Страница 192 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Вычислите интегралы (357—358).

357.—

а) $\int_{-1}^{2} x^4 dx;$

б) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx;$

в) $\int_{1}^{3} x^3 dx;$

г) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x}$.

а) Для вычисления определенного интеграла $\int_{-1}^{2} x^4 dx$ используется формула Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$.

1. Находим первообразную для подынтегральной функции $f(x) = x^4$. Используя табличный интеграл для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$, получаем:

$F(x) = \int x^4 dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} = \frac{x^5}{5}$.

2. Применяем формулу Ньютона-Лейбница, подставляя пределы интегрирования $a = -1$ и $b = 2$:

$\int_{-1}^{2} x^4 dx = \left. \frac{x^5}{5} \right|_{-1}^{2} = \frac{2^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5}$.

3. Выполняем вычисления:

$\frac{32}{5} - \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{32}{5} + \frac{1}{5} = \frac{33}{5}$.

Ответ: $\frac{33}{5}$.

б) Вычислим интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$.

1. Первообразная для функции $f(x) = \cos x$ — это $F(x) = \sin x$, так как $(\sin x)' = \cos x$.

2. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = \left. \sin x \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0)$.

3. Подставляем значения тригонометрических функций:

$\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$

$\sin(0) = 0$

4. Находим результат:

$1 - 0 = 1$.

Ответ: 1.

в) Вычислим интеграл $\int_{1}^{3} x^3 dx$.

1. Находим первообразную для функции $f(x) = x^3$:

$F(x) = \int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4}$.

2. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{3} x^3 dx = \left. \frac{x^4}{4} \right|_{1}^{3} = \frac{3^4}{4} - \frac{1^4}{4}$.

3. Выполняем вычисления:

$\frac{81}{4} - \frac{1}{4} = \frac{80}{4} = 20$.

Ответ: 20.

г) Вычислим интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x}$.

1. Первообразная для функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$ — это $F(x) = \tan x$, поскольку $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

2. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x} = \left. \tan x \right|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - \tan(0)$.

3. Подставляем значения тангенса:

$\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$

$\tan(0) = 0$

4. Находим результат:

$1 - 0 = 1$.

Ответ: 1.

358. a) $\int_1^2 \frac{dx}{(2x+1)^2}$;

б) $\int_0^\pi 3 \cos \frac{x}{2} dx$;

в) $\int_1^{10} \frac{dx}{x^2}$;

г) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x dx.

а) Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{2} \frac{dx}{(2x+1)^2}$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{(2x+1)^2}$. Это можно сделать с помощью замены переменной. Пусть $u = 2x+1$, тогда $du = 2dx$ и $dx = \frac{du}{2}$.

$\int \frac{dx}{(2x+1)^2} = \int \frac{1}{u^2} \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int u^{-2} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{2u} + C = -\frac{1}{2(2x+1)} + C$.

Теперь вычислим определенный интеграл:

$\int_{1}^{2} \frac{dx}{(2x+1)^2} = \left[ -\frac{1}{2(2x+1)} \right]_{1}^{2} = \left(-\frac{1}{2(2 \cdot 2 + 1)}\right) - \left(-\frac{1}{2(2 \cdot 1 + 1)}\right) = -\frac{1}{2(5)} - \left(-\frac{1}{2(3)}\right) = -\frac{1}{10} + \frac{1}{6}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 30:

$-\frac{3}{30} + \frac{5}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$.

Ответ: $\frac{1}{15}$

б) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{\pi} 3 \cos{\frac{x}{2}} dx$ найдем первообразную функции $f(x) = 3 \cos{\frac{x}{2}}$.

Используя табличный интеграл $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$ и вынося константу за знак интеграла, получаем:

$\int 3 \cos{\frac{x}{2}} dx = 3 \int \cos{\frac{x}{2}} dx = 3 \cdot \frac{1}{1/2}\sin{\frac{x}{2}} + C = 6\sin{\frac{x}{2}} + C$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{\pi} 3 \cos{\frac{x}{2}} dx = \left[ 6\sin{\frac{x}{2}} \right]_{0}^{\pi} = 6\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - 6\sin\left(\frac{0}{2}\right) = 6 \cdot 1 - 6 \cdot 0 = 6$.

Ответ: $6$

в) Для вычисления интеграла $\int_{1}^{10} \frac{dx}{x^2}$ найдем первообразную для $f(x) = \frac{1}{x^2}$.

Представим функцию в виде $x^{-2}$. По формуле для интеграла степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ имеем:

$\int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$.

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{10} \frac{dx}{x^2} = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{10} = \left(-\frac{1}{10}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) = -\frac{1}{10} + 1 = \frac{9}{10}$.

Ответ: $\frac{9}{10}$

г) Для вычисления интеграла $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sin{2x} dx$ найдем первообразную для $f(x) = \sin{2x}$.

Используя табличный интеграл $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$, получаем:

$\int \sin{2x} dx = -\frac{1}{2}\cos{2x} + C$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sin{2x} dx = \left[ -\frac{1}{2}\cos{2x} \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = \left(-\frac{1}{2}\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right)\right) - \left(-\frac{1}{2}\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right)\right) = \left(-\frac{1}{2}\cos(\pi)\right) - \left(-\frac{1}{2}\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)$.

Так как $\cos(\pi) = -1$ и $\cos(\frac{\pi}{2})=0$, то:

$\left(-\frac{1}{2} \cdot (-1)\right) - \left(-\frac{1}{2} \cdot 0\right) = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

359. Докажите справедливость равенства:

a) $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x} = \int_0^1 dx;$

б) $\int_0^{\frac{\pi}{3}} \sin x dx = \int_{\frac{1}{16}}^{\frac{1}{4}} \frac{dx}{\sqrt{x}};$

в) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = \int_0^{\frac{3}{\sqrt{3}}} x^2 dx;$

г) $\int_0^1 (2x + 1) dx = \int_0^2 (x^3 - 1) dx.$

а) Чтобы доказать равенство, необходимо вычислить значение левой и правой частей и убедиться, что они равны.
1. Вычислим интеграл в левой части:
$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x} $
Первообразная для функции $ f(x) = \frac{1}{\cos^2 x} $ есть $ F(x) = \tan x $.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x} = [\tan x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \tan(\frac{\pi}{4}) - \tan(0) = 1 - 0 = 1 $.
2. Вычислим интеграл в правой части:
$ \int_{0}^{1} dx $
Первообразная для функции $ f(x) = 1 $ есть $ F(x) = x $.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$ \int_{0}^{1} dx = [x]_{0}^{1} = 1 - 0 = 1 $.
Так как левая часть равна 1 и правая часть равна 1, равенство справедливо.
Ответ: Равенство справедливо, так как обе части равны 1.

б) Чтобы доказать равенство, необходимо вычислить значение левой и правой частей и убедиться, что они равны.
1. Вычислим интеграл в левой части:
$ \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin x dx $
Первообразная для функции $ f(x) = \sin x $ есть $ F(x) = -\cos x $.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$ \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin x dx = [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = -\cos(\frac{\pi}{3}) - (-\cos(0)) = -\frac{1}{2} - (-1) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $.
2. Вычислим интеграл в правой части:
$ \int_{\frac{1}{16}}^{\frac{1}{4}} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \int_{\frac{1}{16}}^{\frac{1}{4}} x^{-\frac{1}{2}} dx $
Первообразная для функции $ f(x) = x^{-\frac{1}{2}} $ есть $ F(x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{x} $.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$ [2\sqrt{x}]_{\frac{1}{16}}^{\frac{1}{4}} = 2\sqrt{\frac{1}{4}} - 2\sqrt{\frac{1}{16}} = 2 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $.
Так как левая часть равна $ \frac{1}{2} $ и правая часть равна $ \frac{1}{2} $, равенство справедливо.
Ответ: Равенство справедливо, так как обе части равны $ \frac{1}{2} $.

в) Чтобы доказать равенство, необходимо вычислить значение левой и правой частей и убедиться, что они равны.
1. Вычислим интеграл в левой части:
$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx $
Первообразная для функции $ f(x) = \cos x $ есть $ F(x) = \sin x $.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0) = 1 - 0 = 1 $.
2. Вычислим интеграл в правой части:
$ \int_{0}^{\sqrt[3]{3}} x^2 dx $
Первообразная для функции $ f(x) = x^2 $ есть $ F(x) = \frac{x^3}{3} $.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$ \int_{0}^{\sqrt[3]{3}} x^2 dx = [\frac{x^3}{3}]_{0}^{\sqrt[3]{3}} = \frac{(\sqrt[3]{3})^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{3}{3} - 0 = 1 $.
Так как левая часть равна 1 и правая часть равна 1, равенство справедливо.
Ответ: Равенство справедливо, так как обе части равны 1.

г) Чтобы доказать равенство, необходимо вычислить значение левой и правой частей и убедиться, что они равны.
1. Вычислим интеграл в левой части:
$ \int_{0}^{1} (2x + 1) dx $
Первообразная для функции $ f(x) = 2x+1 $ есть $ F(x) = x^2 + x $.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$ \int_{0}^{1} (2x + 1) dx = [x^2 + x]_{0}^{1} = (1^2 + 1) - (0^2 + 0) = 2 - 0 = 2 $.
2. Вычислим интеграл в правой части:
$ \int_{0}^{2} (x^3 - 1) dx $
Первообразная для функции $ f(x) = x^3 - 1 $ есть $ F(x) = \frac{x^4}{4} - x $.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$ \int_{0}^{2} (x^3 - 1) dx = [\frac{x^4}{4} - x]_{0}^{2} = (\frac{2^4}{4} - 2) - (\frac{0^4}{4} - 0) = (\frac{16}{4} - 2) - 0 = 4 - 2 = 2 $.
Так как левая часть равна 2 и правая часть равна 2, равенство справедливо.
Ответ: Равенство справедливо, так как обе части равны 2.

Вычислите (предварительно сделав рисунок) площадь фигуры, ограниченной линиями (360—361).

360.-

а) $y = x^4, y = 0, x = -1, x = 1;$

б) $y = x^4, y = 1;$

в) $y = x^2 - 4x + 5, y = 0, x = 0, x = 4;$

г) $y = x^2 - 4x + 5, y = 5.$

а)

Фигура ограничена линиями $y = x^4$, $y = 0$, $x = -1$ и $x = 1$. Графиком функции $y = x^4$ является парабола четвертой степени, симметричная относительно оси OY. Линия $y = 0$ — это ось абсцисс (OX). Линии $x = -1$ и $x = 1$ — это вертикальные прямые.

Таким образом, мы ищем площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции $y = x^4$, снизу осью OX, и по бокам прямыми $x = -1$ и $x = 1$. Так как на отрезке $[-1, 1]$ функция $y = x^4$ неотрицательна ($x^4 \ge 0$), площадь вычисляется как определенный интеграл:

$S = \int_{-1}^{1} x^4 \,dx$

Поскольку подынтегральная функция $f(x) = x^4$ является четной, можно упростить вычисление:

$S = 2 \int_{0}^{1} x^4 \,dx = 2 \cdot \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} = 2 \cdot \left( \frac{1^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right) = 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$

Ответ: $S = \frac{2}{5}$ кв. ед.

б)

Фигура ограничена линиями $y = x^4$ и $y = 1$. Фигура симметрична относительно оси OY. Она ограничена сверху горизонтальной прямой $y=1$, а снизу — параболой $y=x^4$.

Сначала найдем пределы интегрирования, решив уравнение $x^4 = 1$. Корнями являются $x = -1$ и $x = 1$. Таким образом, интегрирование будет производиться по отрезку $[-1, 1]$.

Площадь фигуры равна разности интегралов от верхей и нижней функций:

$S = \int_{-1}^{1} (1 - x^4) \,dx$

Подынтегральная функция $f(x) = 1 - x^4$ также является четной, поэтому:

$S = 2 \int_{0}^{1} (1 - x^4) \,dx = 2 \cdot \left[ x - \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} = 2 \cdot \left( (1 - \frac{1^5}{5}) - (0 - \frac{0^5}{5}) \right) = 2 \cdot \left(1 - \frac{1}{5}\right) = 2 \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{5}$

Ответ: $S = \frac{8}{5}$ кв. ед.

в)

Фигура ограничена линиями $y = x^2 - 4x + 5$, $y = 0$, $x = 0$ и $x = 4$. График функции $y = x^2 - 4x + 5$ — это парабола с ветвями вверх. Найдем ее вершину: $x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$, $y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 + 5 = 1$. Вершина находится в точке $(2, 1)$. Дискриминант уравнения $x^2 - 4x + 5 = 0$ равен $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 < 0$, следовательно, парабола не пересекает ось OX и полностью лежит выше нее.

Таким образом, мы ищем площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху параболой $y = x^2 - 4x + 5$, снизу осью OX ($y=0$), слева осью OY ($x=0$) и справа прямой $x=4$.

Площадь вычисляется по формуле:

$S = \int_{0}^{4} (x^2 - 4x + 5) \,dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ \frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} + 5x \right]_{0}^{4} = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 5x \right]_{0}^{4} = \left( \frac{4^3}{3} - 2 \cdot 4^2 + 5 \cdot 4 \right) - 0 = \frac{64}{3} - 2 \cdot 16 + 20 = \frac{64}{3} - 32 + 20 = \frac{64}{3} - 12 = \frac{64 - 36}{3} = \frac{28}{3}$

Ответ: $S = \frac{28}{3}$ кв. ед.

г)

Фигура ограничена линиями $y = x^2 - 4x + 5$ и $y = 5$. Это область, заключенная между параболой (см. пункт в) и горизонтальной прямой $y=5$. Прямая $y=5$ будет являться верхней границей фигуры, а парабола — нижней, так как ее вершина $(2, 1)$ находится ниже прямой $y=5$.

Найдем точки пересечения, чтобы определить пределы интегрирования:

$x^2 - 4x + 5 = 5$

$x^2 - 4x = 0$

$x(x - 4) = 0$

Следовательно, $x = 0$ и $x = 4$.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{0}^{4} (5 - (x^2 - 4x + 5)) \,dx = \int_{0}^{4} (5 - x^2 + 4x - 5) \,dx = \int_{0}^{4} (-x^2 + 4x) \,dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ -\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 \right]_{0}^{4} = \left( -\frac{4^3}{3} + 2 \cdot 4^2 \right) - 0 = -\frac{64}{3} + 2 \cdot 16 = -\frac{64}{3} + 32 = \frac{-64 + 96}{3} = \frac{32}{3}$

Ответ: $S = \frac{32}{3}$ кв. ед.

361.-

a) $y = 1 - x^3$, $y = 0$, $x = 0$;

б) $y = 2 - x^3$, $y = 1$, $x = -1$, $x = 1$;

в) $y = -x^2 - 4x$, $y = 0$, $x = -3$, $x = -1$;

г) $y = -x^2 - 4x$, $y = 1$, $x = -3$, $x = -1$.

а)

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 1 - x^3$, $y = 0$ и $x = 0$.

Площадь такой фигуры (криволинейной трапеции) вычисляется с помощью определенного интеграла. Пределы интегрирования определяются заданными линиями. Одна из границ — это прямая $x = 0$. Найдем вторую границу, определив точку пересечения кривой $y = 1 - x^3$ с линией $y = 0$ (ось абсцисс):

$1 - x^3 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x = 1$.

Таким образом, пределы интегрирования по оси $x$ — от $0$ до $1$.

В интервале $[0, 1]$ функция $y = 1 - x^3$ принимает неотрицательные значения (например, при $x = 0.5$, $y = 1 - 0.125 = 0.875 > 0$). Следовательно, кривая $y = 1 - x^3$ лежит выше оси $y=0$.

Площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{0}^{1} (1 - x^3) dx$

Вычислим этот интеграл:

$S = \left[ x - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \left( 1 - \frac{1^4}{4} \right) - \left( 0 - \frac{0^4}{4} \right) = 1 - \frac{1}{4} - 0 = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

б)

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 2 - x^3$, $y = 1$, $x = -1$ и $x = 1$.

Пределы интегрирования заданы: от $x = -1$ до $x = 1$.

Чтобы найти площадь между двумя кривыми, нужно из верхней функции вычесть нижнюю. Определим, какая из функций, $y = 2 - x^3$ или $y = 1$, является верхней на интервале $[-1, 1]$. Для этого сравним их значения в любой точке интервала, например, при $x=0$:

$y_1 = 2 - 0^3 = 2$

$y_2 = 1$

Поскольку $2 > 1$, функция $y = 2 - x^3$ находится выше прямой $y = 1$ на всем интервале $[-1, 1]$.

Площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{-1}^{1} ((2 - x^3) - 1) dx = \int_{-1}^{1} (1 - x^3) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ x - \frac{x^4}{4} \right]_{-1}^{1} = \left( 1 - \frac{1^4}{4} \right) - \left( -1 - \frac{(-1)^4}{4} \right) = \left( 1 - \frac{1}{4} \right) - \left( -1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4} - \left( -\frac{5}{4} \right) = \frac{3}{4} + \frac{5}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

Ответ: $2$.

в)

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = -x^2 - 4x$, $y = 0$, $x = -3$ и $x = -1$.

Пределы интегрирования заданы: от $x = -3$ до $x = -1$.

Функция $y = -x^2 - 4x$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем ее точки пересечения с осью $y=0$ (осью абсцисс):

$-x^2 - 4x = 0 \implies -x(x+4) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = -4$.

На интервале $(-4, 0)$ парабола находится выше оси абсцисс. Так как заданный интервал интегрирования $[-3, -1]$ полностью лежит внутри интервала $(-4, 0)$, то на этом отрезке $-x^2 - 4x \ge 0$.

Площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{-3}^{-1} (-x^2 - 4x) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ -\frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} \right]_{-3}^{-1} = \left[ -\frac{x^3}{3} - 2x^2 \right]_{-3}^{-1}$

$S = \left( -\frac{(-1)^3}{3} - 2(-1)^2 \right) - \left( -\frac{(-3)^3}{3} - 2(-3)^2 \right) = \left( \frac{1}{3} - 2 \right) - \left( \frac{27}{3} - 18 \right)$

$S = \left( -\frac{5}{3} \right) - (9 - 18) = -\frac{5}{3} - (-9) = 9 - \frac{5}{3} = \frac{27 - 5}{3} = \frac{22}{3}$.

Ответ: $\frac{22}{3}$.

г)

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = -x^2 - 4x$, $y = 1$, $x = -3$ и $x = -1$.

Пределы интегрирования заданы: от $x = -3$ до $x = -1$.

Определим, какая из функций, $y = -x^2 - 4x$ или $y = 1$, является верхней на интервале $[-3, -1]$. Возьмем тестовую точку из интервала, например $x = -2$ (вершина параболы):

$y_1 = -(-2)^2 - 4(-2) = -4 + 8 = 4$

$y_2 = 1$

Поскольку $4 > 1$, функция $y = -x^2 - 4x$ находится выше прямой $y = 1$ на данном интервале.

Площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{-3}^{-1} ((-x^2 - 4x) - 1) dx = \int_{-3}^{-1} (-x^2 - 4x - 1) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ -\frac{x^3}{3} - 2x^2 - x \right]_{-3}^{-1}$

$S = \left( -\frac{(-1)^3}{3} - 2(-1)^2 - (-1) \right) - \left( -\frac{(-3)^3}{3} - 2(-3)^2 - (-3) \right)$

$S = \left( \frac{1}{3} - 2 + 1 \right) - \left( \frac{27}{3} - 18 + 3 \right) = \left( \frac{1}{3} - 1 \right) - (9 - 18 + 3) = -\frac{2}{3} - (-6) = 6 - \frac{2}{3} = \frac{18 - 2}{3} = \frac{16}{3}$.

Ответ: $\frac{16}{3}$.