Номер 345, страница 183 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 7. Первообразная - номер 345, страница 183.

Условие.

345. Найдите для функции $f$ первообразную, график которой проходит через точку $M$:

а) $f(x) = 4x + \frac{1}{x^2}$, $M(-1; 4);$

б) $f(x) = x^3 + 2$, $M(2; 15);$

в) $f(x) = 1 - 2x$, $M(3; 2);$

г) $f(x) = \frac{1}{x^3} - 10x^4 + 3$, $M(1; 5).$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Чтобы найти первообразную для функции $f(x)$, необходимо вычислить неопределенный интеграл от этой функции. Общий вид первообразной $F(x)$ для функции $f(x) = 4x + \frac{1}{x^2}$ находится следующим образом:
$F(x) = \int (4x + \frac{1}{x^2}) dx = \int (4x + x^{-2}) dx = 4\frac{x^{1+1}}{1+1} + \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = 4\frac{x^2}{2} + \frac{x^{-1}}{-1} + C = 2x^2 - \frac{1}{x} + C$.
Здесь $C$ — произвольная постоянная.
По условию, график первообразной проходит через точку $M(-1; 4)$. Это означает, что при $x = -1$, значение $F(x)$ должно быть равно $4$. Подставим эти значения в найденное выражение для $F(x)$:
$F(-1) = 2(-1)^2 - \frac{1}{-1} + C = 4$
$2(1) - (-1) + C = 4$
$2 + 1 + C = 4$
$3 + C = 4$
$C = 4 - 3 = 1$.
Таким образом, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + 1$.
Ответ: $F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + 1$.

б)

Дана функция $f(x) = x^3 + 2$ и точка $M(2; 15)$.
Находим общий вид первообразной $F(x)$:
$F(x) = \int (x^3 + 2) dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + 2x + C = \frac{x^4}{4} + 2x + C$.
Используем условие, что график проходит через точку $M(2; 15)$, то есть $F(2) = 15$:
$F(2) = \frac{2^4}{4} + 2(2) + C = 15$
$\frac{16}{4} + 4 + C = 15$
$4 + 4 + C = 15$
$8 + C = 15$
$C = 15 - 8 = 7$.
Искомая первообразная: $F(x) = \frac{x^4}{4} + 2x + 7$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{4} + 2x + 7$.

в)

Дана функция $f(x) = 1 - 2x$ и точка $M(3; 2)$.
Находим общий вид первообразной $F(x)$:
$F(x) = \int (1 - 2x) dx = x - 2\frac{x^2}{2} + C = x - x^2 + C$.
Используем условие, что график проходит через точку $M(3; 2)$, то есть $F(3) = 2$:
$F(3) = 3 - (3)^2 + C = 2$
$3 - 9 + C = 2$
$-6 + C = 2$
$C = 2 + 6 = 8$.
Искомая первообразная: $F(x) = -x^2 + x + 8$.
Ответ: $F(x) = -x^2 + x + 8$.

г)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^3} - 10x^4 + 3$ и точка $M(1; 5)$.
Находим общий вид первообразной $F(x)$:
$F(x) = \int (\frac{1}{x^3} - 10x^4 + 3) dx = \int (x^{-3} - 10x^4 + 3) dx = \frac{x^{-2}}{-2} - 10\frac{x^5}{5} + 3x + C = -\frac{1}{2x^2} - 2x^5 + 3x + C$.
Используем условие, что график проходит через точку $M(1; 5)$, то есть $F(1) = 5$:
$F(1) = -\frac{1}{2(1)^2} - 2(1)^5 + 3(1) + C = 5$
$-\frac{1}{2} - 2 + 3 + C = 5$
$-\frac{1}{2} + 1 + C = 5$
$\frac{1}{2} + C = 5$
$C = 5 - \frac{1}{2} = 4.5$.
Искомая первообразная: $F(x) = -2x^5 + 3x - \frac{1}{2x^2} + 4.5$.
Ответ: $F(x) = -2x^5 + 3x - \frac{1}{2x^2} + 4.5$.