Номер 369, страница 193 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 8. Интеграл. Глава 3. Первообразная и интеграл - номер 369, страница 193.
№369 (с. 193)
Условие. №369 (с. 193)
скриншот условия

369. Докажите равенство:
a) $ \int_a^b (f(x)+g(x))dx = \int_a^b f(x)dx + \int_a^b g(x)dx; $
б) $ \int_a^b k f(x)dx = k \int_a^b f(x)dx $ (где $k$ — постоянная).
Решение 1. №369 (с. 193)

Решение 5. №369 (с. 193)
а)
Для доказательства данного равенства воспользуемся основной теоремой анализа, известной как формула Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} \phi(x)dx = \Phi(b) - \Phi(a)$, где $\Phi(x)$ — любая первообразная для функции $\phi(x)$, то есть $\Phi'(x) = \phi(x)$.
Пусть $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, а $G(x)$ — первообразной для функции $g(x)$. Это означает, что по определению первообразной $F'(x) = f(x)$ и $G'(x) = g(x)$.
Рассмотрим левую часть доказываемого равенства: $\int_{a}^{b} (f(x)+g(x))dx$.
Чтобы применить формулу Ньютона-Лейбница, нам нужно найти первообразную для подынтегральной функции $f(x) + g(x)$. Используя свойство производной суммы, найдем производную от суммы первообразных $F(x) + G(x)$:
$(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x)$.
Таким образом, функция $H(x) = F(x) + G(x)$ является первообразной для функции $f(x) + g(x)$.
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница к левой части исходного равенства:
$\int_{a}^{b} (f(x)+g(x))dx = H(b) - H(a) = (F(b) + G(b)) - (F(a) + G(a))$.
Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:
$(F(b) + G(b)) - (F(a) + G(a)) = F(b) - F(a) + G(b) - G(a) = (F(b) - F(a)) + (G(b) - G(a))$.
Теперь рассмотрим правую часть доказываемого равенства: $\int_{a}^{b} f(x)dx + \int_{a}^{b} g(x)dx$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница к каждому из интегралов по отдельности:
$\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$
$\int_{a}^{b} g(x)dx = G(b) - G(a)$
Суммируя эти два выражения, получаем:
$\int_{a}^{b} f(x)dx + \int_{a}^{b} g(x)dx = (F(b) - F(a)) + (G(b) - G(a))$.
Мы видим, что выражения, полученные для левой и правой частей, идентичны. Следовательно, равенство доказано.
Ответ: Равенство $\int_{a}^{b} (f(x)+g(x))dx = \int_{a}^{b} f(x)dx + \int_{a}^{b} g(x)dx$ доказано, так как обе части равны выражению $(F(b)-F(a)) + (G(b)-G(a))$, где $F(x)$ и $G(x)$ — первообразные для $f(x)$ и $g(x)$ соответственно.
б)
Для доказательства этого равенства также воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} \phi(x)dx = \Phi(b) - \Phi(a)$.
Пусть $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$, а $k$ — некоторая постоянная величина (константа).
Рассмотрим левую часть доказываемого равенства: $\int_{a}^{b} kf(x)dx$.
Найдем первообразную для подынтегральной функции $kf(x)$. Используя правило дифференцирования произведения функции на константу, найдем производную от $kF(x)$:
$(kF(x))' = k \cdot F'(x) = kf(x)$.
Это означает, что функция $H(x) = kF(x)$ является первообразной для функции $kf(x)$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница к левой части исходного равенства:
$\int_{a}^{b} kf(x)dx = H(b) - H(a) = kF(b) - kF(a)$.
Вынесем общий множитель $k$ за скобки:
$kF(b) - kF(a) = k(F(b) - F(a))$.
Теперь рассмотрим правую часть доказываемого равенства: $k \int_{a}^{b} f(x)dx$.
Сначала вычислим определенный интеграл от $f(x)$ по формуле Ньютона-Лейбница:
$\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$.
Затем умножим полученный результат на константу $k$:
$k \int_{a}^{b} f(x)dx = k(F(b) - F(a))$.
Сравнивая результаты, полученные для левой и правой частей, мы видим, что они одинаковы. Следовательно, равенство доказано.
Ответ: Равенство $\int_{a}^{b} kf(x)dx = k \int_{a}^{b} f(x)dx$ доказано, так как обе части равны выражению $k(F(b)-F(a))$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 369 расположенного на странице 193 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №369 (с. 193), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.