: зелёный, чёрный

ISBN: 978-5-09-019513-3

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Параграф 8. Интеграл. Глава 3. Первообразная и интеграл - номер 370, страница 198.

№370 (с. 198)
Условие. №370 (с. 198)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 198, номер 370, Условие

370.— Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

а) $y = x^2 + 1$, $x = 0$, $x = 1$, $y = 0;$

б) $y = \sqrt{x}$, $x = 1$, $x = 4$, $y = 0;$

в) $y = \sqrt{x}$, $x = 1$, $y = 0;$

г) $y = 1 - x^2$, $y = 0.$

Решение 1. №370 (с. 198)
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 198, номер 370, Решение 1 Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 198, номер 370, Решение 1 (продолжение 2)
Решение 3. №370 (с. 198)
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 198, номер 370, Решение 3
Решение 4. №370 (с. 198)
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 198, номер 370, Решение 4
Решение 5. №370 (с. 198)

Объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной неотрицательной функции $y = f(x)$ на отрезке $[a, b]$, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

а)

Криволинейная трапеция ограничена линиями $y = x^2 + 1$, $x = 0$, $x = 1$ и $y = 0$.

В данном случае $f(x) = x^2 + 1$, а пределы интегрирования $a = 0$ и $b = 1$.

Подставляем эти значения в формулу объема:

$V = \pi \int_{0}^{1} (x^2 + 1)^2 dx$

Раскроем скобки в подынтегральном выражении, используя формулу квадрата суммы:

$(x^2 + 1)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = x^4 + 2x^2 + 1$

Теперь вычислим определенный интеграл:

$V = \pi \int_{0}^{1} (x^4 + 2x^2 + 1) dx = \pi \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + x \right]_{0}^{1}$

Подставляем пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница:

$V = \pi \left( \left( \frac{1^5}{5} + \frac{2 \cdot 1^3}{3} + 1 \right) - \left( \frac{0^5}{5} + \frac{2 \cdot 0^3}{3} + 0 \right) \right) = \pi \left( \frac{1}{5} + \frac{2}{3} + 1 \right)$

Приводим дроби к общему знаменателю 15:

$V = \pi \left( \frac{3}{15} + \frac{10}{15} + \frac{15}{15} \right) = \pi \left( \frac{3+10+15}{15} \right) = \frac{28\pi}{15}$

Ответ: $\frac{28\pi}{15}$

б)

Криволинейная трапеция ограничена линиями $y = \sqrt{x}$, $x = 1$, $x = 4$ и $y = 0$.

Здесь $f(x) = \sqrt{x}$, пределы интегрирования $a = 1$ и $b = 4$.

Подставляем в формулу объема:

$V = \pi \int_{1}^{4} (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_{1}^{4} x dx$

Вычисляем интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{4} = \pi \left( \frac{4^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right)$

$V = \pi \left( \frac{16}{2} - \frac{1}{2} \right) = \pi \left( \frac{15}{2} \right) = 7.5\pi$

Ответ: $\frac{15\pi}{2}$

в)

Криволинейная трапеция ограничена линиями $y = \sqrt{x}$, $x = 1$ и $y = 0$. Чтобы область была замкнутой, необходимо найти вторую границу интегрирования. Она определяется точкой пересечения графика функции $y = \sqrt{x}$ с осью абсцисс $y=0$.

$\sqrt{x} = 0 \implies x = 0$.

Таким образом, интегрирование производится по отрезку $[0, 1]$, то есть $a = 0$ и $b = 1$.

Вычисляем объем тела вращения:

$V = \pi \int_{0}^{1} (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_{0}^{1} x dx$

Вычисляем интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = \pi \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{2}$

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

г)

Фигура ограничена линиями $y = 1 - x^2$ и $y = 0$. Пределы интегрирования $a$ и $b$ в данном случае — это точки пересечения параболы $y = 1 - x^2$ с осью абсцисс ($y=0$).

Найдем эти точки:

$1 - x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = -1$ и $x = 1$.

Следовательно, пределы интегрирования $a = -1$ и $b = 1$.

Вычисляем объем по формуле:

$V = \pi \int_{-1}^{1} (1 - x^2)^2 dx$

Раскроем скобки в подынтегральном выражении:

$(1 - x^2)^2 = 1 - 2x^2 + x^4$

Вычисляем интеграл:

$V = \pi \int_{-1}^{1} (1 - 2x^2 + x^4) dx = \pi \left[ x - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^5}{5} \right]_{-1}^{1}$

Подставляем пределы интегрирования:

$V = \pi \left( \left( 1 - \frac{2 \cdot 1^3}{3} + \frac{1^5}{5} \right) - \left( (-1) - \frac{2 \cdot (-1)^3}{3} + \frac{(-1)^5}{5} \right) \right)$

$V = \pi \left( \left( 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} \right) - \left( -1 + \frac{2}{3} - \frac{1}{5} \right) \right)$

Раскрываем скобки и упрощаем:

$V = \pi \left( 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} + 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} \right) = \pi \left( 2 - \frac{4}{3} + \frac{2}{5} \right)$

Приводим к общему знаменателю 15:

$V = \pi \left( \frac{2 \cdot 15}{15} - \frac{4 \cdot 5}{15} + \frac{2 \cdot 3}{15} \right) = \pi \left( \frac{30 - 20 + 6}{15} \right) = \pi \left( \frac{16}{15} \right) = \frac{16\pi}{15}$

Ответ: $\frac{16\pi}{15}$

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 370 расположенного на странице 198 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №370 (с. 198), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.