Номер 363, страница 193 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 8. Интеграл. Глава 3. Первообразная и интеграл - номер 363, страница 193.
№363 (с. 193)
Условие. №363 (с. 193)
скриншот условия

363.— a) $\int_0^{\frac{2\pi}{3}} \left( \sin \frac{x}{4} + \cos \frac{x}{4} \right)^2 dx;$
б) $\int_0^2 (1 + 2x)^3 dx;$
в) $\int_0^{\frac{\pi}{12}} (1 + \cos 2x) dx;$
г) $\int_1^4 \left( x + \frac{\sqrt{x}}{x} \right) dx.$
Решение 1. №363 (с. 193)

Решение 3. №363 (с. 193)

Решение 4. №363 (с. 193)

Решение 5. №363 (с. 193)
a) Вычислим интеграл $\int_{0}^{\frac{2\pi}{3}} (\sin \frac{x}{4} + \cos \frac{x}{4})^2 dx$.
Сначала упростим подынтегральное выражение, используя тригонометрические тождества. Раскроем квадрат суммы:
$(\sin \frac{x}{4} + \cos \frac{x}{4})^2 = \sin^2 \frac{x}{4} + 2 \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4} + \cos^2 \frac{x}{4}$
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin(2\alpha)$. В нашем случае $\alpha = \frac{x}{4}$.
$(\sin^2 \frac{x}{4} + \cos^2 \frac{x}{4}) + 2 \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4} = 1 + \sin(2 \cdot \frac{x}{4}) = 1 + \sin(\frac{x}{2})$
Теперь интеграл принимает вид:
$\int_{0}^{\frac{2\pi}{3}} (1 + \sin(\frac{x}{2})) dx$
Найдем первообразную для подынтегральной функции:
$\int (1 + \sin(\frac{x}{2})) dx = \int 1 dx + \int \sin(\frac{x}{2}) dx = x - 2\cos(\frac{x}{2}) + C$
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{0}^{\frac{2\pi}{3}} (1 + \sin(\frac{x}{2})) dx = [x - 2\cos(\frac{x}{2})]_{0}^{\frac{2\pi}{3}}$
$= (\frac{2\pi}{3} - 2\cos(\frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{3})) - (0 - 2\cos(\frac{0}{2}))$
$= (\frac{2\pi}{3} - 2\cos(\frac{\pi}{3})) - (0 - 2\cos(0))$
Так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\cos(0) = 1$, получаем:
$= (\frac{2\pi}{3} - 2 \cdot \frac{1}{2}) - (0 - 2 \cdot 1) = (\frac{2\pi}{3} - 1) - (-2) = \frac{2\pi}{3} - 1 + 2 = \frac{2\pi}{3} + 1$
Ответ: $\frac{2\pi}{3} + 1$.
б) Вычислим интеграл $\int_{0}^{2} (1 + 2x)^3 dx$.
Этот интеграл можно решить методом замены переменной. Пусть $u = 1 + 2x$. Тогда $du = 2 dx$, откуда $dx = \frac{1}{2} du$.
Найдем новые пределы интегрирования:
Если $x=0$, то $u = 1 + 2(0) = 1$.
Если $x=2$, то $u = 1 + 2(2) = 5$.
Подставим все в интеграл:
$\int_{0}^{2} (1 + 2x)^3 dx = \int_{1}^{5} u^3 \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{1}^{5} u^3 du$
Теперь вычислим полученный интеграл:
$\frac{1}{2} [\frac{u^4}{4}]_{1}^{5} = \frac{1}{8} [u^4]_{1}^{5} = \frac{1}{8} (5^4 - 1^4) = \frac{1}{8} (625 - 1) = \frac{624}{8} = 78$
Ответ: $78$.
в) Вычислим интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} (1 + \cos 2x) dx$.
Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 1 + \cos 2x$.
$\int (1 + \cos 2x) dx = \int 1 dx + \int \cos 2x dx$
Первообразная для $1$ равна $x$. Первообразная для $\cos 2x$ равна $\frac{1}{2}\sin 2x$.
Таким образом, первообразная для $1 + \cos 2x$ равна $x + \frac{1}{2}\sin 2x + C$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} (1 + \cos 2x) dx = [x + \frac{1}{2}\sin 2x]_{0}^{\frac{\pi}{12}}$
$= (\frac{\pi}{12} + \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{12})) - (0 + \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 0))$
$= (\frac{\pi}{12} + \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{6})) - (0 + \frac{1}{2}\sin(0))$
Так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(0) = 0$, получаем:
$= (\frac{\pi}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) - (0 + 0) = \frac{\pi}{12} + \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{\pi}{12} + \frac{1}{4}$.
г) Вычислим интеграл $\int_{1}^{4} (x + \frac{\sqrt{x}}{x}) dx$.
Сначала упростим подынтегральное выражение:
$\frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{x^{1/2}}{x^1} = x^{1/2 - 1} = x^{-1/2}$
Интеграл принимает вид:
$\int_{1}^{4} (x + x^{-1/2}) dx$
Найдем первообразную, используя правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
$\int (x + x^{-1/2}) dx = \int x^1 dx + \int x^{-1/2} dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{x^2}{2} + \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{x^2}{2} + 2\sqrt{x} + C$
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{1}^{4} (x + x^{-1/2}) dx = [\frac{x^2}{2} + 2\sqrt{x}]_{1}^{4}$
$= (\frac{4^2}{2} + 2\sqrt{4}) - (\frac{1^2}{2} + 2\sqrt{1})$
$= (\frac{16}{2} + 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} + 2 \cdot 1)$
$= (8 + 4) - (\frac{1}{2} + 2) = 12 - (2 + \frac{1}{2}) = 12 - \frac{5}{2} = \frac{24}{2} - \frac{5}{2} = \frac{19}{2}$
Ответ: $\frac{19}{2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 363 расположенного на странице 193 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №363 (с. 193), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.