Номер 357, страница 192 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 8. Интеграл - номер 357, страница 192.

Условие.

Вычислите интегралы (357—358).

357.—

а) $\int_{-1}^{2} x^4 dx;$

б) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx;$

в) $\int_{1}^{3} x^3 dx;$

г) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для вычисления определенного интеграла $\int_{-1}^{2} x^4 dx$ используется формула Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$.

1. Находим первообразную для подынтегральной функции $f(x) = x^4$. Используя табличный интеграл для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$, получаем:

$F(x) = \int x^4 dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} = \frac{x^5}{5}$.

2. Применяем формулу Ньютона-Лейбница, подставляя пределы интегрирования $a = -1$ и $b = 2$:

$\int_{-1}^{2} x^4 dx = \left. \frac{x^5}{5} \right|_{-1}^{2} = \frac{2^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5}$.

3. Выполняем вычисления:

$\frac{32}{5} - \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{32}{5} + \frac{1}{5} = \frac{33}{5}$.

Ответ: $\frac{33}{5}$.

б) Вычислим интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$.

1. Первообразная для функции $f(x) = \cos x$ — это $F(x) = \sin x$, так как $(\sin x)' = \cos x$.

2. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = \left. \sin x \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0)$.

3. Подставляем значения тригонометрических функций:

$\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$

$\sin(0) = 0$

4. Находим результат:

$1 - 0 = 1$.

Ответ: 1.

в) Вычислим интеграл $\int_{1}^{3} x^3 dx$.

1. Находим первообразную для функции $f(x) = x^3$:

$F(x) = \int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4}$.

2. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{3} x^3 dx = \left. \frac{x^4}{4} \right|_{1}^{3} = \frac{3^4}{4} - \frac{1^4}{4}$.

3. Выполняем вычисления:

$\frac{81}{4} - \frac{1}{4} = \frac{80}{4} = 20$.

Ответ: 20.

г) Вычислим интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x}$.

1. Первообразная для функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$ — это $F(x) = \tan x$, поскольку $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

2. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x} = \left. \tan x \right|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - \tan(0)$.

3. Подставляем значения тангенса:

$\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$

$\tan(0) = 0$

4. Находим результат:

$1 - 0 = 1$.

Ответ: 1.