Номер 367, страница 193 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 8. Интеграл - номер 367, страница 193.

Условие.

367. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = 8x - 2x^2$, касательной к этой параболе в ее вершине и прямой $x = 0$.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = 8x - 2x^2$, касательной к этой параболе в ее вершине и прямой $x = 0$, необходимо выполнить несколько шагов.

Сначала найдем координаты вершины параболы $y = 8x - 2x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен -2). Абсцисса вершины $x_v$ находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$, где $a = -2$ и $b = 8$.

$x_v = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$.

Теперь найдем ординату вершины $y_v$, подставив значение $x_v = 2$ в уравнение параболы:

$y_v = 8(2) - 2(2)^2 = 16 - 2 \cdot 4 = 16 - 8 = 8$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2, 8)$.

Касательная к параболе в ее вершине является горизонтальной прямой, проходящей через эту точку. Уравнение такой прямой имеет вид $y = y_v$, следовательно, уравнение касательной — $y = 8$.

Теперь определим границы фигуры. Фигура ограничена следующими линиями:

• сверху — касательной $y = 8$;
• снизу — параболой $y = 8x - 2x^2$;
• слева — прямой $x = 0$.

Правой границей фигуры является вертикальная линия, проходящая через точку касания параболы и прямой $y=8$, то есть через вершину. Абсцисса этой точки — $x = 2$. Таким образом, область интегрирования находится в пределах от $x=0$ до $x=2$.

Площадь $S$ фигуры вычисляется как определенный интеграл от разности функции, ограничивающей фигуру сверху ($f(x) = 8$), и функции, ограничивающей фигуру снизу ($g(x) = 8x - 2x^2$), в найденных пределах:

$S = \int_{0}^{2} (f(x) - g(x)) dx = \int_{0}^{2} (8 - (8x - 2x^2)) dx = \int_{0}^{2} (8 - 8x + 2x^2) dx$.

Вычисляем интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница. Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции:

$\int (8 - 8x + 2x^2) dx = 8x - 8\frac{x^2}{2} + 2\frac{x^3}{3} = 8x - 4x^2 + \frac{2}{3}x^3$.

Теперь подставим пределы интегрирования:

$S = \left[ 8x - 4x^2 + \frac{2}{3}x^3 \right]_{0}^{2} = (8(2) - 4(2)^2 + \frac{2}{3}(2)^3) - (8(0) - 4(0)^2 + \frac{2}{3}(0)^3)$.

$S = (16 - 4(4) + \frac{2}{3}(8)) - 0 = (16 - 16 + \frac{16}{3}) = \frac{16}{3}$.

Площадь искомой фигуры равна $\frac{16}{3}$ квадратных единиц.

Ответ: $S = \frac{16}{3}$.