Номер 362, страница 193 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 8. Интеграл - номер 362, страница 193.

Условие.

Вычислите интегралы (362–363).

362.—

a) $\int_{-\pi}^{2\pi} \sin \frac{x}{3} dx$;

б) $\int_{-2}^{2} \frac{dx}{\sqrt{2x+5}};

в) $\int_{0}^{3\pi} \frac{dx}{\cos^2 \frac{x}{9}};

г) $\int_{-2}^{6} \frac{dx}{\sqrt{x+3}}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для вычисления данного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ — первообразная для $ f(x) $.
Первообразная для функции $ f(x) = \sin\frac{x}{3} $ есть $ F(x) = -3\cos\frac{x}{3} $.
Подставим пределы интегрирования:
$ \int_{-\pi}^{2\pi} \sin\frac{x}{3}dx = \left[-3\cos\frac{x}{3}\right]_{-\pi}^{2\pi} = -3\cos\frac{2\pi}{3} - (-3\cos\frac{-\pi}{3}) = -3\left(-\frac{1}{2}\right) + 3\cos\frac{\pi}{3} = \frac{3}{2} + 3\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3 $.
Ответ: 3

б) Вычислим интеграл $ \int_{-2}^{2} \frac{dx}{\sqrt{2x+5}} $.
Подынтегральная функция $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x+5}} = (2x+5)^{-1/2} $.
Первообразная для нее $ F(x) = \sqrt{2x+5} $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{-2}^{2} \frac{dx}{\sqrt{2x+5}} = \left[\sqrt{2x+5}\right]_{-2}^{2} = \sqrt{2(2)+5} - \sqrt{2(-2)+5} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2 $.
Ответ: 2

в) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{3\pi} \frac{dx}{\cos^2 \frac{x}{9}} $.
Первообразная для функции $ f(x) = \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{9}} $ есть $ F(x) = 9\tan\frac{x}{9} $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{0}^{3\pi} \frac{dx}{\cos^2 \frac{x}{9}} = \left[9\tan\frac{x}{9}\right]_{0}^{3\pi} = 9\tan\frac{3\pi}{9} - 9\tan\frac{0}{9} = 9\tan\frac{\pi}{3} - 9\tan(0) = 9\sqrt{3} - 0 = 9\sqrt{3} $.
Ответ: $9\sqrt{3}$

г) Вычислим интеграл $ \int_{-2}^{6} \frac{dx}{\sqrt{x+3}} $.
Подынтегральная функция $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+3}} = (x+3)^{-1/2} $.
Первообразная для нее $ F(x) = 2\sqrt{x+3} $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{-2}^{6} \frac{dx}{\sqrt{x+3}} = \left[2\sqrt{x+3}\right]_{-2}^{6} = 2\sqrt{6+3} - 2\sqrt{-2+3} = 2\sqrt{9} - 2\sqrt{1} = 2(3) - 2(1) = 6 - 2 = 4 $.
Ответ: 4