Страница 184 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

346. — Найдите общий вид первообразных для функции:

a) $f(x) = 1 - \cos 3x + 2 \sin \left(\frac{\pi}{3} - x\right);$

б) $f(x) = \frac{1}{\sin^2 4x} + \frac{1}{\sqrt{2-x}} - 3x^2;$

в) $f(x) = \frac{2}{\cos^2 (3x+1)} - 3 \sin (4-x) + 2x;$

г) $f(x) = \frac{1}{(3-2x)^3} + \frac{3}{\sqrt{5x-2}} - 2 \cos \left(\frac{\pi}{4} - x\right).$

а) Для нахождения общего вида первообразных для функции $f(x) = 1 - \cos 3x + 2 \sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right)$ необходимо найти ее неопределенный интеграл $F(x) = \int f(x) dx$.
Интегрируем функцию почленно, используя свойство линейности интеграла:
$F(x) = \int \left(1 - \cos 3x + 2 \sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right)\right) dx = \int 1 dx - \int \cos 3x dx + 2 \int \sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right) dx$.
Применим табличные интегралы и правило интегрирования для функции вида $g(kx+b)$, первообразная которой равна $\frac{1}{k}G(kx+b)$, где $G(x)$ — первообразная для $g(x)$.
1. Первообразная для константы 1: $\int 1 dx = x$.
2. Первообразная для $\cos 3x$: здесь $k=3$, $\int \cos(u)du = \sin(u)$, следовательно, $\int \cos 3x dx = \frac{1}{3}\sin 3x$.
3. Первообразная для $2 \sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right)$: здесь $k=-1$, $\int \sin(u)du = -\cos(u)$, следовательно, $2 \int \sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right) dx = 2 \cdot \frac{1}{-1} \left(-\cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right)\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right)$.
Суммируя все найденные первообразные и добавляя произвольную постоянную $C$, получаем общий вид:
Ответ: $x - \frac{1}{3}\sin 3x + 2\cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right) + C$.

б) Для функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2 4x} + \frac{1}{\sqrt{2-x}} - 3x^2$ найдем общий вид первообразных $F(x)$.
$F(x) = \int \left(\frac{1}{\sin^2 4x} + \frac{1}{\sqrt{2-x}} - 3x^2\right) dx = \int \frac{1}{\sin^2 4x} dx + \int (2-x)^{-1/2} dx - \int 3x^2 dx$.
1. Для $\int \frac{1}{\sin^2 4x} dx$: $k=4$, $\int \frac{1}{\sin^2 u} du = -\cot u$. Получаем $\frac{1}{4}(-\cot 4x) = -\frac{1}{4}\cot 4x$.
2. Для $\int (2-x)^{-1/2} dx$: $k=-1$, $\int u^{-1/2} du = 2u^{1/2} = 2\sqrt{u}$. Получаем $\frac{1}{-1}(2\sqrt{2-x}) = -2\sqrt{2-x}$.
3. Для $\int 3x^2 dx$: используем формулу для степенной функции, $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$. Получаем $3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$.
Объединяем результаты и добавляем константу $C$:
Ответ: $-\frac{1}{4}\cot 4x - 2\sqrt{2-x} - x^3 + C$.

в) Для функции $f(x) = \frac{2}{\cos^2(3x+1)} - 3 \sin(4-x) + 2x$ найдем общий вид первообразных $F(x)$.
$F(x) = \int \left(\frac{2}{\cos^2(3x+1)} - 3 \sin(4-x) + 2x\right) dx = 2\int \frac{1}{\cos^2(3x+1)} dx - 3\int \sin(4-x) dx + \int 2x dx$.
1. Для $2\int \frac{1}{\cos^2(3x+1)} dx$: $k=3$, $\int \frac{1}{\cos^2 u} du = \tan u$. Получаем $2 \cdot \frac{1}{3}\tan(3x+1) = \frac{2}{3}\tan(3x+1)$.
2. Для $-3\int \sin(4-x) dx$: $k=-1$, $\int \sin u du = -\cos u$. Получаем $-3 \cdot \frac{1}{-1}(-\cos(4-x)) = -3\cos(4-x)$.
3. Для $\int 2x dx$: получаем $2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$.
Объединяем результаты и добавляем константу $C$:
Ответ: $\frac{2}{3}\tan(3x+1) - 3\cos(4-x) + x^2 + C$.

г) Для функции $f(x) = \frac{1}{(3-2x)^3} + \frac{3}{\sqrt{5x-2}} - 2\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)$ найдем общий вид первообразных $F(x)$.
$F(x) = \int \left((3-2x)^{-3} + 3(5x-2)^{-1/2} - 2\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right) dx$.
Интегрируем каждое слагаемое отдельно:
1. Для $\int (3-2x)^{-3} dx$: $k=-2$, $\int u^{-3} du = \frac{u^{-2}}{-2}$. Получаем $\frac{1}{-2}\left(\frac{(3-2x)^{-2}}{-2}\right) = \frac{1}{4(3-2x)^2}$.
2. Для $3\int (5x-2)^{-1/2} dx$: $k=5$, $\int u^{-1/2} du = 2u^{1/2}$. Получаем $3 \cdot \frac{1}{5}(2\sqrt{5x-2}) = \frac{6}{5}\sqrt{5x-2}$.
3. Для $-2\int \cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right) dx$: $k=-1$, $\int \cos u du = \sin u$. Получаем $-2 \cdot \frac{1}{-1}\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)$.
Объединяем результаты и добавляем константу $C$:
Ответ: $\frac{1}{4(3-2x)^2} + \frac{6}{5}\sqrt{5x-2} + 2\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right) + C$.

347. – Задайте первообразную $F$ для функции $f$ формулой, если известны координаты точки $M$ графика $F$:

a) $f(x) = 2x + 1$, $M (0; 0);$

б) $f(x) = 3x^2 - 2x$, $M (1; 4);$

в) $f(x) = x + 2$, $M (1; 3);$

г) $f(x) = -x^2 + 3x$, $M (2; -1).$

Чтобы задать первообразную $F$ для функции $f$ формулой, зная координаты точки $M$ на ее графике, нужно выполнить два шага:

1. Найти общий вид первообразной для функции $f(x)$, вычислив неопределенный интеграл $F(x) = \int f(x)dx + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
2. Используя координаты точки $M(x_0; y_0)$, подставить их в уравнение $y_0 = F(x_0)$ и найти значение постоянной $C$.

а) $f(x) = 2x + 1, M(0; 0)$

1. Находим общий вид первообразной:

$F(x) = \int (2x + 1)dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C = x^2 + x + C$.

2. Подставляем координаты точки $M(0; 0)$ в уравнение $F(x) = x^2 + x + C$, чтобы найти $C$:

$F(0) = 0^2 + 0 + C = 0$

$C = 0$

3. Записываем итоговую формулу для первообразной:

$F(x) = x^2 + x$.

Ответ: $F(x) = x^2 + x$.

б) $f(x) = 3x^2 - 2x, M(1; 4)$

1. Находим общий вид первообразной:

$F(x) = \int (3x^2 - 2x)dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^3 - x^2 + C$.

2. Подставляем координаты точки $M(1; 4)$ в уравнение $F(x) = x^3 - x^2 + C$:

$F(1) = 1^3 - 1^2 + C = 4$

$1 - 1 + C = 4$

$C = 4$

3. Записываем итоговую формулу для первообразной:

$F(x) = x^3 - x^2 + 4$.

Ответ: $F(x) = x^3 - x^2 + 4$.

в) $f(x) = x + 2, M(1; 3)$

1. Находим общий вид первообразной:

$F(x) = \int (x + 2)dx = \frac{x^2}{2} + 2x + C$.

2. Подставляем координаты точки $M(1; 3)$ в уравнение $F(x) = \frac{x^2}{2} + 2x + C$:

$F(1) = \frac{1^2}{2} + 2(1) + C = 3$

$\frac{1}{2} + 2 + C = 3$

$2.5 + C = 3$

$C = 3 - 2.5 = 0.5$

3. Записываем итоговую формулу для первообразной:

$F(x) = \frac{x^2}{2} + 2x + 0.5$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + 2x + 0.5$.

г) $f(x) = -x^2 + 3x, M(2; -1)$

1. Находим общий вид первообразной:

$F(x) = \int (-x^2 + 3x)dx = -\frac{x^3}{3} + 3 \cdot \frac{x^2}{2} + C$.

2. Подставляем координаты точки $M(2; -1)$ в уравнение $F(x) = -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + C$:

$F(2) = -\frac{2^3}{3} + \frac{3 \cdot 2^2}{2} + C = -1$

$-\frac{8}{3} + \frac{12}{2} + C = -1$

$-\frac{8}{3} + 6 + C = -1$

Приведем к общему знаменателю:

$-\frac{8}{3} + \frac{18}{3} + C = -1$

$\frac{10}{3} + C = -1$

$C = -1 - \frac{10}{3} = -\frac{3}{3} - \frac{10}{3} = -\frac{13}{3}$

3. Записываем итоговую формулу для первообразной:

$F(x) = -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - \frac{13}{3}$.

Ответ: $F(x) = -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - \frac{13}{3}$.

348.—

Скорость прямолинейно движущейся точки задана формулой $v(t) = t^2 + 2t - 1$. Запишите формулу зависимости ее координаты $x$ от времени $t$, если известно, что в начальный момент времени ($t = 0$) точка находилась в начале координат.

Скорость $v(t)$ является производной от координаты $x(t)$ по времени $t$. Следовательно, чтобы найти зависимость координаты от времени, необходимо найти первообразную (проинтегрировать) функцию скорости $v(t)$.

Задана функция скорости: $v(t) = t^2 + 2t - 1$.

Найдем первообразную для этой функции:

$x(t) = \int v(t) dt = \int (t^2 + 2t - 1) dt$

Используя таблицу первообразных, получаем:

$x(t) = \frac{t^3}{3} + 2 \cdot \frac{t^2}{2} - t + C = \frac{t^3}{3} + t^2 - t + C$

Здесь $C$ — это постоянная интегрирования, которую мы найдем из начальных условий.

По условию, в начальный момент времени $t=0$ точка находилась в начале координат, что означает $x(0) = 0$. Подставим эти значения в найденное уравнение для $x(t)$:

$x(0) = \frac{0^3}{3} + 0^2 - 0 + C$

$0 = 0 + 0 - 0 + C$

Отсюда следует, что $C=0$.

Теперь подставим найденное значение $C$ обратно в выражение для $x(t)$, чтобы получить итоговую формулу зависимости координаты от времени.

$x(t) = \frac{t^3}{3} + t^2 - t + 0$

$x(t) = \frac{t^3}{3} + t^2 - t$

Ответ: $x(t) = \frac{t^3}{3} + t^2 - t$

349.— Скорость прямолинейно движущейся точки задана формулой $v(t) = 2 \cos \frac{t}{2}$. Найдите формулу, выражающую зависимость координаты точки от времени, если известно, что в момент $t = \frac{\pi}{3}$ с точка находилась на расстоянии 4 м от начала координат.

Поскольку скорость $v(t)$ является производной от координаты $x(t)$ по времени $t$, то есть $v(t) = x'(t)$, для нахождения зависимости координаты от времени $x(t)$ необходимо найти первообразную (неопределенный интеграл) от функции скорости.

$x(t) = \int v(t) dt = \int 2 \cos\left(\frac{t}{2}\right) dt$

Вычислим интеграл, используя табличный интеграл для косинуса $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$:

$x(t) = 2 \int \cos\left(\frac{t}{2}\right) dt = 2 \cdot \frac{1}{1/2} \sin\left(\frac{t}{2}\right) + C = 4 \sin\left(\frac{t}{2}\right) + C$

Таким образом, мы получили общее уравнение движения точки, где $C$ — это константа интегрирования.

$x(t) = 4 \sin\left(\frac{t}{2}\right) + C$

Для определения значения константы $C$ используем начальное условие, данное в задаче: в момент времени $t = \frac{\pi}{3}$ с точка находилась на расстоянии 4 м от начала координат. Это означает, что $x\left(\frac{\pi}{3}\right) = 4$.

Подставим эти значения в полученное уравнение:

$4 = 4 \sin\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3}\right) + C$

$4 = 4 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + C$

Зная, что значение $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, получаем:

$4 = 4 \cdot \frac{1}{2} + C$

$4 = 2 + C$

Отсюда находим $C$:

$C = 4 - 2 = 2$

Теперь подставляем найденное значение $C = 2$ обратно в общее уравнение для координаты $x(t)$, чтобы получить искомую формулу:

$x(t) = 4 \sin\left(\frac{t}{2}\right) + 2$

Ответ: $x(t) = 4 \sin\left(\frac{t}{2}\right) + 2$.

Точка движется прямолинейно с ускорением $a(t) = 12t^2 + 4$. Найдите закон движения точки, если в момент $t = 1 \text{ с}$ ее скорость равна $10 \text{ м/с}$, а координата равна $12$ (единица измерения $a$ равна $1 \text{ м/с}^2$).

Закон движения точки — это функция зависимости ее координаты $x$ от времени $t$, то есть $x(t)$. Чтобы найти эту функцию, необходимо дважды проинтегрировать заданную функцию ускорения $a(t)$, используя начальные условия для определения констант интегрирования.

Шаг 1: Нахождение функции скорости $v(t)$

Скорость $v(t)$ является первообразной для ускорения $a(t)$, то есть $v(t) = \int a(t) dt$. Интегрируем заданную функцию ускорения $a(t) = 12t^2 + 4$:

$v(t) = \int (12t^2 + 4) dt = 12 \cdot \frac{t^3}{3} + 4t + C_1 = 4t^3 + 4t + C_1$

Здесь $C_1$ — постоянная интегрирования. Чтобы найти ее значение, воспользуемся условием, что в момент времени $t = 1$ с скорость $v(1) = 10$ м/с.

Подставляем $t=1$ и $v(1)=10$ в полученное уравнение для скорости:

$10 = 4(1)^3 + 4(1) + C_1$

$10 = 4 + 4 + C_1$

$10 = 8 + C_1$

$C_1 = 2$

Таким образом, функция скорости имеет вид:

$v(t) = 4t^3 + 4t + 2$

Шаг 2: Нахождение закона движения $x(t)$

Координата $x(t)$ (закон движения) является первообразной для скорости $v(t)$, то есть $x(t) = \int v(t) dt$. Интегрируем найденную функцию скорости $v(t) = 4t^3 + 4t + 2$:

$x(t) = \int (4t^3 + 4t + 2) dt = 4 \cdot \frac{t^4}{4} + 4 \cdot \frac{t^2}{2} + 2t + C_2 = t^4 + 2t^2 + 2t + C_2$

Здесь $C_2$ — вторая постоянная интегрирования. Для ее нахождения используем условие, что в момент времени $t = 1$ с координата $x(1) = 12$.

Подставляем $t=1$ и $x(1)=12$ в уравнение для координаты:

$12 = (1)^4 + 2(1)^2 + 2(1) + C_2$

$12 = 1 + 2 + 2 + C_2$

$12 = 5 + C_2$

$C_2 = 7$

Подставив значение $C_2$, получаем искомый закон движения точки:

$x(t) = t^4 + 2t^2 + 2t + 7$

Ответ: $x(t) = t^4 + 2t^2 + 2t + 7$.

351. Материальная точка массой $m$ движется по оси $Ox$ под действием силы, направленной вдоль этой оси. В момент времени $t$ сила равна $F(t)$. Найдите формулу зависимости $x(t)$ от времени $t$, если известно, что при $t = t_0$ скорость точки равна $v_0$, а координата равна $x_0$ ($F(t)$ измеряется в ньютонах, $t$ — в секундах, $v$ — в метрах в секунду, $m$ — в килограммах):

а) $F(t) = 6 - 9t$, $t_0 = 1$, $v_0 = 4$, $x_0 = -5$, $m = 3$;

б) $F(t) = 14 \sin t$, $t_0 = \pi$, $v_0 = 2$, $x_0 = 3$, $m = 7$;

в) $F(t) = 25 \cos t$, $t_0 = \frac{\pi}{2}$, $v_0 = 2$, $x_0 = 4$, $m = 5$;

г) $F(t) = 8t + 8$, $t_0 = 2$, $v_0 = 9$, $x_0 = 7$, $m = 4$.

Для нахождения зависимости координаты $x(t)$ от времени $t$ используется второй закон Ньютона, который связывает силу $F(t)$, массу $m$ и ускорение $a(t)$ материальной точки: $F(t) = m \cdot a(t)$.

Ускорение является второй производной от координаты по времени ($a(t) = x''(t)$) или первой производной от скорости по времени ($a(t) = v'(t)$). Таким образом, зная силу, мы можем найти ускорение: $a(t) = \frac{F(t)}{m}$.

Чтобы найти скорость $v(t)$, нужно проинтегрировать ускорение по времени: $v(t) = \int a(t) dt$.

Чтобы найти координату $x(t)$, нужно проинтегрировать скорость по времени: $x(t) = \int v(t) dt$.

При каждом интегрировании появляется произвольная постоянная ($C_1$, $C_2$), которую мы находим, используя начальные условия: в момент времени $t = t_0$ скорость равна $v_0$, а координата равна $x_0$.

а)

Дано: $F(t) = 6 - 9t$, $m = 3$, $t_0 = 1$, $v_0 = 4$, $x_0 = -5$.

1. Находим ускорение:
$a(t) = \frac{F(t)}{m} = \frac{6 - 9t}{3} = 2 - 3t$.

2. Находим скорость, интегрируя ускорение:
$v(t) = \int a(t) dt = \int (2 - 3t) dt = 2t - \frac{3}{2}t^2 + C_1$.
Используем начальное условие $v(1) = 4$ для нахождения $C_1$:
$v(1) = 2(1) - \frac{3}{2}(1)^2 + C_1 = 2 - \frac{3}{2} + C_1 = \frac{1}{2} + C_1 = 4$.
Отсюда $C_1 = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.
Следовательно, $v(t) = -\frac{3}{2}t^2 + 2t + \frac{7}{2}$.

3. Находим координату, интегрируя скорость:
$x(t) = \int v(t) dt = \int (-\frac{3}{2}t^2 + 2t + \frac{7}{2}) dt = -\frac{3}{2}\frac{t^3}{3} + 2\frac{t^2}{2} + \frac{7}{2}t + C_2 = -\frac{1}{2}t^3 + t^2 + \frac{7}{2}t + C_2$.
Используем начальное условие $x(1) = -5$ для нахождения $C_2$:
$x(1) = -\frac{1}{2}(1)^3 + 1^2 + \frac{7}{2}(1) + C_2 = -\frac{1}{2} + 1 + \frac{7}{2} + C_2 = \frac{6}{2} + 1 + C_2 = 4 + C_2 = -5$.
Отсюда $C_2 = -5 - 4 = -9$.
Итак, искомая формула зависимости: $x(t) = -\frac{1}{2}t^3 + t^2 + \frac{7}{2}t - 9$.

Ответ: $x(t) = -\frac{1}{2}t^3 + t^2 + \frac{7}{2}t - 9$.

б)

Дано: $F(t) = 14 \sin t$, $m = 7$, $t_0 = \pi$, $v_0 = 2$, $x_0 = 3$.

1. Находим ускорение:
$a(t) = \frac{F(t)}{m} = \frac{14 \sin t}{7} = 2 \sin t$.

2. Находим скорость, интегрируя ускорение:
$v(t) = \int (2 \sin t) dt = -2 \cos t + C_1$.
Используем начальное условие $v(\pi) = 2$:
$v(\pi) = -2 \cos(\pi) + C_1 = -2(-1) + C_1 = 2 + C_1 = 2$.
Отсюда $C_1 = 0$.
Следовательно, $v(t) = -2 \cos t$.

3. Находим координату, интегрируя скорость:
$x(t) = \int (-2 \cos t) dt = -2 \sin t + C_2$.
Используем начальное условие $x(\pi) = 3$:
$x(\pi) = -2 \sin(\pi) + C_2 = -2(0) + C_2 = C_2 = 3$.
Итак, искомая формула зависимости: $x(t) = -2 \sin t + 3$.

Ответ: $x(t) = -2 \sin t + 3$.

в)

Дано: $F(t) = 25 \cos t$, $m = 5$, $t_0 = \frac{\pi}{2}$, $v_0 = 2$, $x_0 = 4$.

1. Находим ускорение:
$a(t) = \frac{F(t)}{m} = \frac{25 \cos t}{5} = 5 \cos t$.

2. Находим скорость, интегрируя ускорение:
$v(t) = \int (5 \cos t) dt = 5 \sin t + C_1$.
Используем начальное условие $v(\frac{\pi}{2}) = 2$:
$v(\frac{\pi}{2}) = 5 \sin(\frac{\pi}{2}) + C_1 = 5(1) + C_1 = 5 + C_1 = 2$.
Отсюда $C_1 = 2 - 5 = -3$.
Следовательно, $v(t) = 5 \sin t - 3$.

3. Находим координату, интегрируя скорость:
$x(t) = \int (5 \sin t - 3) dt = -5 \cos t - 3t + C_2$.
Используем начальное условие $x(\frac{\pi}{2}) = 4$:
$x(\frac{\pi}{2}) = -5 \cos(\frac{\pi}{2}) - 3(\frac{\pi}{2}) + C_2 = -5(0) - \frac{3\pi}{2} + C_2 = 4$.
Отсюда $C_2 = 4 + \frac{3\pi}{2}$.
Итак, искомая формула зависимости: $x(t) = -5 \cos t - 3t + 4 + \frac{3\pi}{2}$.

Ответ: $x(t) = -5 \cos t - 3t + 4 + \frac{3\pi}{2}$.

г)

Дано: $F(t) = 8t + 8$, $m = 4$, $t_0 = 2$, $v_0 = 9$, $x_0 = 7$.

1. Находим ускорение:
$a(t) = \frac{F(t)}{m} = \frac{8t + 8}{4} = 2t + 2$.

2. Находим скорость, интегрируя ускорение:
$v(t) = \int (2t + 2) dt = t^2 + 2t + C_1$.
Используем начальное условие $v(2) = 9$:
$v(2) = 2^2 + 2(2) + C_1 = 4 + 4 + C_1 = 8 + C_1 = 9$.
Отсюда $C_1 = 1$.
Следовательно, $v(t) = t^2 + 2t + 1$.

3. Находим координату, интегрируя скорость:
$x(t) = \int (t^2 + 2t + 1) dt = \frac{t^3}{3} + t^2 + t + C_2$.
Используем начальное условие $x(2) = 7$:
$x(2) = \frac{2^3}{3} + 2^2 + 2 + C_2 = \frac{8}{3} + 4 + 2 + C_2 = \frac{8}{3} + 6 + C_2 = 7$.
Отсюда $C_2 = 7 - 6 - \frac{8}{3} = 1 - \frac{8}{3} = -\frac{5}{3}$.
Итак, искомая формула зависимости: $x(t) = \frac{1}{3}t^3 + t^2 + t - \frac{5}{3}$.

Ответ: $x(t) = \frac{1}{3}t^3 + t^2 + t - \frac{5}{3}$.