Номер 357, страница 192 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 8. Интеграл. Глава 3. Первообразная и интеграл - номер 357, страница 192.
№357 (с. 192)
Условие. №357 (с. 192)
скриншот условия

Вычислите интегралы (357—358).
357.—
а) $\int_{-1}^{2} x^4 dx;$
б) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx;$
в) $\int_{1}^{3} x^3 dx;$
г) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x}$.
Решение 1. №357 (с. 192)

Решение 3. №357 (с. 192)

Решение 4. №357 (с. 192)

Решение 5. №357 (с. 192)
а) Для вычисления определенного интеграла $\int_{-1}^{2} x^4 dx$ используется формула Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$.
1. Находим первообразную для подынтегральной функции $f(x) = x^4$. Используя табличный интеграл для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$, получаем:
$F(x) = \int x^4 dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} = \frac{x^5}{5}$.
2. Применяем формулу Ньютона-Лейбница, подставляя пределы интегрирования $a = -1$ и $b = 2$:
$\int_{-1}^{2} x^4 dx = \left. \frac{x^5}{5} \right|_{-1}^{2} = \frac{2^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5}$.
3. Выполняем вычисления:
$\frac{32}{5} - \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{32}{5} + \frac{1}{5} = \frac{33}{5}$.
Ответ: $\frac{33}{5}$.
б) Вычислим интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$.
1. Первообразная для функции $f(x) = \cos x$ — это $F(x) = \sin x$, так как $(\sin x)' = \cos x$.
2. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = \left. \sin x \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0)$.
3. Подставляем значения тригонометрических функций:
$\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$
$\sin(0) = 0$
4. Находим результат:
$1 - 0 = 1$.
Ответ: 1.
в) Вычислим интеграл $\int_{1}^{3} x^3 dx$.
1. Находим первообразную для функции $f(x) = x^3$:
$F(x) = \int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4}$.
2. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{1}^{3} x^3 dx = \left. \frac{x^4}{4} \right|_{1}^{3} = \frac{3^4}{4} - \frac{1^4}{4}$.
3. Выполняем вычисления:
$\frac{81}{4} - \frac{1}{4} = \frac{80}{4} = 20$.
Ответ: 20.
г) Вычислим интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x}$.
1. Первообразная для функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$ — это $F(x) = \tan x$, поскольку $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.
2. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x} = \left. \tan x \right|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - \tan(0)$.
3. Подставляем значения тангенса:
$\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$
$\tan(0) = 0$
4. Находим результат:
$1 - 0 = 1$.
Ответ: 1.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 357 расположенного на странице 192 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №357 (с. 192), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.