Номер 363, страница 193 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 8. Интеграл - номер 363, страница 193.

Условие.

363.— a) $\int_0^{\frac{2\pi}{3}} \left( \sin \frac{x}{4} + \cos \frac{x}{4} \right)^2 dx;$

б) $\int_0^2 (1 + 2x)^3 dx;$

в) $\int_0^{\frac{\pi}{12}} (1 + \cos 2x) dx;$

г) $\int_1^4 \left( x + \frac{\sqrt{x}}{x} \right) dx.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

a) Вычислим интеграл $\int_{0}^{\frac{2\pi}{3}} (\sin \frac{x}{4} + \cos \frac{x}{4})^2 dx$.

Сначала упростим подынтегральное выражение, используя тригонометрические тождества. Раскроем квадрат суммы:

$(\sin \frac{x}{4} + \cos \frac{x}{4})^2 = \sin^2 \frac{x}{4} + 2 \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4} + \cos^2 \frac{x}{4}$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin(2\alpha)$. В нашем случае $\alpha = \frac{x}{4}$.

$(\sin^2 \frac{x}{4} + \cos^2 \frac{x}{4}) + 2 \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4} = 1 + \sin(2 \cdot \frac{x}{4}) = 1 + \sin(\frac{x}{2})$

Теперь интеграл принимает вид:

$\int_{0}^{\frac{2\pi}{3}} (1 + \sin(\frac{x}{2})) dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции:

$\int (1 + \sin(\frac{x}{2})) dx = \int 1 dx + \int \sin(\frac{x}{2}) dx = x - 2\cos(\frac{x}{2}) + C$

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{\frac{2\pi}{3}} (1 + \sin(\frac{x}{2})) dx = [x - 2\cos(\frac{x}{2})]_{0}^{\frac{2\pi}{3}}$

$= (\frac{2\pi}{3} - 2\cos(\frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{3})) - (0 - 2\cos(\frac{0}{2}))$

$= (\frac{2\pi}{3} - 2\cos(\frac{\pi}{3})) - (0 - 2\cos(0))$

Так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\cos(0) = 1$, получаем:

$= (\frac{2\pi}{3} - 2 \cdot \frac{1}{2}) - (0 - 2 \cdot 1) = (\frac{2\pi}{3} - 1) - (-2) = \frac{2\pi}{3} - 1 + 2 = \frac{2\pi}{3} + 1$

Ответ: $\frac{2\pi}{3} + 1$.

б) Вычислим интеграл $\int_{0}^{2} (1 + 2x)^3 dx$.

Этот интеграл можно решить методом замены переменной. Пусть $u = 1 + 2x$. Тогда $du = 2 dx$, откуда $dx = \frac{1}{2} du$.

Найдем новые пределы интегрирования:

Если $x=0$, то $u = 1 + 2(0) = 1$.

Если $x=2$, то $u = 1 + 2(2) = 5$.

Подставим все в интеграл:

$\int_{0}^{2} (1 + 2x)^3 dx = \int_{1}^{5} u^3 \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{1}^{5} u^3 du$

Теперь вычислим полученный интеграл:

$\frac{1}{2} [\frac{u^4}{4}]_{1}^{5} = \frac{1}{8} [u^4]_{1}^{5} = \frac{1}{8} (5^4 - 1^4) = \frac{1}{8} (625 - 1) = \frac{624}{8} = 78$

Ответ: $78$.

в) Вычислим интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} (1 + \cos 2x) dx$.

Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 1 + \cos 2x$.

$\int (1 + \cos 2x) dx = \int 1 dx + \int \cos 2x dx$

Первообразная для $1$ равна $x$. Первообразная для $\cos 2x$ равна $\frac{1}{2}\sin 2x$.

Таким образом, первообразная для $1 + \cos 2x$ равна $x + \frac{1}{2}\sin 2x + C$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} (1 + \cos 2x) dx = [x + \frac{1}{2}\sin 2x]_{0}^{\frac{\pi}{12}}$

$= (\frac{\pi}{12} + \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{12})) - (0 + \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 0))$

$= (\frac{\pi}{12} + \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{6})) - (0 + \frac{1}{2}\sin(0))$

Так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(0) = 0$, получаем:

$= (\frac{\pi}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) - (0 + 0) = \frac{\pi}{12} + \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{\pi}{12} + \frac{1}{4}$.

г) Вычислим интеграл $\int_{1}^{4} (x + \frac{\sqrt{x}}{x}) dx$.

Сначала упростим подынтегральное выражение:

$\frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{x^{1/2}}{x^1} = x^{1/2 - 1} = x^{-1/2}$

Интеграл принимает вид:

$\int_{1}^{4} (x + x^{-1/2}) dx$

Найдем первообразную, используя правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$\int (x + x^{-1/2}) dx = \int x^1 dx + \int x^{-1/2} dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{x^2}{2} + \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{x^2}{2} + 2\sqrt{x} + C$

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{4} (x + x^{-1/2}) dx = [\frac{x^2}{2} + 2\sqrt{x}]_{1}^{4}$

$= (\frac{4^2}{2} + 2\sqrt{4}) - (\frac{1^2}{2} + 2\sqrt{1})$

$= (\frac{16}{2} + 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} + 2 \cdot 1)$

$= (8 + 4) - (\frac{1}{2} + 2) = 12 - (2 + \frac{1}{2}) = 12 - \frac{5}{2} = \frac{24}{2} - \frac{5}{2} = \frac{19}{2}$

Ответ: $\frac{19}{2}$.