Страница 181 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

339.— Для функции $f$ найдите первообразную, график которой проходит через данную точку $M$:

а) $f(x) = 2 \cos x, M \left( -\frac{\pi}{2}; 1 \right)$;

б) $f(x) = 1 - x^2, M (-3; 9)$;

в) $f(x) = \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right), M \left( \frac{2\pi}{3}; -1 \right)$;

г) $f(x) = \frac{1}{x^4}, M \left( \frac{1}{2}; 3 \right)$.

а) Чтобы найти первообразную для функции $f(x) = 2 \cos x$, сначала находим ее общий вид. Общий вид первообразной $F(x)$ — это неопределенный интеграл от данной функции:$F(x) = \int 2 \cos x \,dx = 2 \sin x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.По условию, график первообразной проходит через точку $M(-\frac{\pi}{2}; 1)$. Это означает, что при $x = -\frac{\pi}{2}$ значение первообразной $F(x)$ равно $1$. Подставим эти значения в выражение для $F(x)$, чтобы найти константу $C$:$F(-\frac{\pi}{2}) = 2 \sin(-\frac{\pi}{2}) + C = 1$Поскольку $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$, получаем уравнение:$2 \cdot (-1) + C = 1$$-2 + C = 1$$C = 3$Подставляем найденное значение $C$ в общую формулу первообразной.Ответ: $F(x) = 2 \sin x + 3$.

б) Для функции $f(x) = 1 - x^2$ найдем общий вид первообразной:$F(x) = \int (1 - x^2) \,dx = x - \frac{x^3}{3} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.График этой первообразной проходит через точку $M(-3; 9)$. Следовательно, $F(-3) = 9$. Подставим координаты точки в уравнение для $F(x)$:$F(-3) = (-3) - \frac{(-3)^3}{3} + C = 9$Вычисляем:$-3 - \frac{-27}{3} + C = 9$$-3 - (-9) + C = 9$$-3 + 9 + C = 9$$6 + C = 9$$C = 3$Таким образом, искомая первообразная имеет вид:Ответ: $F(x) = x - \frac{x^3}{3} + 3$.

в) Для функции $f(x) = \sin(x + \frac{\pi}{3})$ общий вид первообразной:$F(x) = \int \sin(x + \frac{\pi}{3}) \,dx = -\cos(x + \frac{\pi}{3}) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.График первообразной проходит через точку $M(\frac{2\pi}{3}; -1)$, поэтому $F(\frac{2\pi}{3}) = -1$. Подставляем значения:$F(\frac{2\pi}{3}) = -\cos(\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3}) + C = -1$Упрощаем выражение в скобках:$-\cos(\frac{3\pi}{3}) + C = -1$$-\cos(\pi) + C = -1$Так как $\cos(\pi) = -1$, получаем:$-(-1) + C = -1$$1 + C = -1$$C = -2$Следовательно, искомая первообразная:Ответ: $F(x) = -\cos(x + \frac{\pi}{3}) - 2$.

г) Для функции $f(x) = \frac{1}{x^4}$ представим ее в виде степенной функции $f(x) = x^{-4}$. Теперь найдем общий вид первообразной:$F(x) = \int x^{-4} \,dx = \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C = \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3x^3} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.График первообразной проходит через точку $M(\frac{1}{2}; 3)$, значит $F(\frac{1}{2}) = 3$. Подставляем координаты в уравнение:$F(\frac{1}{2}) = -\frac{1}{3(\frac{1}{2})^3} + C = 3$Вычисляем:$-\frac{1}{3 \cdot \frac{1}{8}} + C = 3$$-\frac{1}{\frac{3}{8}} + C = 3$$-\frac{8}{3} + C = 3$$C = 3 + \frac{8}{3} = \frac{9}{3} + \frac{8}{3} = \frac{17}{3}$Искомая первообразная:Ответ: $F(x) = -\frac{1}{3x^3} + \frac{17}{3}$.

340.— Для функции $f$ найдите две первообразные, расстояние между соответствующими точками графиков которых (т. е. точками с равными абсциссами) равно $a$:

а) $f(x) = 2 - \sin x, a = 4;$

б) $f(x) = 1 + \operatorname{tg}^2 x, a = 1;$

в) $f(x) = \sin^2 \frac{x}{2} - \cos^2 \frac{x}{2}, a = 0,5;$

г) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}, a = 2.$

а) Для функции $f(x) = 2 - \sin x$ найти две первообразные, расстояние между соответствующими точками графиков которых равно $a = 4$.

Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x)$. Первообразная — это функция $F(x)$, производная которой равна $f(x)$. Для ее нахождения вычислим неопределенный интеграл: $F_{общ}(x) = \int (2 - \sin x) dx = \int 2 dx - \int \sin x dx = 2x - (-\cos x) + C = 2x + \cos x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Любые две первообразные для одной и той же функции отличаются друг от друга на константу. Пусть $F_1(x) = 2x + \cos x + C_1$ и $F_2(x) = 2x + \cos x + C_2$ — две различные первообразные.

Расстояние между точками графиков этих функций с одинаковой абсциссой $x$ равно модулю разности их ординат: $|F_2(x) - F_1(x)| = |(2x + \cos x + C_2) - (2x + \cos x + C_1)| = |C_2 - C_1|$.

По условию задачи это расстояние должно быть равно $a=4$. Следовательно, $|C_2 - C_1| = 4$. Мы можем выбрать константы $C_1$ и $C_2$ любым способом, удовлетворяющим этому условию. Самый простой выбор — положить $C_1 = 0$ и $C_2 = 4$.

Таким образом, мы получаем две искомые первообразные: $F_1(x) = 2x + \cos x$ $F_2(x) = 2x + \cos x + 4$

Ответ: $F_1(x) = 2x + \cos x$ и $F_2(x) = 2x + \cos x + 4$.

б) Для функции $f(x) = 1 + \operatorname{tg}^2 x$ найти две первообразные, расстояние между соответствующими точками графиков которых равно $a = 1$.

Сначала упростим данную функцию, используя основное тригонометрическое тождество, связывающее тангенс и косинус: $1 + \operatorname{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$. Таким образом, $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Теперь найдем общий вид первообразной для $f(x)$, вычислив интеграл: $F_{общ}(x) = \int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \operatorname{tg} x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Пусть $F_1(x) = \operatorname{tg} x + C_1$ и $F_2(x) = \operatorname{tg} x + C_2$ — две искомые первообразные. Расстояние между их графиками для одного и того же $x$ равно $|F_2(x) - F_1(x)| = |C_2 - C_1|$.

По условию, это расстояние равно $a=1$, значит, $|C_2 - C_1| = 1$. Выберем $C_1 = 0$ и $C_2 = 1$.

Тогда искомые первообразные: $F_1(x) = \operatorname{tg} x$ $F_2(x) = \operatorname{tg} x + 1$

Ответ: $F_1(x) = \operatorname{tg} x$ и $F_2(x) = \operatorname{tg} x + 1$.

в) Для функции $f(x) = \sin^2 \frac{x}{2} - \cos^2 \frac{x}{2}$ найти две первообразные, расстояние между соответствующими точками графиков которых равно $a = 0,5$.

Упростим данную функцию, используя формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$. $f(x) = \sin^2 \frac{x}{2} - \cos^2 \frac{x}{2} = -(\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2})$. Применив формулу с $\alpha = \frac{x}{2}$, получаем: $f(x) = -\cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = -\cos x$.

Найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = -\cos x$: $F_{общ}(x) = \int (-\cos x) dx = -\int \cos x dx = -\sin x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Две первообразные $F_1(x) = -\sin x + C_1$ и $F_2(x) = -\sin x + C_2$ находятся на расстоянии $|C_2 - C_1|$ друг от друга.

По условию, $|C_2 - C_1| = a = 0,5$. Выберем $C_1 = 0$ и $C_2 = 0,5$.

Получаем две первообразные: $F_1(x) = -\sin x$ $F_2(x) = -\sin x + 0,5$

Ответ: $F_1(x) = -\sin x$ и $F_2(x) = -\sin x + 0,5$.

г) Для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ найти две первообразные, расстояние между соответствующими точками графиков которых равно $a = 2$.

Представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{-1/2}$. Найдем общий вид первообразной, используя формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$: $F_{общ}(x) = \int x^{-1/2} dx = \frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} + C = \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{x} + C$, где $C$ — произвольная постоянная. (Область определения $x > 0$).

Пусть искомые первообразные $F_1(x) = 2\sqrt{x} + C_1$ и $F_2(x) = 2\sqrt{x} + C_2$. Расстояние между их графиками равно $|C_2 - C_1|$.

По условию, это расстояние равно $a=2$, следовательно, $|C_2 - C_1| = 2$. Выберем $C_1 = 0$ и $C_2 = 2$.

Тогда искомые первообразные: $F_1(x) = 2\sqrt{x}$ $F_2(x) = 2\sqrt{x} + 2$

Ответ: $F_1(x) = 2\sqrt{x}$ и $F_2(x) = 2\sqrt{x} + 2$.

341. Точка движется по прямой с ускорением $a(t)$. В начальный момент $t_0$ ее координата равна $x_0$, а скорость $v_0$. Найдите координату $x(t)$ точки как функцию от времени:

а) $a(t) = -2t, t_0 = 1, x_0 = 4, v_0 = 2;$

б) $a(t) = \sin t, t_0 = \frac{\pi}{2}, x_0 = 2, v_0 = 1;$

в) $a(t) = 6t, t_0 = 0, x_0 = 3, v_0 = 1;$

г) $a(t) = \cos t, t_0 = \pi, x_0 = 1, v_0 = 0.$

Чтобы найти координату точки $x(t)$ как функцию времени, необходимо дважды проинтегрировать функцию ускорения $a(t)$. Первое интегрирование дает функцию скорости $v(t)$, а второе — функцию координаты $x(t)$. Константы интегрирования ($C_1$ и $C_2$) находятся с помощью начальных условий: скорости $v_0$ и координаты $x_0$ в момент времени $t_0$.

Дано: $a(t) = -2t$, $t_0 = 1$, $x_0 = 4$, $v_0 = 2$.
1. Находим функцию скорости $v(t)$ путем интегрирования $a(t)$:
$v(t) = \int a(t) dt = \int (-2t) dt = -t^2 + C_1$.
2. Используем начальное условие $v(t_0) = v_0$, то есть $v(1) = 2$, чтобы найти константу $C_1$:
$v(1) = -(1)^2 + C_1 = -1 + C_1 = 2$, откуда $C_1 = 3$.
Таким образом, функция скорости: $v(t) = -t^2 + 3$.
3. Находим функцию координаты $x(t)$ путем интегрирования $v(t)$:
$x(t) = \int v(t) dt = \int (-t^2 + 3) dt = -\frac{t^3}{3} + 3t + C_2$.
4. Используем начальное условие $x(t_0) = x_0$, то есть $x(1) = 4$, чтобы найти константу $C_2$:
$x(1) = -\frac{1^3}{3} + 3(1) + C_2 = -\frac{1}{3} + 3 + C_2 = \frac{8}{3} + C_2 = 4$.
Отсюда $C_2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3}$.
Искомая функция координаты:
Ответ: $x(t) = -\frac{t^3}{3} + 3t + \frac{4}{3}$.

Дано: $a(t) = \sin t$, $t_0 = \frac{\pi}{2}$, $x_0 = 2$, $v_0 = 1$.
1. Находим скорость $v(t)$ интегрированием ускорения $a(t)$:
$v(t) = \int \sin t dt = -\cos t + C_1$.
2. Используем начальное условие $v(\frac{\pi}{2}) = 1$:
$v(\frac{\pi}{2}) = -\cos(\frac{\pi}{2}) + C_1 = 0 + C_1 = 1$, откуда $C_1 = 1$.
Функция скорости: $v(t) = 1 - \cos t$.
3. Находим координату $x(t)$ интегрированием скорости $v(t)$:
$x(t) = \int (1 - \cos t) dt = t - \sin t + C_2$.
4. Используем начальное условие $x(\frac{\pi}{2}) = 2$:
$x(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} - \sin(\frac{\pi}{2}) + C_2 = \frac{\pi}{2} - 1 + C_2 = 2$.
Отсюда $C_2 = 2 + 1 - \frac{\pi}{2} = 3 - \frac{\pi}{2}$.
Искомая функция координаты:
Ответ: $x(t) = t - \sin t + 3 - \frac{\pi}{2}$.

Дано: $a(t) = 6t$, $t_0 = 0$, $x_0 = 3$, $v_0 = 1$.
1. Находим скорость $v(t)$ интегрированием ускорения $a(t)$:
$v(t) = \int 6t dt = 3t^2 + C_1$.
2. Используем начальное условие $v(0) = 1$:
$v(0) = 3(0)^2 + C_1 = 0 + C_1 = 1$, откуда $C_1 = 1$.
Функция скорости: $v(t) = 3t^2 + 1$.
3. Находим координату $x(t)$ интегрированием скорости $v(t)$:
$x(t) = \int (3t^2 + 1) dt = t^3 + t + C_2$.
4. Используем начальное условие $x(0) = 3$:
$x(0) = (0)^3 + 0 + C_2 = 0 + C_2 = 3$, откуда $C_2 = 3$.
Искомая функция координаты:
Ответ: $x(t) = t^3 + t + 3$.

Дано: $a(t) = \cos t$, $t_0 = \pi$, $x_0 = 1$, $v_0 = 0$.
1. Находим скорость $v(t)$ интегрированием ускорения $a(t)$:
$v(t) = \int \cos t dt = \sin t + C_1$.
2. Используем начальное условие $v(\pi) = 0$:
$v(\pi) = \sin(\pi) + C_1 = 0 + C_1 = 0$, откуда $C_1 = 0$.
Функция скорости: $v(t) = \sin t$.
3. Находим координату $x(t)$ интегрированием скорости $v(t)$:
$x(t) = \int \sin t dt = -\cos t + C_2$.
4. Используем начальное условие $x(\pi) = 1$:
$x(\pi) = -\cos(\pi) + C_2 = -(-1) + C_2 = 1 + C_2 = 1$.
Отсюда $C_2 = 0$.
Искомая функция координаты:
Ответ: $x(t) = -\cos t$.