Номер 361, страница 192 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 8. Интеграл - номер 361, страница 192.

Условие.

361.-

a) $y = 1 - x^3$, $y = 0$, $x = 0$;

б) $y = 2 - x^3$, $y = 1$, $x = -1$, $x = 1$;

в) $y = -x^2 - 4x$, $y = 0$, $x = -3$, $x = -1$;

г) $y = -x^2 - 4x$, $y = 1$, $x = -3$, $x = -1$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 1 - x^3$, $y = 0$ и $x = 0$.

Площадь такой фигуры (криволинейной трапеции) вычисляется с помощью определенного интеграла. Пределы интегрирования определяются заданными линиями. Одна из границ — это прямая $x = 0$. Найдем вторую границу, определив точку пересечения кривой $y = 1 - x^3$ с линией $y = 0$ (ось абсцисс):

$1 - x^3 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x = 1$.

Таким образом, пределы интегрирования по оси $x$ — от $0$ до $1$.

В интервале $[0, 1]$ функция $y = 1 - x^3$ принимает неотрицательные значения (например, при $x = 0.5$, $y = 1 - 0.125 = 0.875 > 0$). Следовательно, кривая $y = 1 - x^3$ лежит выше оси $y=0$.

Площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{0}^{1} (1 - x^3) dx$

Вычислим этот интеграл:

$S = \left[ x - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \left( 1 - \frac{1^4}{4} \right) - \left( 0 - \frac{0^4}{4} \right) = 1 - \frac{1}{4} - 0 = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

б)

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 2 - x^3$, $y = 1$, $x = -1$ и $x = 1$.

Пределы интегрирования заданы: от $x = -1$ до $x = 1$.

Чтобы найти площадь между двумя кривыми, нужно из верхней функции вычесть нижнюю. Определим, какая из функций, $y = 2 - x^3$ или $y = 1$, является верхней на интервале $[-1, 1]$. Для этого сравним их значения в любой точке интервала, например, при $x=0$:

$y_1 = 2 - 0^3 = 2$

$y_2 = 1$

Поскольку $2 > 1$, функция $y = 2 - x^3$ находится выше прямой $y = 1$ на всем интервале $[-1, 1]$.

Площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{-1}^{1} ((2 - x^3) - 1) dx = \int_{-1}^{1} (1 - x^3) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ x - \frac{x^4}{4} \right]_{-1}^{1} = \left( 1 - \frac{1^4}{4} \right) - \left( -1 - \frac{(-1)^4}{4} \right) = \left( 1 - \frac{1}{4} \right) - \left( -1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4} - \left( -\frac{5}{4} \right) = \frac{3}{4} + \frac{5}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

Ответ: $2$.

в)

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = -x^2 - 4x$, $y = 0$, $x = -3$ и $x = -1$.

Пределы интегрирования заданы: от $x = -3$ до $x = -1$.

Функция $y = -x^2 - 4x$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем ее точки пересечения с осью $y=0$ (осью абсцисс):

$-x^2 - 4x = 0 \implies -x(x+4) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = -4$.

На интервале $(-4, 0)$ парабола находится выше оси абсцисс. Так как заданный интервал интегрирования $[-3, -1]$ полностью лежит внутри интервала $(-4, 0)$, то на этом отрезке $-x^2 - 4x \ge 0$.

Площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{-3}^{-1} (-x^2 - 4x) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ -\frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} \right]_{-3}^{-1} = \left[ -\frac{x^3}{3} - 2x^2 \right]_{-3}^{-1}$

$S = \left( -\frac{(-1)^3}{3} - 2(-1)^2 \right) - \left( -\frac{(-3)^3}{3} - 2(-3)^2 \right) = \left( \frac{1}{3} - 2 \right) - \left( \frac{27}{3} - 18 \right)$

$S = \left( -\frac{5}{3} \right) - (9 - 18) = -\frac{5}{3} - (-9) = 9 - \frac{5}{3} = \frac{27 - 5}{3} = \frac{22}{3}$.

Ответ: $\frac{22}{3}$.

г)

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = -x^2 - 4x$, $y = 1$, $x = -3$ и $x = -1$.

Пределы интегрирования заданы: от $x = -3$ до $x = -1$.

Определим, какая из функций, $y = -x^2 - 4x$ или $y = 1$, является верхней на интервале $[-3, -1]$. Возьмем тестовую точку из интервала, например $x = -2$ (вершина параболы):

$y_1 = -(-2)^2 - 4(-2) = -4 + 8 = 4$

$y_2 = 1$

Поскольку $4 > 1$, функция $y = -x^2 - 4x$ находится выше прямой $y = 1$ на данном интервале.

Площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{-3}^{-1} ((-x^2 - 4x) - 1) dx = \int_{-3}^{-1} (-x^2 - 4x - 1) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ -\frac{x^3}{3} - 2x^2 - x \right]_{-3}^{-1}$

$S = \left( -\frac{(-1)^3}{3} - 2(-1)^2 - (-1) \right) - \left( -\frac{(-3)^3}{3} - 2(-3)^2 - (-3) \right)$

$S = \left( \frac{1}{3} - 2 + 1 \right) - \left( \frac{27}{3} - 18 + 3 \right) = \left( \frac{1}{3} - 1 \right) - (9 - 18 + 3) = -\frac{2}{3} - (-6) = 6 - \frac{2}{3} = \frac{18 - 2}{3} = \frac{16}{3}$.

Ответ: $\frac{16}{3}$.