Номер 354, страница 188 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 8. Интеграл. Глава 3. Первообразная и интеграл - номер 354, страница 188.

Условие.

354.-

а) $y = x^3 + 1$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 2$;

б) $y = 1 + 2 \sin x$, $y = 0$, $x = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$;

в) $y = 4 - x^2$, $y = 0$;

г) $y = 1 + \frac{1}{2} \cos x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{2}$, $x = \frac{\pi}{2}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^3 + 1$, $y = 0$ (ось Ox), $x = 0$ и $x = 2$. Такая фигура называется криволинейной трапецией.

На отрезке $[0, 2]$ функция $y = x^3 + 1$ принимает неотрицательные значения, так как при $x \ge 0$, $x^3 \ge 0$, и следовательно $x^3+1 \ge 1$. Площадь фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла:

$S = \int_a^b f(x) \,dx = \int_0^2 (x^3 + 1) \,dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = x^3 + 1$. Первообразная равна $F(x) = \frac{x^4}{4} + x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \frac{x^4}{4} + x \right]_0^2 = \left(\frac{2^4}{4} + 2\right) - \left(\frac{0^4}{4} + 0\right) = \left(\frac{16}{4} + 2\right) - 0 = 4 + 2 = 6$.

Ответ: $6$

б) Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 1 + 2 \sin x$, $y = 0$, $x = 0$ и $x = \frac{\pi}{2}$.

На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ синус принимает значения от $0$ до $1$, поэтому функция $y = 1 + 2 \sin x$ является положительной ($1 \le 1 + 2 \sin x \le 3$). Площадь вычисляется как определенный интеграл:

$S = \int_0^{\pi/2} (1 + 2 \sin x) \,dx$

Первообразная для функции $f(x) = 1 + 2 \sin x$ равна $F(x) = x - 2 \cos x$.

Вычисляем интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ x - 2 \cos x \right]_0^{\pi/2} = \left(\frac{\pi}{2} - 2 \cos\frac{\pi}{2}\right) - (0 - 2 \cos 0) = \left(\frac{\pi}{2} - 2 \cdot 0\right) - (0 - 2 \cdot 1) = \frac{\pi}{2} - (-2) = \frac{\pi}{2} + 2$.

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2$

в) Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 4 - x^2$ и $y = 0$.

Сначала найдем пределы интегрирования. Это точки пересечения графика функции с осью Ox. Для этого решим уравнение $4 - x^2 = 0$. Корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Это и будут наши пределы интегрирования, $a=-2$ и $b=2$.

На отрезке $[-2, 2]$ парабола $y = 4 - x^2$ находится выше оси Ox, то есть $4 - x^2 \ge 0$. Площадь вычисляется по формуле:

$S = \int_{-2}^2 (4 - x^2) \,dx$

Поскольку подынтегральная функция $f(x) = 4 - x^2$ является четной ($f(-x) = f(x)$), а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, можно упростить вычисление:

$S = 2 \int_0^2 (4 - x^2) \,dx$

Первообразная для $f(x) = 4 - x^2$ есть $F(x) = 4x - \frac{x^3}{3}$.

$S = 2 \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = 2 \left( \left(4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3}\right) - \left(4 \cdot 0 - \frac{0^3}{3}\right) \right) = 2 \left( 8 - \frac{8}{3} \right) = 2 \left( \frac{24 - 8}{3} \right) = 2 \cdot \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$.

Ответ: $\frac{32}{3}$

г) Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 1 + \frac{1}{2} \cos x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$.

На отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ косинус принимает значения от $0$ до $1$, поэтому функция $y = 1 + \frac{1}{2} \cos x$ положительна ($1 \le 1 + \frac{1}{2} \cos x \le 1.5$). Площадь вычисляется как определенный интеграл:

$S = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left(1 + \frac{1}{2} \cos x\right) \,dx$

Подынтегральная функция $f(x) = 1 + \frac{1}{2} \cos x$ является четной, так как $\cos(-x) = \cos x$. Пределы интегрирования симметричны относительно нуля. Поэтому можно записать:

$S = 2 \int_0^{\pi/2} \left(1 + \frac{1}{2} \cos x\right) \,dx$

Первообразная для $f(x) = 1 + \frac{1}{2} \cos x$ равна $F(x) = x + \frac{1}{2} \sin x$.

$S = 2 \left[ x + \frac{1}{2} \sin x \right]_0^{\pi/2} = 2 \left( \left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \sin\frac{\pi}{2}\right) - \left(0 + \frac{1}{2} \sin 0\right) \right) = 2 \left( \left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1\right) - 0 \right) = 2 \left( \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \right) = \pi + 1$.

Ответ: $\pi + 1$