Номер 368, страница 193 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 8. Интеграл - номер 368, страница 193.

Условие.

368. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $f(x) = 8 - 0.5x^2$, касательной к нему в точке с абсциссой $x = -2$ и прямой $x = 1$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для вычисления площади искомой фигуры необходимо выполнить следующие действия: сначала найти уравнение касательной к графику функции в заданной точке, а затем вычислить определенный интеграл разности между функцией касательной и исходной функцией в заданных пределах.

1. Нахождение уравнения касательной

Дана функция $f(x) = 8 - 0.5x^2$ и точка касания с абсциссой $x_0 = -2$.

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Найдем значение функции в точке касания:

$f(x_0) = f(-2) = 8 - 0.5(-2)^2 = 8 - 0.5 \cdot 4 = 8 - 2 = 6$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (8 - 0.5x^2)' = -0.5 \cdot 2x = -x$.

Найдем значение производной в точке $x_0 = -2$, которое представляет собой угловой коэффициент касательной:

$f'(-2) = -(-2) = 2$.

Подставим найденные значения $f(-2)=6$ и $f'(-2)=2$ в уравнение касательной:

$y = 6 + 2(x - (-2))$

$y = 6 + 2(x + 2)$

$y = 6 + 2x + 4$

$y = 2x + 10$

Таким образом, уравнение касательной: $g(x) = 2x + 10$.

2. Вычисление площади фигуры

Фигура ограничена графиком функции $f(x) = 8 - 0.5x^2$, касательной к нему $g(x) = 2x + 10$ и прямой $x = 1$. Нижней границей интегрирования является абсцисса точки касания $x = -2$. Таким образом, пределы интегрирования от $a = -2$ до $b = 1$.

Площадь фигуры, заключенной между двумя кривыми, вычисляется по формуле:

$S = \int_{a}^{b} (y_{верх}(x) - y_{ниж}(x)) dx$

График функции $f(x) = 8 - 0.5x^2$ является параболой с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен. Это означает, что парабола лежит ниже любой своей касательной. Следовательно, на отрезке $[-2, 1]$ касательная $g(x) = 2x + 10$ является верхней границей фигуры, а парабола $f(x) = 8 - 0.5x^2$ — нижней.

Составим интеграл для вычисления площади:

$S = \int_{-2}^{1} ((2x + 10) - (8 - 0.5x^2)) dx$

Упростим подынтегральное выражение:

$(2x + 10) - (8 - 0.5x^2) = 2x + 10 - 8 + 0.5x^2 = 0.5x^2 + 2x + 2$

Вычислим определенный интеграл:

$S = \int_{-2}^{1} (0.5x^2 + 2x + 2) dx = \left[ 0.5 \frac{x^3}{3} + 2 \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{1} = \left[ \frac{x^3}{6} + x^2 + 2x \right]_{-2}^{1}$

Применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} h(x)dx = H(b) - H(a) $:

$S = \left( \frac{1^3}{6} + 1^2 + 2 \cdot 1 \right) - \left( \frac{(-2)^3}{6} + (-2)^2 + 2 \cdot (-2) \right)$

$S = \left( \frac{1}{6} + 1 + 2 \right) - \left( \frac{-8}{6} + 4 - 4 \right)$

$S = \left( \frac{1}{6} + 3 \right) - \left( -\frac{8}{6} \right)$

$S = \frac{1+18}{6} + \frac{8}{6} = \frac{19}{6} + \frac{8}{6} = \frac{27}{6}$

Сократим дробь:

$S = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: 4.5.