Страница 188 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

353. a) $y = x^2, y = 0, x = 3;$

б) $y = \cos x, y = 0, x = 0, x = \frac{\pi}{2};$

в) $y = \sin x, y = 0, x = 0, x = \pi;$

г) $y = \frac{1}{x^2}, y = 0, x = 1, x = 2.$

а)

Фигура, площадь которой необходимо найти, представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную параболой $y = x^2$, осью абсцисс $y = 0$ и вертикальной прямой $x = 3$. Так как парабола $y=x^2$ пересекает ось $y=0$ в точке $x=0$, пределы интегрирования для нахождения площади — от 0 до 3. На отрезке $[0, 3]$ функция $y = x^2$ неотрицательна ($x^2 \ge 0$), поэтому площадь вычисляется с помощью определенного интеграла.

Площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{0}^{3} x^2 \,dx$

Первообразная для подынтегральной функции $f(x) = x^2$ равна $F(x) = \frac{x^3}{3}$.

Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

$S = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{27}{3} - 0 = 9$.

Ответ: 9

б)

Данная фигура ограничена графиком функции $y = \cos x$, осью абсцисс $y = 0$ и прямыми $x = 0$ и $x = \frac{\pi}{2}$. На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ функция $y = \cos x$ неотрицательна. Следовательно, площадь фигуры можно найти как определенный интеграл от этой функции в указанных пределах.

Площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx$

Первообразная для функции $f(x) = \cos x$ есть $F(x) = \sin x$.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left. \sin x \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.

Ответ: 1

в)

Фигура ограничена графиком функции $y = \sin x$, осью абсцисс $y = 0$ и прямыми $x = 0$ и $x = \pi$. На отрезке $[0, \pi]$ функция $y = \sin x$ неотрицательна ($ \sin x \ge 0 $). Площадь этой фигуры равна определенному интегралу.

Площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{0}^{\pi} \sin x \,dx$

Первообразная для функции $f(x) = \sin x$ есть $F(x) = -\cos x$.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left. (-\cos x) \right|_{0}^{\pi} = (-\cos(\pi)) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Ответ: 2

г)

Фигура ограничена графиком функции $y = \frac{1}{x^2}$, осью абсцисс $y = 0$ и прямыми $x = 1$ и $x = 2$. На отрезке $[1, 2]$ функция $y = \frac{1}{x^2}$ положительна, поэтому ее площадь вычисляется через определенный интеграл.

Площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} \,dx = \int_{1}^{2} x^{-2} \,dx$

Первообразная для функции $f(x) = x^{-2}$ есть $F(x) = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left. \left(-\frac{1}{x}\right) \right|_{1}^{2} = \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

354.-

а) $y = x^3 + 1$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 2$;

б) $y = 1 + 2 \sin x$, $y = 0$, $x = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$;

в) $y = 4 - x^2$, $y = 0$;

г) $y = 1 + \frac{1}{2} \cos x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{2}$, $x = \frac{\pi}{2}$.

а) Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^3 + 1$, $y = 0$ (ось Ox), $x = 0$ и $x = 2$. Такая фигура называется криволинейной трапецией.

На отрезке $[0, 2]$ функция $y = x^3 + 1$ принимает неотрицательные значения, так как при $x \ge 0$, $x^3 \ge 0$, и следовательно $x^3+1 \ge 1$. Площадь фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла:

$S = \int_a^b f(x) \,dx = \int_0^2 (x^3 + 1) \,dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = x^3 + 1$. Первообразная равна $F(x) = \frac{x^4}{4} + x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \frac{x^4}{4} + x \right]_0^2 = \left(\frac{2^4}{4} + 2\right) - \left(\frac{0^4}{4} + 0\right) = \left(\frac{16}{4} + 2\right) - 0 = 4 + 2 = 6$.

Ответ: $6$

б) Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 1 + 2 \sin x$, $y = 0$, $x = 0$ и $x = \frac{\pi}{2}$.

На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ синус принимает значения от $0$ до $1$, поэтому функция $y = 1 + 2 \sin x$ является положительной ($1 \le 1 + 2 \sin x \le 3$). Площадь вычисляется как определенный интеграл:

$S = \int_0^{\pi/2} (1 + 2 \sin x) \,dx$

Первообразная для функции $f(x) = 1 + 2 \sin x$ равна $F(x) = x - 2 \cos x$.

Вычисляем интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ x - 2 \cos x \right]_0^{\pi/2} = \left(\frac{\pi}{2} - 2 \cos\frac{\pi}{2}\right) - (0 - 2 \cos 0) = \left(\frac{\pi}{2} - 2 \cdot 0\right) - (0 - 2 \cdot 1) = \frac{\pi}{2} - (-2) = \frac{\pi}{2} + 2$.

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2$

в) Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 4 - x^2$ и $y = 0$.

Сначала найдем пределы интегрирования. Это точки пересечения графика функции с осью Ox. Для этого решим уравнение $4 - x^2 = 0$. Корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Это и будут наши пределы интегрирования, $a=-2$ и $b=2$.

На отрезке $[-2, 2]$ парабола $y = 4 - x^2$ находится выше оси Ox, то есть $4 - x^2 \ge 0$. Площадь вычисляется по формуле:

$S = \int_{-2}^2 (4 - x^2) \,dx$

Поскольку подынтегральная функция $f(x) = 4 - x^2$ является четной ($f(-x) = f(x)$), а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, можно упростить вычисление:

$S = 2 \int_0^2 (4 - x^2) \,dx$

Первообразная для $f(x) = 4 - x^2$ есть $F(x) = 4x - \frac{x^3}{3}$.

$S = 2 \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = 2 \left( \left(4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3}\right) - \left(4 \cdot 0 - \frac{0^3}{3}\right) \right) = 2 \left( 8 - \frac{8}{3} \right) = 2 \left( \frac{24 - 8}{3} \right) = 2 \cdot \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$.

Ответ: $\frac{32}{3}$

г) Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 1 + \frac{1}{2} \cos x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$.

На отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ косинус принимает значения от $0$ до $1$, поэтому функция $y = 1 + \frac{1}{2} \cos x$ положительна ($1 \le 1 + \frac{1}{2} \cos x \le 1.5$). Площадь вычисляется как определенный интеграл:

$S = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left(1 + \frac{1}{2} \cos x\right) \,dx$

Подынтегральная функция $f(x) = 1 + \frac{1}{2} \cos x$ является четной, так как $\cos(-x) = \cos x$. Пределы интегрирования симметричны относительно нуля. Поэтому можно записать:

$S = 2 \int_0^{\pi/2} \left(1 + \frac{1}{2} \cos x\right) \,dx$

Первообразная для $f(x) = 1 + \frac{1}{2} \cos x$ равна $F(x) = x + \frac{1}{2} \sin x$.

$S = 2 \left[ x + \frac{1}{2} \sin x \right]_0^{\pi/2} = 2 \left( \left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \sin\frac{\pi}{2}\right) - \left(0 + \frac{1}{2} \sin 0\right) \right) = 2 \left( \left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1\right) - 0 \right) = 2 \left( \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \right) = \pi + 1$.

Ответ: $\pi + 1$

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (355—356).

355.—

а) $y = (x + 2)^2$, $y = 0$, $x = 0;

б) $y = \frac{1}{(x+1)^2} + 1$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 2;

в) $y = 2x - x^2$, $y = 0;

г) $y = -(x - 1)^3$, $y = 0$, $x = 0.

а) Фигура ограничена линиями $y = (x+2)^2$, $y = 0$ (ось Ox) и $x = 0$ (ось Oy).

График функции $y = (x+2)^2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(-2, 0)$. Эта точка является точкой касания с осью Ox. Таким образом, фигура, площадь которой нужно найти, заключена между параболой, осью Ox и осью Oy. Пределы интегрирования по оси $x$ — от точки касания $x = -2$ до прямой $x = 0$.

Площадь фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла. Поскольку на отрезке $[-2, 0]$ функция $y = (x+2)^2$ неотрицательна, площадь равна:

$S = \int_{-2}^{0} (x+2)^2 dx$

Для вычисления интеграла можно раскрыть скобки или использовать замену переменной. Раскроем скобки:

$S = \int_{-2}^{0} (x^2 + 4x + 4) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} + 4x \right]_{-2}^{0} = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x \right]_{-2}^{0}$

Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

$S = \left(\frac{0^3}{3} + 2 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0\right) - \left(\frac{(-2)^3}{3} + 2(-2)^2 + 4(-2)\right) = 0 - \left(-\frac{8}{3} + 8 - 8\right) = - \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{8}{3}$

Ответ: $S = \frac{8}{3}$

б) Фигура ограничена линиями $y = \frac{1}{(x+1)^2} + 1$, $y = 0$ (ось Ox), $x = 0$ и $x = 2$.

Фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции $y = \frac{1}{(x+1)^2} + 1$, снизу — осью Ox, и с боков — прямыми $x=0$ и $x=2$. Пределы интегрирования заданы в условии: от $a=0$ до $b=2$. На этом промежутке функция $y$ положительна, так как $\frac{1}{(x+1)^2} > 0$.

Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл:

$S = \int_{0}^{2} \left(\frac{1}{(x+1)^2} + 1\right) dx = \int_{0}^{2} (x+1)^{-2} dx + \int_{0}^{2} 1 dx$

Найдем первообразную:

$\int \left((x+1)^{-2} + 1\right) dx = \frac{(x+1)^{-1}}{-1} + x = -\frac{1}{x+1} + x$

Подставим пределы интегрирования:

$S = \left[ -\frac{1}{x+1} + x \right]_{0}^{2} = \left(-\frac{1}{2+1} + 2\right) - \left(-\frac{1}{0+1} + 0\right) = \left(-\frac{1}{3} + 2\right) - (-1) = \frac{5}{3} + 1 = \frac{8}{3}$

Ответ: $S = \frac{8}{3}$

в) Фигура ограничена линиями $y = 2x - x^2$ и $y = 0$ (ось Ox).

График функции $y = 2x - x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Чтобы найти пределы интегрирования, найдем точки пересечения параболы с осью Ox, решив уравнение $y=0$:

$2x - x^2 = 0 \implies x(2-x) = 0$

Отсюда получаем $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Это и будут пределы интегрирования. На интервале $(0, 2)$ функция $y=2x-x^2$ положительна (например, при $x=1$, $y=1$).

Площадь фигуры равна:

$S = \int_{0}^{2} (2x - x^2) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ 2\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left(2^2 - \frac{2^3}{3}\right) - \left(0^2 - \frac{0^3}{3}\right) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12-8}{3} = \frac{4}{3}$

Ответ: $S = \frac{4}{3}$

г) Фигура ограничена линиями $y = -(x - 1)^3$, $y = 0$ (ось Ox) и $x = 0$ (ось Oy).

График функции $y = -(x - 1)^3$ — это кубическая парабола. Найдем точку ее пересечения с осью Ox:

$-(x - 1)^3 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1$

Фигура ограничена кривой, осью Ox ($y=0$) и осью Oy ($x=0$). Таким образом, пределы интегрирования по оси $x$ — от $0$ до $1$.

На отрезке $[0, 1)$ значение $(x-1)$ отрицательно, следовательно $(x-1)^3$ отрицательно, а $y = -(x-1)^3$ положительно. Значит, график функции находится над осью Ox.

Площадь фигуры равна:

$S = \int_{0}^{1} -(x-1)^3 dx$

Вычислим интеграл, используя замену $u=x-1$, $du=dx$. Новые пределы: если $x=0$, то $u=-1$; если $x=1$, то $u=0$.

$S = \int_{-1}^{0} -u^3 du = \left[ -\frac{u^4}{4} \right]_{-1}^{0} = \left(-\frac{0^4}{4}\right) - \left(-\frac{(-1)^4}{4}\right) = 0 - \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4}$

Ответ: $S = \frac{1}{4}$

356.—

a) $y = 3 \sin \left(x + \frac{3\pi}{4}\right), y = 0, x = -\frac{3\pi}{4}, x = \frac{3\pi}{4};$

б) $y = 2 \cos 2x, y = 0, x = -\frac{\pi}{4}, x = \frac{\pi}{4};$

в) $y = \sin x - \frac{1}{2}, y = 0, x = \frac{\pi}{6}, x = \frac{5\pi}{6};$

г) $y = 1 - \cos x, y = 0, x = -\frac{\pi}{2}, x = \frac{\pi}{2}.$

Задача заключается в вычислении площади криволинейной трапеции. Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле определенного интеграла:

$S = \int_a^b |f(x)| dx$

Найдём площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 3 \sin(x + \frac{3\pi}{4})$, $y=0$, $x = -\frac{3\pi}{4}$ и $x = \frac{3\pi}{4}$.

Площадь вычисляется по формуле: $S = \int_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} |3 \sin(x + \frac{3\pi}{4})| dx$.

Для раскрытия модуля определим знак функции $f(x) = 3 \sin(x + \frac{3\pi}{4})$ на промежутке $[-\frac{3\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$.

Сделаем замену переменной $u = x + \frac{3\pi}{4}$. Если $x = -\frac{3\pi}{4}$, то $u = 0$. Если $x = \frac{3\pi}{4}$, то $u = \frac{3\pi}{2}$.

Функция $\sin(u)$ неотрицательна на отрезке $[0, \pi]$ и неположительна на отрезке $[\pi, \frac{3\pi}{2}]$.

Найдём значение $x$, соответствующее $u=\pi$: $x + \frac{3\pi}{4} = \pi \implies x = \pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

Следовательно, на отрезке $[-\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ функция $f(x) \ge 0$, а на отрезке $[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$ функция $f(x) \le 0$.

Интеграл необходимо разбить на два:

$S = \int_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} 3 \sin(x + \frac{3\pi}{4}) dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} (-3 \sin(x + \frac{3\pi}{4})) dx$

Вычислим каждый интеграл по отдельности. Первообразная для $3 \sin(x + \frac{3\pi}{4})$ есть $-3 \cos(x + \frac{3\pi}{4})$.

$\int_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} 3 \sin(x + \frac{3\pi}{4}) dx = [-3 \cos(x + \frac{3\pi}{4})]_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = -3 \cos(\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4}) - (-3 \cos(-\frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi}{4})) = -3 \cos(\pi) + 3 \cos(0) = -3(-1) + 3(1) = 6$.

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} -3 \sin(x + \frac{3\pi}{4}) dx = [3 \cos(x + \frac{3\pi}{4})]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} = 3 \cos(\frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi}{4}) - 3 \cos(\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4}) = 3 \cos(\frac{3\pi}{2}) - 3 \cos(\pi) = 3(0) - 3(-1) = 3$.

Искомая площадь равна сумме значений этих интегралов: $S = 6 + 3 = 9$.

Ответ: 9

Найдём площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 2 \cos 2x$, $y=0$, $x = -\frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{\pi}{4}$.

Площадь вычисляется по формуле: $S = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} |2 \cos 2x| dx$.

На промежутке $x \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$, аргумент $2x$ изменяется в пределах от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$. На этом интервале $\cos(2x) \ge 0$, поэтому $|2 \cos 2x| = 2 \cos 2x$.

Интеграл принимает вид: $S = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} 2 \cos 2x dx$.

Поскольку подынтегральная функция $f(x)=2 \cos 2x$ является чётной, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, можно упростить вычисление:

$S = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2 \cos 2x dx = 4 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos 2x dx$.

Вычислим интеграл:

$S = 4 [\frac{1}{2} \sin 2x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = 2 [\sin 2x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = 2 (\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) - \sin(2 \cdot 0)) = 2 (\sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0)) = 2(1 - 0) = 2$.

Ответ: 2

Найдём площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \sin x - \frac{1}{2}$, $y=0$, $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$.

Площадь вычисляется по формуле: $S = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} |\sin x - \frac{1}{2}| dx$.

Определим знак функции $f(x) = \sin x - \frac{1}{2}$ на промежутке $[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$.

Уравнение $\sin x = \frac{1}{2}$ имеет корни $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$ на интервале $[0, \pi]$. Между этими корнями, например, при $x=\frac{\pi}{2}$, имеем $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, что больше $\frac{1}{2}$. Следовательно, на всем отрезке $[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$ выполняется неравенство $\sin x \ge \frac{1}{2}$, а значит $f(x) \ge 0$.

Таким образом, модуль можно опустить:

$S = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} (\sin x - \frac{1}{2}) dx$.

Вычислим интеграл:

$S = [-\cos x - \frac{1}{2}x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} = (-\cos(\frac{5\pi}{6}) - \frac{1}{2}\frac{5\pi}{6}) - (-\cos(\frac{\pi}{6}) - \frac{1}{2}\frac{\pi}{6})$.

Зная, что $\cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$S = (-(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{5\pi}{12}) - (-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{12} = \sqrt{3} - \frac{4\pi}{12} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$

Найдём площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 1 - \cos x$, $y=0$, $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$.

Площадь вычисляется по формуле: $S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} |1 - \cos x| dx$.

На промежутке $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ выполняется неравенство $0 \le \cos x \le 1$. Следовательно, $1 - \cos x \ge 0$ на данном отрезке, и модуль можно опустить.

$S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos x) dx$.

Подынтегральная функция $f(x)=1 - \cos x$ является чётной, поэтому:

$S = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos x) dx$.

Вычислим интеграл:

$S = 2 [x - \sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2 ((\frac{\pi}{2} - \sin(\frac{\pi}{2})) - (0 - \sin 0)) = 2(\frac{\pi}{2} - 1 - 0) = \pi - 2$.

Ответ: $\pi - 2$