Номер 368, страница 193 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 8. Интеграл. Глава 3. Первообразная и интеграл - номер 368, страница 193.
№368 (с. 193)
Условие. №368 (с. 193)
скриншот условия

368. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $f(x) = 8 - 0.5x^2$, касательной к нему в точке с абсциссой $x = -2$ и прямой $x = 1$.
Решение 1. №368 (с. 193)

Решение 3. №368 (с. 193)


Решение 5. №368 (с. 193)
Для вычисления площади искомой фигуры необходимо выполнить следующие действия: сначала найти уравнение касательной к графику функции в заданной точке, а затем вычислить определенный интеграл разности между функцией касательной и исходной функцией в заданных пределах.
1. Нахождение уравнения касательной
Дана функция $f(x) = 8 - 0.5x^2$ и точка касания с абсциссой $x_0 = -2$.
Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
Найдем значение функции в точке касания:
$f(x_0) = f(-2) = 8 - 0.5(-2)^2 = 8 - 0.5 \cdot 4 = 8 - 2 = 6$.
Теперь найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (8 - 0.5x^2)' = -0.5 \cdot 2x = -x$.
Найдем значение производной в точке $x_0 = -2$, которое представляет собой угловой коэффициент касательной:
$f'(-2) = -(-2) = 2$.
Подставим найденные значения $f(-2)=6$ и $f'(-2)=2$ в уравнение касательной:
$y = 6 + 2(x - (-2))$
$y = 6 + 2(x + 2)$
$y = 6 + 2x + 4$
$y = 2x + 10$
Таким образом, уравнение касательной: $g(x) = 2x + 10$.
2. Вычисление площади фигуры
Фигура ограничена графиком функции $f(x) = 8 - 0.5x^2$, касательной к нему $g(x) = 2x + 10$ и прямой $x = 1$. Нижней границей интегрирования является абсцисса точки касания $x = -2$. Таким образом, пределы интегрирования от $a = -2$ до $b = 1$.
Площадь фигуры, заключенной между двумя кривыми, вычисляется по формуле:
$S = \int_{a}^{b} (y_{верх}(x) - y_{ниж}(x)) dx$
График функции $f(x) = 8 - 0.5x^2$ является параболой с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен. Это означает, что парабола лежит ниже любой своей касательной. Следовательно, на отрезке $[-2, 1]$ касательная $g(x) = 2x + 10$ является верхней границей фигуры, а парабола $f(x) = 8 - 0.5x^2$ — нижней.
Составим интеграл для вычисления площади:
$S = \int_{-2}^{1} ((2x + 10) - (8 - 0.5x^2)) dx$
Упростим подынтегральное выражение:
$(2x + 10) - (8 - 0.5x^2) = 2x + 10 - 8 + 0.5x^2 = 0.5x^2 + 2x + 2$
Вычислим определенный интеграл:
$S = \int_{-2}^{1} (0.5x^2 + 2x + 2) dx = \left[ 0.5 \frac{x^3}{3} + 2 \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{1} = \left[ \frac{x^3}{6} + x^2 + 2x \right]_{-2}^{1}$
Применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} h(x)dx = H(b) - H(a) $:
$S = \left( \frac{1^3}{6} + 1^2 + 2 \cdot 1 \right) - \left( \frac{(-2)^3}{6} + (-2)^2 + 2 \cdot (-2) \right)$
$S = \left( \frac{1}{6} + 1 + 2 \right) - \left( \frac{-8}{6} + 4 - 4 \right)$
$S = \left( \frac{1}{6} + 3 \right) - \left( -\frac{8}{6} \right)$
$S = \frac{1+18}{6} + \frac{8}{6} = \frac{19}{6} + \frac{8}{6} = \frac{27}{6}$
Сократим дробь:
$S = \frac{9}{2} = 4.5$
Ответ: 4.5.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 368 расположенного на странице 193 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №368 (с. 193), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.