Номер 369, страница 193 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 8. Интеграл - номер 369, страница 193.

Условие.

369. Докажите равенство:

a) $ \int_a^b (f(x)+g(x))dx = \int_a^b f(x)dx + \int_a^b g(x)dx; $

б) $ \int_a^b k f(x)dx = k \int_a^b f(x)dx $ (где $k$ — постоянная).

Решение 1.

Решение 5.

а)

Для доказательства данного равенства воспользуемся основной теоремой анализа, известной как формула Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} \phi(x)dx = \Phi(b) - \Phi(a)$, где $\Phi(x)$ — любая первообразная для функции $\phi(x)$, то есть $\Phi'(x) = \phi(x)$.

Пусть $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, а $G(x)$ — первообразной для функции $g(x)$. Это означает, что по определению первообразной $F'(x) = f(x)$ и $G'(x) = g(x)$.

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства: $\int_{a}^{b} (f(x)+g(x))dx$.

Чтобы применить формулу Ньютона-Лейбница, нам нужно найти первообразную для подынтегральной функции $f(x) + g(x)$. Используя свойство производной суммы, найдем производную от суммы первообразных $F(x) + G(x)$:

$(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x)$.

Таким образом, функция $H(x) = F(x) + G(x)$ является первообразной для функции $f(x) + g(x)$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница к левой части исходного равенства:

$\int_{a}^{b} (f(x)+g(x))dx = H(b) - H(a) = (F(b) + G(b)) - (F(a) + G(a))$.

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

$(F(b) + G(b)) - (F(a) + G(a)) = F(b) - F(a) + G(b) - G(a) = (F(b) - F(a)) + (G(b) - G(a))$.

Теперь рассмотрим правую часть доказываемого равенства: $\int_{a}^{b} f(x)dx + \int_{a}^{b} g(x)dx$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница к каждому из интегралов по отдельности:

$\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$

$\int_{a}^{b} g(x)dx = G(b) - G(a)$

Суммируя эти два выражения, получаем:

$\int_{a}^{b} f(x)dx + \int_{a}^{b} g(x)dx = (F(b) - F(a)) + (G(b) - G(a))$.

Мы видим, что выражения, полученные для левой и правой частей, идентичны. Следовательно, равенство доказано.

Ответ: Равенство $\int_{a}^{b} (f(x)+g(x))dx = \int_{a}^{b} f(x)dx + \int_{a}^{b} g(x)dx$ доказано, так как обе части равны выражению $(F(b)-F(a)) + (G(b)-G(a))$, где $F(x)$ и $G(x)$ — первообразные для $f(x)$ и $g(x)$ соответственно.

б)

Для доказательства этого равенства также воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} \phi(x)dx = \Phi(b) - \Phi(a)$.

Пусть $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$, а $k$ — некоторая постоянная величина (константа).

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства: $\int_{a}^{b} kf(x)dx$.

Найдем первообразную для подынтегральной функции $kf(x)$. Используя правило дифференцирования произведения функции на константу, найдем производную от $kF(x)$:

$(kF(x))' = k \cdot F'(x) = kf(x)$.

Это означает, что функция $H(x) = kF(x)$ является первообразной для функции $kf(x)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница к левой части исходного равенства:

$\int_{a}^{b} kf(x)dx = H(b) - H(a) = kF(b) - kF(a)$.

Вынесем общий множитель $k$ за скобки:

$kF(b) - kF(a) = k(F(b) - F(a))$.

Теперь рассмотрим правую часть доказываемого равенства: $k \int_{a}^{b} f(x)dx$.

Сначала вычислим определенный интеграл от $f(x)$ по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$.

Затем умножим полученный результат на константу $k$:

$k \int_{a}^{b} f(x)dx = k(F(b) - F(a))$.

Сравнивая результаты, полученные для левой и правой частей, мы видим, что они одинаковы. Следовательно, равенство доказано.

Ответ: Равенство $\int_{a}^{b} kf(x)dx = k \int_{a}^{b} f(x)dx$ доказано, так как обе части равны выражению $k(F(b)-F(a))$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.