Номер 349, страница 184 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 7. Первообразная. Глава 3. Первообразная и интеграл - номер 349, страница 184.
№349 (с. 184)
Условие. №349 (с. 184)
скриншот условия

349.— Скорость прямолинейно движущейся точки задана формулой $v(t) = 2 \cos \frac{t}{2}$. Найдите формулу, выражающую зависимость координаты точки от времени, если известно, что в момент $t = \frac{\pi}{3}$ с точка находилась на расстоянии 4 м от начала координат.
Решение 1. №349 (с. 184)

Решение 4. №349 (с. 184)

Решение 5. №349 (с. 184)
Поскольку скорость $v(t)$ является производной от координаты $x(t)$ по времени $t$, то есть $v(t) = x'(t)$, для нахождения зависимости координаты от времени $x(t)$ необходимо найти первообразную (неопределенный интеграл) от функции скорости.
$x(t) = \int v(t) dt = \int 2 \cos\left(\frac{t}{2}\right) dt$
Вычислим интеграл, используя табличный интеграл для косинуса $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$:
$x(t) = 2 \int \cos\left(\frac{t}{2}\right) dt = 2 \cdot \frac{1}{1/2} \sin\left(\frac{t}{2}\right) + C = 4 \sin\left(\frac{t}{2}\right) + C$
Таким образом, мы получили общее уравнение движения точки, где $C$ — это константа интегрирования.
$x(t) = 4 \sin\left(\frac{t}{2}\right) + C$
Для определения значения константы $C$ используем начальное условие, данное в задаче: в момент времени $t = \frac{\pi}{3}$ с точка находилась на расстоянии 4 м от начала координат. Это означает, что $x\left(\frac{\pi}{3}\right) = 4$.
Подставим эти значения в полученное уравнение:
$4 = 4 \sin\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3}\right) + C$
$4 = 4 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + C$
Зная, что значение $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, получаем:
$4 = 4 \cdot \frac{1}{2} + C$
$4 = 2 + C$
Отсюда находим $C$:
$C = 4 - 2 = 2$
Теперь подставляем найденное значение $C = 2$ обратно в общее уравнение для координаты $x(t)$, чтобы получить искомую формулу:
$x(t) = 4 \sin\left(\frac{t}{2}\right) + 2$
Ответ: $x(t) = 4 \sin\left(\frac{t}{2}\right) + 2$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 349 расположенного на странице 184 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №349 (с. 184), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.