Номер 367, страница 193 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 8. Интеграл. Глава 3. Первообразная и интеграл - номер 367, страница 193.
№367 (с. 193)
Условие. №367 (с. 193)
скриншот условия

367. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = 8x - 2x^2$, касательной к этой параболе в ее вершине и прямой $x = 0$.
Решение 1. №367 (с. 193)

Решение 4. №367 (с. 193)


Решение 5. №367 (с. 193)
Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = 8x - 2x^2$, касательной к этой параболе в ее вершине и прямой $x = 0$, необходимо выполнить несколько шагов.
Сначала найдем координаты вершины параболы $y = 8x - 2x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен -2). Абсцисса вершины $x_v$ находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$, где $a = -2$ и $b = 8$.
$x_v = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$.
Теперь найдем ординату вершины $y_v$, подставив значение $x_v = 2$ в уравнение параболы:
$y_v = 8(2) - 2(2)^2 = 16 - 2 \cdot 4 = 16 - 8 = 8$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2, 8)$.
Касательная к параболе в ее вершине является горизонтальной прямой, проходящей через эту точку. Уравнение такой прямой имеет вид $y = y_v$, следовательно, уравнение касательной — $y = 8$.
Теперь определим границы фигуры. Фигура ограничена следующими линиями:
- сверху — касательной $y = 8$;
- снизу — параболой $y = 8x - 2x^2$;
- слева — прямой $x = 0$.
Правой границей фигуры является вертикальная линия, проходящая через точку касания параболы и прямой $y=8$, то есть через вершину. Абсцисса этой точки — $x = 2$. Таким образом, область интегрирования находится в пределах от $x=0$ до $x=2$.
Площадь $S$ фигуры вычисляется как определенный интеграл от разности функции, ограничивающей фигуру сверху ($f(x) = 8$), и функции, ограничивающей фигуру снизу ($g(x) = 8x - 2x^2$), в найденных пределах:
$S = \int_{0}^{2} (f(x) - g(x)) dx = \int_{0}^{2} (8 - (8x - 2x^2)) dx = \int_{0}^{2} (8 - 8x + 2x^2) dx$.
Вычисляем интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница. Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции:
$\int (8 - 8x + 2x^2) dx = 8x - 8\frac{x^2}{2} + 2\frac{x^3}{3} = 8x - 4x^2 + \frac{2}{3}x^3$.
Теперь подставим пределы интегрирования:
$S = \left[ 8x - 4x^2 + \frac{2}{3}x^3 \right]_{0}^{2} = (8(2) - 4(2)^2 + \frac{2}{3}(2)^3) - (8(0) - 4(0)^2 + \frac{2}{3}(0)^3)$.
$S = (16 - 4(4) + \frac{2}{3}(8)) - 0 = (16 - 16 + \frac{16}{3}) = \frac{16}{3}$.
Площадь искомой фигуры равна $\frac{16}{3}$ квадратных единиц.
Ответ: $S = \frac{16}{3}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 367 расположенного на странице 193 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №367 (с. 193), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.