Номер 356, страница 188 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 8. Интеграл. Глава 3. Первообразная и интеграл - номер 356, страница 188.

Условие.

356.—

a) $y = 3 \sin \left(x + \frac{3\pi}{4}\right), y = 0, x = -\frac{3\pi}{4}, x = \frac{3\pi}{4};$

б) $y = 2 \cos 2x, y = 0, x = -\frac{\pi}{4}, x = \frac{\pi}{4};$

в) $y = \sin x - \frac{1}{2}, y = 0, x = \frac{\pi}{6}, x = \frac{5\pi}{6};$

г) $y = 1 - \cos x, y = 0, x = -\frac{\pi}{2}, x = \frac{\pi}{2}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Задача заключается в вычислении площади криволинейной трапеции. Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле определенного интеграла:

$S = \int_a^b |f(x)| dx$

а)

Найдём площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 3 \sin(x + \frac{3\pi}{4})$, $y=0$, $x = -\frac{3\pi}{4}$ и $x = \frac{3\pi}{4}$.

Площадь вычисляется по формуле: $S = \int_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} |3 \sin(x + \frac{3\pi}{4})| dx$.

Для раскрытия модуля определим знак функции $f(x) = 3 \sin(x + \frac{3\pi}{4})$ на промежутке $[-\frac{3\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$.

Сделаем замену переменной $u = x + \frac{3\pi}{4}$. Если $x = -\frac{3\pi}{4}$, то $u = 0$. Если $x = \frac{3\pi}{4}$, то $u = \frac{3\pi}{2}$.

Функция $\sin(u)$ неотрицательна на отрезке $[0, \pi]$ и неположительна на отрезке $[\pi, \frac{3\pi}{2}]$.

Найдём значение $x$, соответствующее $u=\pi$: $x + \frac{3\pi}{4} = \pi \implies x = \pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

Следовательно, на отрезке $[-\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ функция $f(x) \ge 0$, а на отрезке $[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$ функция $f(x) \le 0$.

Интеграл необходимо разбить на два:

$S = \int_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} 3 \sin(x + \frac{3\pi}{4}) dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} (-3 \sin(x + \frac{3\pi}{4})) dx$

Вычислим каждый интеграл по отдельности. Первообразная для $3 \sin(x + \frac{3\pi}{4})$ есть $-3 \cos(x + \frac{3\pi}{4})$.

$\int_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} 3 \sin(x + \frac{3\pi}{4}) dx = [-3 \cos(x + \frac{3\pi}{4})]_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = -3 \cos(\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4}) - (-3 \cos(-\frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi}{4})) = -3 \cos(\pi) + 3 \cos(0) = -3(-1) + 3(1) = 6$.

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} -3 \sin(x + \frac{3\pi}{4}) dx = [3 \cos(x + \frac{3\pi}{4})]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} = 3 \cos(\frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi}{4}) - 3 \cos(\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4}) = 3 \cos(\frac{3\pi}{2}) - 3 \cos(\pi) = 3(0) - 3(-1) = 3$.

Искомая площадь равна сумме значений этих интегралов: $S = 6 + 3 = 9$.

Ответ: 9

б)

Найдём площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 2 \cos 2x$, $y=0$, $x = -\frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{\pi}{4}$.

Площадь вычисляется по формуле: $S = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} |2 \cos 2x| dx$.

На промежутке $x \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$, аргумент $2x$ изменяется в пределах от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$. На этом интервале $\cos(2x) \ge 0$, поэтому $|2 \cos 2x| = 2 \cos 2x$.

Интеграл принимает вид: $S = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} 2 \cos 2x dx$.

Поскольку подынтегральная функция $f(x)=2 \cos 2x$ является чётной, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, можно упростить вычисление:

$S = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2 \cos 2x dx = 4 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos 2x dx$.

Вычислим интеграл:

$S = 4 [\frac{1}{2} \sin 2x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = 2 [\sin 2x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = 2 (\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) - \sin(2 \cdot 0)) = 2 (\sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0)) = 2(1 - 0) = 2$.

Ответ: 2

в)

Найдём площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \sin x - \frac{1}{2}$, $y=0$, $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$.

Площадь вычисляется по формуле: $S = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} |\sin x - \frac{1}{2}| dx$.

Определим знак функции $f(x) = \sin x - \frac{1}{2}$ на промежутке $[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$.

Уравнение $\sin x = \frac{1}{2}$ имеет корни $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$ на интервале $[0, \pi]$. Между этими корнями, например, при $x=\frac{\pi}{2}$, имеем $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, что больше $\frac{1}{2}$. Следовательно, на всем отрезке $[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$ выполняется неравенство $\sin x \ge \frac{1}{2}$, а значит $f(x) \ge 0$.

Таким образом, модуль можно опустить:

$S = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} (\sin x - \frac{1}{2}) dx$.

Вычислим интеграл:

$S = [-\cos x - \frac{1}{2}x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} = (-\cos(\frac{5\pi}{6}) - \frac{1}{2}\frac{5\pi}{6}) - (-\cos(\frac{\pi}{6}) - \frac{1}{2}\frac{\pi}{6})$.

Зная, что $\cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$S = (-(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{5\pi}{12}) - (-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{12} = \sqrt{3} - \frac{4\pi}{12} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$

г)

Найдём площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 1 - \cos x$, $y=0$, $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$.

Площадь вычисляется по формуле: $S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} |1 - \cos x| dx$.

На промежутке $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ выполняется неравенство $0 \le \cos x \le 1$. Следовательно, $1 - \cos x \ge 0$ на данном отрезке, и модуль можно опустить.

$S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos x) dx$.

Подынтегральная функция $f(x)=1 - \cos x$ является чётной, поэтому:

$S = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos x) dx$.

Вычислим интеграл:

$S = 2 [x - \sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2 ((\frac{\pi}{2} - \sin(\frac{\pi}{2})) - (0 - \sin 0)) = 2(\frac{\pi}{2} - 1 - 0) = \pi - 2$.

Ответ: $\pi - 2$