Номер 358, страница 192 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 8. Интеграл - номер 358, страница 192.

Условие.

358. a) $\int_1^2 \frac{dx}{(2x+1)^2}$;

б) $\int_0^\pi 3 \cos \frac{x}{2} dx$;

в) $\int_1^{10} \frac{dx}{x^2}$;

г) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x dx.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{2} \frac{dx}{(2x+1)^2}$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{(2x+1)^2}$. Это можно сделать с помощью замены переменной. Пусть $u = 2x+1$, тогда $du = 2dx$ и $dx = \frac{du}{2}$.

$\int \frac{dx}{(2x+1)^2} = \int \frac{1}{u^2} \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int u^{-2} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{2u} + C = -\frac{1}{2(2x+1)} + C$.

Теперь вычислим определенный интеграл:

$\int_{1}^{2} \frac{dx}{(2x+1)^2} = \left[ -\frac{1}{2(2x+1)} \right]_{1}^{2} = \left(-\frac{1}{2(2 \cdot 2 + 1)}\right) - \left(-\frac{1}{2(2 \cdot 1 + 1)}\right) = -\frac{1}{2(5)} - \left(-\frac{1}{2(3)}\right) = -\frac{1}{10} + \frac{1}{6}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 30:

$-\frac{3}{30} + \frac{5}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$.

Ответ: $\frac{1}{15}$

б) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{\pi} 3 \cos{\frac{x}{2}} dx$ найдем первообразную функции $f(x) = 3 \cos{\frac{x}{2}}$.

Используя табличный интеграл $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$ и вынося константу за знак интеграла, получаем:

$\int 3 \cos{\frac{x}{2}} dx = 3 \int \cos{\frac{x}{2}} dx = 3 \cdot \frac{1}{1/2}\sin{\frac{x}{2}} + C = 6\sin{\frac{x}{2}} + C$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{\pi} 3 \cos{\frac{x}{2}} dx = \left[ 6\sin{\frac{x}{2}} \right]_{0}^{\pi} = 6\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - 6\sin\left(\frac{0}{2}\right) = 6 \cdot 1 - 6 \cdot 0 = 6$.

Ответ: $6$

в) Для вычисления интеграла $\int_{1}^{10} \frac{dx}{x^2}$ найдем первообразную для $f(x) = \frac{1}{x^2}$.

Представим функцию в виде $x^{-2}$. По формуле для интеграла степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ имеем:

$\int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$.

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{10} \frac{dx}{x^2} = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{10} = \left(-\frac{1}{10}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) = -\frac{1}{10} + 1 = \frac{9}{10}$.

Ответ: $\frac{9}{10}$

г) Для вычисления интеграла $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sin{2x} dx$ найдем первообразную для $f(x) = \sin{2x}$.

Используя табличный интеграл $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$, получаем:

$\int \sin{2x} dx = -\frac{1}{2}\cos{2x} + C$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sin{2x} dx = \left[ -\frac{1}{2}\cos{2x} \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = \left(-\frac{1}{2}\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right)\right) - \left(-\frac{1}{2}\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right)\right) = \left(-\frac{1}{2}\cos(\pi)\right) - \left(-\frac{1}{2}\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)$.

Так как $\cos(\pi) = -1$ и $\cos(\frac{\pi}{2})=0$, то:

$\left(-\frac{1}{2} \cdot (-1)\right) - \left(-\frac{1}{2} \cdot 0\right) = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$