Номер 360, страница 192 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 8. Интеграл - номер 360, страница 192.

Условие.

Вычислите (предварительно сделав рисунок) площадь фигуры, ограниченной линиями (360—361).

360.-

а) $y = x^4, y = 0, x = -1, x = 1;$

б) $y = x^4, y = 1;$

в) $y = x^2 - 4x + 5, y = 0, x = 0, x = 4;$

г) $y = x^2 - 4x + 5, y = 5.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Фигура ограничена линиями $y = x^4$, $y = 0$, $x = -1$ и $x = 1$. Графиком функции $y = x^4$ является парабола четвертой степени, симметричная относительно оси OY. Линия $y = 0$ — это ось абсцисс (OX). Линии $x = -1$ и $x = 1$ — это вертикальные прямые.

Таким образом, мы ищем площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции $y = x^4$, снизу осью OX, и по бокам прямыми $x = -1$ и $x = 1$. Так как на отрезке $[-1, 1]$ функция $y = x^4$ неотрицательна ($x^4 \ge 0$), площадь вычисляется как определенный интеграл:

$S = \int_{-1}^{1} x^4 \,dx$

Поскольку подынтегральная функция $f(x) = x^4$ является четной, можно упростить вычисление:

$S = 2 \int_{0}^{1} x^4 \,dx = 2 \cdot \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} = 2 \cdot \left( \frac{1^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right) = 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$

Ответ: $S = \frac{2}{5}$ кв. ед.

б)

Фигура ограничена линиями $y = x^4$ и $y = 1$. Фигура симметрична относительно оси OY. Она ограничена сверху горизонтальной прямой $y=1$, а снизу — параболой $y=x^4$.

Сначала найдем пределы интегрирования, решив уравнение $x^4 = 1$. Корнями являются $x = -1$ и $x = 1$. Таким образом, интегрирование будет производиться по отрезку $[-1, 1]$.

Площадь фигуры равна разности интегралов от верхей и нижней функций:

$S = \int_{-1}^{1} (1 - x^4) \,dx$

Подынтегральная функция $f(x) = 1 - x^4$ также является четной, поэтому:

$S = 2 \int_{0}^{1} (1 - x^4) \,dx = 2 \cdot \left[ x - \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} = 2 \cdot \left( (1 - \frac{1^5}{5}) - (0 - \frac{0^5}{5}) \right) = 2 \cdot \left(1 - \frac{1}{5}\right) = 2 \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{5}$

Ответ: $S = \frac{8}{5}$ кв. ед.

в)

Фигура ограничена линиями $y = x^2 - 4x + 5$, $y = 0$, $x = 0$ и $x = 4$. График функции $y = x^2 - 4x + 5$ — это парабола с ветвями вверх. Найдем ее вершину: $x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$, $y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 + 5 = 1$. Вершина находится в точке $(2, 1)$. Дискриминант уравнения $x^2 - 4x + 5 = 0$ равен $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 < 0$, следовательно, парабола не пересекает ось OX и полностью лежит выше нее.

Таким образом, мы ищем площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху параболой $y = x^2 - 4x + 5$, снизу осью OX ($y=0$), слева осью OY ($x=0$) и справа прямой $x=4$.

Площадь вычисляется по формуле:

$S = \int_{0}^{4} (x^2 - 4x + 5) \,dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ \frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} + 5x \right]_{0}^{4} = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 5x \right]_{0}^{4} = \left( \frac{4^3}{3} - 2 \cdot 4^2 + 5 \cdot 4 \right) - 0 = \frac{64}{3} - 2 \cdot 16 + 20 = \frac{64}{3} - 32 + 20 = \frac{64}{3} - 12 = \frac{64 - 36}{3} = \frac{28}{3}$

Ответ: $S = \frac{28}{3}$ кв. ед.

г)

Фигура ограничена линиями $y = x^2 - 4x + 5$ и $y = 5$. Это область, заключенная между параболой (см. пункт в) и горизонтальной прямой $y=5$. Прямая $y=5$ будет являться верхней границей фигуры, а парабола — нижней, так как ее вершина $(2, 1)$ находится ниже прямой $y=5$.

Найдем точки пересечения, чтобы определить пределы интегрирования:

$x^2 - 4x + 5 = 5$

$x^2 - 4x = 0$

$x(x - 4) = 0$

Следовательно, $x = 0$ и $x = 4$.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{0}^{4} (5 - (x^2 - 4x + 5)) \,dx = \int_{0}^{4} (5 - x^2 + 4x - 5) \,dx = \int_{0}^{4} (-x^2 + 4x) \,dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ -\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 \right]_{0}^{4} = \left( -\frac{4^3}{3} + 2 \cdot 4^2 \right) - 0 = -\frac{64}{3} + 2 \cdot 16 = -\frac{64}{3} + 32 = \frac{-64 + 96}{3} = \frac{32}{3}$

Ответ: $S = \frac{32}{3}$ кв. ед.