Номер 350, страница 184 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 7. Первообразная - номер 350, страница 184.

Условие.

350.-

Точка движется прямолинейно с ускорением $a(t) = 12t^2 + 4$. Найдите закон движения точки, если в момент $t = 1 \text{ с}$ ее скорость равна $10 \text{ м/с}$, а координата равна $12$ (единица измерения $a$ равна $1 \text{ м/с}^2$).

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Закон движения точки — это функция зависимости ее координаты $x$ от времени $t$, то есть $x(t)$. Чтобы найти эту функцию, необходимо дважды проинтегрировать заданную функцию ускорения $a(t)$, используя начальные условия для определения констант интегрирования.

Шаг 1: Нахождение функции скорости $v(t)$

Скорость $v(t)$ является первообразной для ускорения $a(t)$, то есть $v(t) = \int a(t) dt$. Интегрируем заданную функцию ускорения $a(t) = 12t^2 + 4$:

$v(t) = \int (12t^2 + 4) dt = 12 \cdot \frac{t^3}{3} + 4t + C_1 = 4t^3 + 4t + C_1$

Здесь $C_1$ — постоянная интегрирования. Чтобы найти ее значение, воспользуемся условием, что в момент времени $t = 1$ с скорость $v(1) = 10$ м/с.

Подставляем $t=1$ и $v(1)=10$ в полученное уравнение для скорости:

$10 = 4(1)^3 + 4(1) + C_1$

$10 = 4 + 4 + C_1$

$10 = 8 + C_1$

$C_1 = 2$

Таким образом, функция скорости имеет вид:

$v(t) = 4t^3 + 4t + 2$

Шаг 2: Нахождение закона движения $x(t)$

Координата $x(t)$ (закон движения) является первообразной для скорости $v(t)$, то есть $x(t) = \int v(t) dt$. Интегрируем найденную функцию скорости $v(t) = 4t^3 + 4t + 2$:

$x(t) = \int (4t^3 + 4t + 2) dt = 4 \cdot \frac{t^4}{4} + 4 \cdot \frac{t^2}{2} + 2t + C_2 = t^4 + 2t^2 + 2t + C_2$

Здесь $C_2$ — вторая постоянная интегрирования. Для ее нахождения используем условие, что в момент времени $t = 1$ с координата $x(1) = 12$.

Подставляем $t=1$ и $x(1)=12$ в уравнение для координаты:

$12 = (1)^4 + 2(1)^2 + 2(1) + C_2$

$12 = 1 + 2 + 2 + C_2$

$12 = 5 + C_2$

$C_2 = 7$

Подставив значение $C_2$, получаем искомый закон движения точки:

$x(t) = t^4 + 2t^2 + 2t + 7$

Ответ: $x(t) = t^4 + 2t^2 + 2t + 7$.