Номер 346, страница 184 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 7. Первообразная - номер 346, страница 184.

Условие.

346. — Найдите общий вид первообразных для функции:

a) $f(x) = 1 - \cos 3x + 2 \sin \left(\frac{\pi}{3} - x\right);$

б) $f(x) = \frac{1}{\sin^2 4x} + \frac{1}{\sqrt{2-x}} - 3x^2;$

в) $f(x) = \frac{2}{\cos^2 (3x+1)} - 3 \sin (4-x) + 2x;$

г) $f(x) = \frac{1}{(3-2x)^3} + \frac{3}{\sqrt{5x-2}} - 2 \cos \left(\frac{\pi}{4} - x\right).$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для нахождения общего вида первообразных для функции $f(x) = 1 - \cos 3x + 2 \sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right)$ необходимо найти ее неопределенный интеграл $F(x) = \int f(x) dx$.
Интегрируем функцию почленно, используя свойство линейности интеграла:
$F(x) = \int \left(1 - \cos 3x + 2 \sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right)\right) dx = \int 1 dx - \int \cos 3x dx + 2 \int \sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right) dx$.
Применим табличные интегралы и правило интегрирования для функции вида $g(kx+b)$, первообразная которой равна $\frac{1}{k}G(kx+b)$, где $G(x)$ — первообразная для $g(x)$.
1. Первообразная для константы 1: $\int 1 dx = x$.
2. Первообразная для $\cos 3x$: здесь $k=3$, $\int \cos(u)du = \sin(u)$, следовательно, $\int \cos 3x dx = \frac{1}{3}\sin 3x$.
3. Первообразная для $2 \sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right)$: здесь $k=-1$, $\int \sin(u)du = -\cos(u)$, следовательно, $2 \int \sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right) dx = 2 \cdot \frac{1}{-1} \left(-\cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right)\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right)$.
Суммируя все найденные первообразные и добавляя произвольную постоянную $C$, получаем общий вид:
Ответ: $x - \frac{1}{3}\sin 3x + 2\cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right) + C$.

б) Для функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2 4x} + \frac{1}{\sqrt{2-x}} - 3x^2$ найдем общий вид первообразных $F(x)$.
$F(x) = \int \left(\frac{1}{\sin^2 4x} + \frac{1}{\sqrt{2-x}} - 3x^2\right) dx = \int \frac{1}{\sin^2 4x} dx + \int (2-x)^{-1/2} dx - \int 3x^2 dx$.
1. Для $\int \frac{1}{\sin^2 4x} dx$: $k=4$, $\int \frac{1}{\sin^2 u} du = -\cot u$. Получаем $\frac{1}{4}(-\cot 4x) = -\frac{1}{4}\cot 4x$.
2. Для $\int (2-x)^{-1/2} dx$: $k=-1$, $\int u^{-1/2} du = 2u^{1/2} = 2\sqrt{u}$. Получаем $\frac{1}{-1}(2\sqrt{2-x}) = -2\sqrt{2-x}$.
3. Для $\int 3x^2 dx$: используем формулу для степенной функции, $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$. Получаем $3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$.
Объединяем результаты и добавляем константу $C$:
Ответ: $-\frac{1}{4}\cot 4x - 2\sqrt{2-x} - x^3 + C$.

в) Для функции $f(x) = \frac{2}{\cos^2(3x+1)} - 3 \sin(4-x) + 2x$ найдем общий вид первообразных $F(x)$.
$F(x) = \int \left(\frac{2}{\cos^2(3x+1)} - 3 \sin(4-x) + 2x\right) dx = 2\int \frac{1}{\cos^2(3x+1)} dx - 3\int \sin(4-x) dx + \int 2x dx$.
1. Для $2\int \frac{1}{\cos^2(3x+1)} dx$: $k=3$, $\int \frac{1}{\cos^2 u} du = \tan u$. Получаем $2 \cdot \frac{1}{3}\tan(3x+1) = \frac{2}{3}\tan(3x+1)$.
2. Для $-3\int \sin(4-x) dx$: $k=-1$, $\int \sin u du = -\cos u$. Получаем $-3 \cdot \frac{1}{-1}(-\cos(4-x)) = -3\cos(4-x)$.
3. Для $\int 2x dx$: получаем $2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$.
Объединяем результаты и добавляем константу $C$:
Ответ: $\frac{2}{3}\tan(3x+1) - 3\cos(4-x) + x^2 + C$.

г) Для функции $f(x) = \frac{1}{(3-2x)^3} + \frac{3}{\sqrt{5x-2}} - 2\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)$ найдем общий вид первообразных $F(x)$.
$F(x) = \int \left((3-2x)^{-3} + 3(5x-2)^{-1/2} - 2\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right) dx$.
Интегрируем каждое слагаемое отдельно:
1. Для $\int (3-2x)^{-3} dx$: $k=-2$, $\int u^{-3} du = \frac{u^{-2}}{-2}$. Получаем $\frac{1}{-2}\left(\frac{(3-2x)^{-2}}{-2}\right) = \frac{1}{4(3-2x)^2}$.
2. Для $3\int (5x-2)^{-1/2} dx$: $k=5$, $\int u^{-1/2} du = 2u^{1/2}$. Получаем $3 \cdot \frac{1}{5}(2\sqrt{5x-2}) = \frac{6}{5}\sqrt{5x-2}$.
3. Для $-2\int \cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right) dx$: $k=-1$, $\int \cos u du = \sin u$. Получаем $-2 \cdot \frac{1}{-1}\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)$.
Объединяем результаты и добавляем константу $C$:
Ответ: $\frac{1}{4(3-2x)^2} + \frac{6}{5}\sqrt{5x-2} + 2\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right) + C$.