Номер 370, страница 198 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 8. Интеграл - номер 370, страница 198.

Условие.

370.— Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

а) $y = x^2 + 1$, $x = 0$, $x = 1$, $y = 0;$

б) $y = \sqrt{x}$, $x = 1$, $x = 4$, $y = 0;$

в) $y = \sqrt{x}$, $x = 1$, $y = 0;$

г) $y = 1 - x^2$, $y = 0.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной неотрицательной функции $y = f(x)$ на отрезке $[a, b]$, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

а)

Криволинейная трапеция ограничена линиями $y = x^2 + 1$, $x = 0$, $x = 1$ и $y = 0$.

В данном случае $f(x) = x^2 + 1$, а пределы интегрирования $a = 0$ и $b = 1$.

Подставляем эти значения в формулу объема:

$V = \pi \int_{0}^{1} (x^2 + 1)^2 dx$

Раскроем скобки в подынтегральном выражении, используя формулу квадрата суммы:

$(x^2 + 1)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = x^4 + 2x^2 + 1$

Теперь вычислим определенный интеграл:

$V = \pi \int_{0}^{1} (x^4 + 2x^2 + 1) dx = \pi \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + x \right]_{0}^{1}$

Подставляем пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница:

$V = \pi \left( \left( \frac{1^5}{5} + \frac{2 \cdot 1^3}{3} + 1 \right) - \left( \frac{0^5}{5} + \frac{2 \cdot 0^3}{3} + 0 \right) \right) = \pi \left( \frac{1}{5} + \frac{2}{3} + 1 \right)$

Приводим дроби к общему знаменателю 15:

$V = \pi \left( \frac{3}{15} + \frac{10}{15} + \frac{15}{15} \right) = \pi \left( \frac{3+10+15}{15} \right) = \frac{28\pi}{15}$

Ответ: $\frac{28\pi}{15}$

б)

Криволинейная трапеция ограничена линиями $y = \sqrt{x}$, $x = 1$, $x = 4$ и $y = 0$.

Здесь $f(x) = \sqrt{x}$, пределы интегрирования $a = 1$ и $b = 4$.

Подставляем в формулу объема:

$V = \pi \int_{1}^{4} (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_{1}^{4} x dx$

Вычисляем интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{4} = \pi \left( \frac{4^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right)$

$V = \pi \left( \frac{16}{2} - \frac{1}{2} \right) = \pi \left( \frac{15}{2} \right) = 7.5\pi$

Ответ: $\frac{15\pi}{2}$

в)

Криволинейная трапеция ограничена линиями $y = \sqrt{x}$, $x = 1$ и $y = 0$. Чтобы область была замкнутой, необходимо найти вторую границу интегрирования. Она определяется точкой пересечения графика функции $y = \sqrt{x}$ с осью абсцисс $y=0$.

$\sqrt{x} = 0 \implies x = 0$.

Таким образом, интегрирование производится по отрезку $[0, 1]$, то есть $a = 0$ и $b = 1$.

Вычисляем объем тела вращения:

$V = \pi \int_{0}^{1} (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_{0}^{1} x dx$

Вычисляем интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = \pi \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{2}$

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

г)

Фигура ограничена линиями $y = 1 - x^2$ и $y = 0$. Пределы интегрирования $a$ и $b$ в данном случае — это точки пересечения параболы $y = 1 - x^2$ с осью абсцисс ($y=0$).

Найдем эти точки:

$1 - x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = -1$ и $x = 1$.

Следовательно, пределы интегрирования $a = -1$ и $b = 1$.

Вычисляем объем по формуле:

$V = \pi \int_{-1}^{1} (1 - x^2)^2 dx$

Раскроем скобки в подынтегральном выражении:

$(1 - x^2)^2 = 1 - 2x^2 + x^4$

Вычисляем интеграл:

$V = \pi \int_{-1}^{1} (1 - 2x^2 + x^4) dx = \pi \left[ x - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^5}{5} \right]_{-1}^{1}$

Подставляем пределы интегрирования:

$V = \pi \left( \left( 1 - \frac{2 \cdot 1^3}{3} + \frac{1^5}{5} \right) - \left( (-1) - \frac{2 \cdot (-1)^3}{3} + \frac{(-1)^5}{5} \right) \right)$

$V = \pi \left( \left( 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} \right) - \left( -1 + \frac{2}{3} - \frac{1}{5} \right) \right)$

Раскрываем скобки и упрощаем:

$V = \pi \left( 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} + 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} \right) = \pi \left( 2 - \frac{4}{3} + \frac{2}{5} \right)$

Приводим к общему знаменателю 15:

$V = \pi \left( \frac{2 \cdot 15}{15} - \frac{4 \cdot 5}{15} + \frac{2 \cdot 3}{15} \right) = \pi \left( \frac{30 - 20 + 6}{15} \right) = \pi \left( \frac{16}{15} \right) = \frac{16\pi}{15}$

Ответ: $\frac{16\pi}{15}$