Номер 341, страница 181 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 7. Первообразная. Глава 3. Первообразная и интеграл - номер 341, страница 181.

Условие.

341. Точка движется по прямой с ускорением $a(t)$. В начальный момент $t_0$ ее координата равна $x_0$, а скорость $v_0$. Найдите координату $x(t)$ точки как функцию от времени:

а) $a(t) = -2t, t_0 = 1, x_0 = 4, v_0 = 2;$

б) $a(t) = \sin t, t_0 = \frac{\pi}{2}, x_0 = 2, v_0 = 1;$

в) $a(t) = 6t, t_0 = 0, x_0 = 3, v_0 = 1;$

г) $a(t) = \cos t, t_0 = \pi, x_0 = 1, v_0 = 0.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы найти координату точки $x(t)$ как функцию времени, необходимо дважды проинтегрировать функцию ускорения $a(t)$. Первое интегрирование дает функцию скорости $v(t)$, а второе — функцию координаты $x(t)$. Константы интегрирования ($C_1$ и $C_2$) находятся с помощью начальных условий: скорости $v_0$ и координаты $x_0$ в момент времени $t_0$.

а)

Дано: $a(t) = -2t$, $t_0 = 1$, $x_0 = 4$, $v_0 = 2$.
1. Находим функцию скорости $v(t)$ путем интегрирования $a(t)$:
$v(t) = \int a(t) dt = \int (-2t) dt = -t^2 + C_1$.
2. Используем начальное условие $v(t_0) = v_0$, то есть $v(1) = 2$, чтобы найти константу $C_1$:
$v(1) = -(1)^2 + C_1 = -1 + C_1 = 2$, откуда $C_1 = 3$.
Таким образом, функция скорости: $v(t) = -t^2 + 3$.
3. Находим функцию координаты $x(t)$ путем интегрирования $v(t)$:
$x(t) = \int v(t) dt = \int (-t^2 + 3) dt = -\frac{t^3}{3} + 3t + C_2$.
4. Используем начальное условие $x(t_0) = x_0$, то есть $x(1) = 4$, чтобы найти константу $C_2$:
$x(1) = -\frac{1^3}{3} + 3(1) + C_2 = -\frac{1}{3} + 3 + C_2 = \frac{8}{3} + C_2 = 4$.
Отсюда $C_2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3}$.
Искомая функция координаты:
Ответ: $x(t) = -\frac{t^3}{3} + 3t + \frac{4}{3}$.

б)

Дано: $a(t) = \sin t$, $t_0 = \frac{\pi}{2}$, $x_0 = 2$, $v_0 = 1$.
1. Находим скорость $v(t)$ интегрированием ускорения $a(t)$:
$v(t) = \int \sin t dt = -\cos t + C_1$.
2. Используем начальное условие $v(\frac{\pi}{2}) = 1$:
$v(\frac{\pi}{2}) = -\cos(\frac{\pi}{2}) + C_1 = 0 + C_1 = 1$, откуда $C_1 = 1$.
Функция скорости: $v(t) = 1 - \cos t$.
3. Находим координату $x(t)$ интегрированием скорости $v(t)$:
$x(t) = \int (1 - \cos t) dt = t - \sin t + C_2$.
4. Используем начальное условие $x(\frac{\pi}{2}) = 2$:
$x(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} - \sin(\frac{\pi}{2}) + C_2 = \frac{\pi}{2} - 1 + C_2 = 2$.
Отсюда $C_2 = 2 + 1 - \frac{\pi}{2} = 3 - \frac{\pi}{2}$.
Искомая функция координаты:
Ответ: $x(t) = t - \sin t + 3 - \frac{\pi}{2}$.

в)

Дано: $a(t) = 6t$, $t_0 = 0$, $x_0 = 3$, $v_0 = 1$.
1. Находим скорость $v(t)$ интегрированием ускорения $a(t)$:
$v(t) = \int 6t dt = 3t^2 + C_1$.
2. Используем начальное условие $v(0) = 1$:
$v(0) = 3(0)^2 + C_1 = 0 + C_1 = 1$, откуда $C_1 = 1$.
Функция скорости: $v(t) = 3t^2 + 1$.
3. Находим координату $x(t)$ интегрированием скорости $v(t)$:
$x(t) = \int (3t^2 + 1) dt = t^3 + t + C_2$.
4. Используем начальное условие $x(0) = 3$:
$x(0) = (0)^3 + 0 + C_2 = 0 + C_2 = 3$, откуда $C_2 = 3$.
Искомая функция координаты:
Ответ: $x(t) = t^3 + t + 3$.

г)

Дано: $a(t) = \cos t$, $t_0 = \pi$, $x_0 = 1$, $v_0 = 0$.
1. Находим скорость $v(t)$ интегрированием ускорения $a(t)$:
$v(t) = \int \cos t dt = \sin t + C_1$.
2. Используем начальное условие $v(\pi) = 0$:
$v(\pi) = \sin(\pi) + C_1 = 0 + C_1 = 0$, откуда $C_1 = 0$.
Функция скорости: $v(t) = \sin t$.
3. Находим координату $x(t)$ интегрированием скорости $v(t)$:
$x(t) = \int \sin t dt = -\cos t + C_2$.
4. Используем начальное условие $x(\pi) = 1$:
$x(\pi) = -\cos(\pi) + C_2 = -(-1) + C_2 = 1 + C_2 = 1$.
Отсюда $C_2 = 0$.
Искомая функция координаты:
Ответ: $x(t) = -\cos t$.