Номер 360, страница 192 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 8. Интеграл. Глава 3. Первообразная и интеграл - номер 360, страница 192.
№360 (с. 192)
Условие. №360 (с. 192)
скриншот условия

Вычислите (предварительно сделав рисунок) площадь фигуры, ограниченной линиями (360—361).
360.-
а) $y = x^4, y = 0, x = -1, x = 1;$
б) $y = x^4, y = 1;$
в) $y = x^2 - 4x + 5, y = 0, x = 0, x = 4;$
г) $y = x^2 - 4x + 5, y = 5.$
Решение 1. №360 (с. 192)


Решение 3. №360 (с. 192)

Решение 4. №360 (с. 192)

Решение 5. №360 (с. 192)
а)
Фигура ограничена линиями $y = x^4$, $y = 0$, $x = -1$ и $x = 1$. Графиком функции $y = x^4$ является парабола четвертой степени, симметричная относительно оси OY. Линия $y = 0$ — это ось абсцисс (OX). Линии $x = -1$ и $x = 1$ — это вертикальные прямые.
Таким образом, мы ищем площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции $y = x^4$, снизу осью OX, и по бокам прямыми $x = -1$ и $x = 1$. Так как на отрезке $[-1, 1]$ функция $y = x^4$ неотрицательна ($x^4 \ge 0$), площадь вычисляется как определенный интеграл:
$S = \int_{-1}^{1} x^4 \,dx$
Поскольку подынтегральная функция $f(x) = x^4$ является четной, можно упростить вычисление:
$S = 2 \int_{0}^{1} x^4 \,dx = 2 \cdot \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} = 2 \cdot \left( \frac{1^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right) = 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$
Ответ: $S = \frac{2}{5}$ кв. ед.
б)
Фигура ограничена линиями $y = x^4$ и $y = 1$. Фигура симметрична относительно оси OY. Она ограничена сверху горизонтальной прямой $y=1$, а снизу — параболой $y=x^4$.
Сначала найдем пределы интегрирования, решив уравнение $x^4 = 1$. Корнями являются $x = -1$ и $x = 1$. Таким образом, интегрирование будет производиться по отрезку $[-1, 1]$.
Площадь фигуры равна разности интегралов от верхей и нижней функций:
$S = \int_{-1}^{1} (1 - x^4) \,dx$
Подынтегральная функция $f(x) = 1 - x^4$ также является четной, поэтому:
$S = 2 \int_{0}^{1} (1 - x^4) \,dx = 2 \cdot \left[ x - \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} = 2 \cdot \left( (1 - \frac{1^5}{5}) - (0 - \frac{0^5}{5}) \right) = 2 \cdot \left(1 - \frac{1}{5}\right) = 2 \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{5}$
Ответ: $S = \frac{8}{5}$ кв. ед.
в)
Фигура ограничена линиями $y = x^2 - 4x + 5$, $y = 0$, $x = 0$ и $x = 4$. График функции $y = x^2 - 4x + 5$ — это парабола с ветвями вверх. Найдем ее вершину: $x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$, $y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 + 5 = 1$. Вершина находится в точке $(2, 1)$. Дискриминант уравнения $x^2 - 4x + 5 = 0$ равен $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 < 0$, следовательно, парабола не пересекает ось OX и полностью лежит выше нее.
Таким образом, мы ищем площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху параболой $y = x^2 - 4x + 5$, снизу осью OX ($y=0$), слева осью OY ($x=0$) и справа прямой $x=4$.
Площадь вычисляется по формуле:
$S = \int_{0}^{4} (x^2 - 4x + 5) \,dx$
Вычислим интеграл:
$S = \left[ \frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} + 5x \right]_{0}^{4} = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 5x \right]_{0}^{4} = \left( \frac{4^3}{3} - 2 \cdot 4^2 + 5 \cdot 4 \right) - 0 = \frac{64}{3} - 2 \cdot 16 + 20 = \frac{64}{3} - 32 + 20 = \frac{64}{3} - 12 = \frac{64 - 36}{3} = \frac{28}{3}$
Ответ: $S = \frac{28}{3}$ кв. ед.
г)
Фигура ограничена линиями $y = x^2 - 4x + 5$ и $y = 5$. Это область, заключенная между параболой (см. пункт в) и горизонтальной прямой $y=5$. Прямая $y=5$ будет являться верхней границей фигуры, а парабола — нижней, так как ее вершина $(2, 1)$ находится ниже прямой $y=5$.
Найдем точки пересечения, чтобы определить пределы интегрирования:
$x^2 - 4x + 5 = 5$
$x^2 - 4x = 0$
$x(x - 4) = 0$
Следовательно, $x = 0$ и $x = 4$.
Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:
$S = \int_{0}^{4} (5 - (x^2 - 4x + 5)) \,dx = \int_{0}^{4} (5 - x^2 + 4x - 5) \,dx = \int_{0}^{4} (-x^2 + 4x) \,dx$
Вычислим интеграл:
$S = \left[ -\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 \right]_{0}^{4} = \left( -\frac{4^3}{3} + 2 \cdot 4^2 \right) - 0 = -\frac{64}{3} + 2 \cdot 16 = -\frac{64}{3} + 32 = \frac{-64 + 96}{3} = \frac{32}{3}$
Ответ: $S = \frac{32}{3}$ кв. ед.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 360 расположенного на странице 192 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №360 (с. 192), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.