Страница 185 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

352.— График первообразной $F_1$ для функции $f$ проходит через точку $M$, а первообразной $F_2$ — через точку $N$. Какова разность этих первообразных? Какой из графиков $F_1$ и $F_2$ расположен выше, если:

a) $f(x) = 3x^2 - 2x + 4$, $M(-1; 1)$, $N(0; 3)$;

б) $f(x) = 4x - 6x^2 + 1$, $M(0; 2)$, $N(1; 3)$;

в) $f(x) = 4x - x^3$, $M(2; 1)$, $N(-2; 3)$;

г) $f(x) = (2x + 1)^2$, $M(-3; -1)$, $N(1; 6\frac{1}{3})$?

а) $f(x) = 3x^2 - 2x + 4$, $M(-1; 1)$, $N(0; 3)$

1. Найдём общий вид первообразной для функции $f(x)$. Первообразная $F(x)$ для $f(x)$ — это функция, производная которой равна $f(x)$. Для нахождения $F(x)$ вычислим неопределенный интеграл:$F(x) = \int (3x^2 - 2x + 4) dx = 3\frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + 4x + C = x^3 - x^2 + 4x + C$.Все первообразные для $f(x)$ имеют такой вид, отличаясь лишь константой $C$.

2. Пусть $F_1(x) = x^3 - x^2 + 4x + C_1$ и $F_2(x) = x^3 - x^2 + 4x + C_2$.

3. Найдем константу $C_1$ для первообразной $F_1$, график которой проходит через точку $M(-1; 1)$. Это означает, что $F_1(-1) = 1$:$F_1(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 + 4(-1) + C_1 = -1 - 1 - 4 + C_1 = -6 + C_1$.Из условия $F_1(-1) = 1$ получаем:$-6 + C_1 = 1 \implies C_1 = 7$.Таким образом, $F_1(x) = x^3 - x^2 + 4x + 7$.

4. Найдем константу $C_2$ для первообразной $F_2$, график которой проходит через точку $N(0; 3)$. Это означает, что $F_2(0) = 3$:$F_2(0) = 0^3 - 0^2 + 4(0) + C_2 = C_2$.Из условия $F_2(0) = 3$ получаем $C_2 = 3$.Таким образом, $F_2(x) = x^3 - x^2 + 4x + 3$.

5. Разность этих первообразных есть постоянная величина:$F_1(x) - F_2(x) = (x^3 - x^2 + 4x + 7) - (x^3 - x^2 + 4x + 3) = 7 - 3 = 4$.

6. Так как разность $F_1(x) - F_2(x) = 4$ положительна, то $F_1(x) > F_2(x)$ для всех $x$. Это означает, что график функции $F_1$ расположен выше графика функции $F_2$.

Ответ: разность первообразных $F_1(x) - F_2(x)$ равна 4; график $F_1$ расположен выше.

б) $f(x) = 4x - 6x^2 + 1$, $M(0; 2)$, $N(1; 3)$

1. Найдём общий вид первообразной для функции $f(x)$:$F(x) = \int (4x - 6x^2 + 1) dx = 4\frac{x^2}{2} - 6\frac{x^3}{3} + x + C = 2x^2 - 2x^3 + x + C$.

2. Пусть $F_1(x) = 2x^2 - 2x^3 + x + C_1$ и $F_2(x) = 2x^2 - 2x^3 + x + C_2$.

3. Найдем $C_1$, зная, что $F_1$ проходит через $M(0; 2)$, то есть $F_1(0) = 2$:$F_1(0) = 2(0)^2 - 2(0)^3 + 0 + C_1 = C_1$.$C_1 = 2$.Таким образом, $F_1(x) = 2x^2 - 2x^3 + x + 2$.

4. Найдем $C_2$, зная, что $F_2$ проходит через $N(1; 3)$, то есть $F_2(1) = 3$:$F_2(1) = 2(1)^2 - 2(1)^3 + 1 + C_2 = 2 - 2 + 1 + C_2 = 1 + C_2$.$1 + C_2 = 3 \implies C_2 = 2$.Таким образом, $F_2(x) = 2x^2 - 2x^3 + x + 2$.

5. Разность первообразных:$F_1(x) - F_2(x) = (2x^2 - 2x^3 + x + 2) - (2x^2 - 2x^3 + x + 2) = 2 - 2 = 0$.

6. Так как разность равна нулю, $F_1(x) = F_2(x)$, то есть это одна и та же функция, и их графики совпадают.

Ответ: разность первообразных равна 0; графики совпадают.

в) $f(x) = 4x - x^3$, $M(2; 1)$, $N(-2; 3)$

1. Найдём общий вид первообразной для функции $f(x)$:$F(x) = \int (4x - x^3) dx = 4\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} + C = 2x^2 - \frac{1}{4}x^4 + C$.

2. Пусть $F_1(x) = 2x^2 - \frac{1}{4}x^4 + C_1$ и $F_2(x) = 2x^2 - \frac{1}{4}x^4 + C_2$.

3. Найдем $C_1$, зная, что $F_1$ проходит через $M(2; 1)$, то есть $F_1(2) = 1$:$F_1(2) = 2(2)^2 - \frac{1}{4}(2)^4 + C_1 = 2(4) - \frac{1}{4}(16) + C_1 = 8 - 4 + C_1 = 4 + C_1$.$4 + C_1 = 1 \implies C_1 = -3$.Таким образом, $F_1(x) = 2x^2 - \frac{1}{4}x^4 - 3$.

4. Найдем $C_2$, зная, что $F_2$ проходит через $N(-2; 3)$, то есть $F_2(-2) = 3$:$F_2(-2) = 2(-2)^2 - \frac{1}{4}(-2)^4 + C_2 = 2(4) - \frac{1}{4}(16) + C_2 = 8 - 4 + C_2 = 4 + C_2$.$4 + C_2 = 3 \implies C_2 = -1$.Таким образом, $F_2(x) = 2x^2 - \frac{1}{4}x^4 - 1$.

5. Разность первообразных:$F_1(x) - F_2(x) = (2x^2 - \frac{1}{4}x^4 - 3) - (2x^2 - \frac{1}{4}x^4 - 1) = -3 - (-1) = -2$.

6. Так как разность $F_1(x) - F_2(x) = -2$ отрицательна, то $F_1(x) < F_2(x)$ для всех $x$. Это означает, что график функции $F_2$ расположен выше графика функции $F_1$.

Ответ: разность первообразных $F_1(x) - F_2(x)$ равна -2; график $F_2$ расположен выше.

г) $f(x) = (2x + 1)^2$, $M(-3; -1)$, $N(1; 6\frac{1}{3})$

1. Сначала раскроем скобки в выражении для $f(x)$:$f(x) = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1$.Теперь найдём общий вид первообразной:$F(x) = \int (4x^2 + 4x + 1) dx = 4\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} + x + C = \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + C$.

2. Пусть $F_1(x) = \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + C_1$ и $F_2(x) = \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + C_2$.

3. Найдем $C_1$, зная, что $F_1$ проходит через $M(-3; -1)$, то есть $F_1(-3) = -1$:$F_1(-3) = \frac{4}{3}(-3)^3 + 2(-3)^2 + (-3) + C_1 = \frac{4}{3}(-27) + 2(9) - 3 + C_1 = 4(-9) + 18 - 3 + C_1 = -36 + 18 - 3 + C_1 = -21 + C_1$.$-21 + C_1 = -1 \implies C_1 = 20$.Таким образом, $F_1(x) = \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + 20$.

4. Найдем $C_2$, зная, что $F_2$ проходит через $N(1; 6\frac{1}{3})$, то есть $F_2(1) = 6\frac{1}{3} = \frac{19}{3}$:$F_2(1) = \frac{4}{3}(1)^3 + 2(1)^2 + 1 + C_2 = \frac{4}{3} + 2 + 1 + C_2 = \frac{4}{3} + 3 + C_2 = \frac{4+9}{3} + C_2 = \frac{13}{3} + C_2$.$\frac{13}{3} + C_2 = \frac{19}{3} \implies C_2 = \frac{19}{3} - \frac{13}{3} = \frac{6}{3} = 2$.Таким образом, $F_2(x) = \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + 2$.

5. Разность первообразных:$F_1(x) - F_2(x) = (\frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + 20) - (\frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + 2) = 20 - 2 = 18$.

6. Так как разность $F_1(x) - F_2(x) = 18$ положительна, то $F_1(x) > F_2(x)$ для всех $x$. Это означает, что график функции $F_1$ расположен выше графика функции $F_2$.

Ответ: разность первообразных $F_1(x) - F_2(x)$ равна 18; график $F_1$ расположен выше.