Номер 349, страница 184 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 7. Первообразная - номер 349, страница 184.

Условие.

349.— Скорость прямолинейно движущейся точки задана формулой $v(t) = 2 \cos \frac{t}{2}$. Найдите формулу, выражающую зависимость координаты точки от времени, если известно, что в момент $t = \frac{\pi}{3}$ с точка находилась на расстоянии 4 м от начала координат.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

Поскольку скорость $v(t)$ является производной от координаты $x(t)$ по времени $t$, то есть $v(t) = x'(t)$, для нахождения зависимости координаты от времени $x(t)$ необходимо найти первообразную (неопределенный интеграл) от функции скорости.

$x(t) = \int v(t) dt = \int 2 \cos\left(\frac{t}{2}\right) dt$

Вычислим интеграл, используя табличный интеграл для косинуса $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$:

$x(t) = 2 \int \cos\left(\frac{t}{2}\right) dt = 2 \cdot \frac{1}{1/2} \sin\left(\frac{t}{2}\right) + C = 4 \sin\left(\frac{t}{2}\right) + C$

Таким образом, мы получили общее уравнение движения точки, где $C$ — это константа интегрирования.

$x(t) = 4 \sin\left(\frac{t}{2}\right) + C$

Для определения значения константы $C$ используем начальное условие, данное в задаче: в момент времени $t = \frac{\pi}{3}$ с точка находилась на расстоянии 4 м от начала координат. Это означает, что $x\left(\frac{\pi}{3}\right) = 4$.

Подставим эти значения в полученное уравнение:

$4 = 4 \sin\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3}\right) + C$

$4 = 4 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + C$

Зная, что значение $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, получаем:

$4 = 4 \cdot \frac{1}{2} + C$

$4 = 2 + C$

Отсюда находим $C$:

$C = 4 - 2 = 2$

Теперь подставляем найденное значение $C = 2$ обратно в общее уравнение для координаты $x(t)$, чтобы получить искомую формулу:

$x(t) = 4 \sin\left(\frac{t}{2}\right) + 2$

Ответ: $x(t) = 4 \sin\left(\frac{t}{2}\right) + 2$.