Страница 183 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Найдите общий вид первообразных для функции $f$ (342–344).

342. а) $f(x) = 2 - x^3 + \frac{1}{x^3}$;

б) $f(x) = x - \frac{2}{x^5} + \cos x$;

в) $f(x) = \frac{1}{x^2} - \sin x$;

г) $f(x) = 5x^2 - 1$.

а) Общий вид первообразных для функции $f(x)$ находится путем вычисления неопределенного интеграла $\int f(x)dx$. Данная функция: $f(x) = 2 - x^3 + \frac{1}{x^3}$.
Представим функцию в виде, удобном для интегрирования: $f(x) = 2 - x^3 + x^{-3}$.
Найдем первообразную $F(x)$, используя правила интегрирования (интеграл суммы равен сумме интегралов):
$F(x) = \int (2 - x^3 + x^{-3})dx = \int 2dx - \int x^3dx + \int x^{-3}dx$.
Используем формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ и константы $\int k dx = kx + C$:
$\int 2dx = 2x$
$\int x^3dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4}$
$\int x^{-3}dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2}$
Суммируя полученные результаты и добавляя произвольную постоянную $C$, получаем общий вид первообразных:
$F(x) = 2x - \frac{x^4}{4} - \frac{1}{2x^2} + C$.
Ответ: $F(x) = 2x - \frac{x^4}{4} - \frac{1}{2x^2} + C$.

б) Дана функция $f(x) = x - \frac{2}{x^5} + \cos x$.
Представим функцию в виде: $f(x) = x - 2x^{-5} + \cos x$.
Найдем общий вид первообразных $F(x)$:
$F(x) = \int (x - 2x^{-5} + \cos x)dx = \int x dx - \int 2x^{-5}dx + \int \cos x dx$.
Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:
$\int x dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2}$
$\int 2x^{-5}dx = 2 \cdot \int x^{-5}dx = 2 \cdot \frac{x^{-5+1}}{-5+1} = 2 \cdot \frac{x^{-4}}{-4} = -\frac{x^{-4}}{2} = -\frac{1}{2x^4}$
$\int \cos x dx = \sin x$
Складываем результаты и добавляем константу $C$:
$F(x) = \frac{x^2}{2} - (-\frac{1}{2x^4}) + \sin x + C = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^4} + \sin x + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^4} + \sin x + C$.

в) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^2} - \sin x$.
Представим функцию в виде: $f(x) = x^{-2} - \sin x$.
Найдем общий вид первообразных $F(x)$:
$F(x) = \int (x^{-2} - \sin x)dx = \int x^{-2}dx - \int \sin x dx$.
Интегрируем каждое слагаемое:
$\int x^{-2}dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$
$\int \sin x dx = -\cos x$
Складываем результаты и добавляем константу $C$:
$F(x) = -\frac{1}{x} - (-\cos x) + C = -\frac{1}{x} + \cos x + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x} + \cos x + C$.

г) Дана функция $f(x) = 5x^2 - 1$.
Найдем общий вид первообразных $F(x)$:
$F(x) = \int (5x^2 - 1)dx = \int 5x^2dx - \int 1dx$.
Интегрируем каждое слагаемое:
$\int 5x^2dx = 5 \cdot \int x^2dx = 5 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 5 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{5x^3}{3}$
$\int 1dx = x$
Складываем результаты и добавляем константу $C$:
$F(x) = \frac{5x^3}{3} - x + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{5x^3}{3} - x + C$.

343. a) $f(x) = (2x - 3)^5$;

б) $f(x) = 3 \sin 2x$;

в) $f(x) = (4 - 5x)^7$;

г) $f(x) = -\frac{1}{3}\cos\left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4}\right)$.

Для решения данных задач необходимо найти первообразные $F(x)$ для заданных функций $f(x)$. Первообразная — это функция, производная которой равна исходной функции, то есть $F'(x) = f(x)$. Общий вид первообразной всегда включает произвольную постоянную $C$.

а) Дана функция $f(x) = (2x - 3)^5$.

Это сложная функция вида $(kx+b)^n$. Для нахождения ее первообразной используется формула: $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \cdot \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

В нашем случае коэффициенты: $k=2$, $b=-3$ и степень $n=5$.

Подставляем эти значения в формулу:

$F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x-3)^{5+1}}{5+1} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x-3)^6}{6} + C = \frac{(2x-3)^6}{12} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{(2x-3)^6}{12} + C$.

в) Дана функция $f(x) = (4 - 5x)^7$.

Аналогично пункту а), используем формулу для первообразной функции вида $(kx+b)^n$: $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \cdot \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

Здесь коэффициенты: $k=-5$, $b=4$ и степень $n=7$.

Подставляем значения:

$F(x) = \frac{1}{-5} \cdot \frac{(4-5x)^{7+1}}{7+1} + C = -\frac{1}{5} \cdot \frac{(4-5x)^8}{8} + C = -\frac{(4-5x)^8}{40} + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{(4-5x)^8}{40} + C$.

б) Дана функция $f(x) = 3 \sin(2x)$.

Это функция вида $A\sin(kx+b)$. Ее первообразная находится по формуле: $\int A\sin(kx+b) dx = -\frac{A}{k}\cos(kx+b) + C$.

В данном случае: $A=3$, $k=2$, $b=0$.

Подставляем значения в формулу:

$F(x) = -\frac{3}{2}\cos(2x) + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{3}{2}\cos(2x) + C$.

г) Дана функция $f(x) = -\frac{1}{3}\cos\left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4}\right)$.

Это функция вида $A\cos(kx+b)$. Ее первообразная находится по формуле: $\int A\cos(kx+b) dx = \frac{A}{k}\sin(kx+b) + C$.

В данном случае: $A = -\frac{1}{3}$, $k = \frac{1}{3}$, $b = -\frac{\pi}{4}$.

Подставляем значения в формулу:

$F(x) = \frac{-1/3}{1/3}\sin\left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4}\right) + C = -1 \cdot \sin\left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4}\right) + C = -\sin\left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4}\right) + C$.

Ответ: $F(x) = -\sin\left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4}\right) + C$.

344. a) $f(x) = \frac{3}{(4-15x)^4}$;

б) $f(x) = \frac{2}{\cos^2 \left(\frac{\pi}{3}-x\right)}$;

В) $f(x) = \frac{4}{(3x-1)^2}$;

г) $f(x) = -\frac{2}{x^5} + \frac{1}{\cos^2 (3x-1)}$.

a) Для нахождения первообразной функции $f(x) = \frac{3}{(4-15x)^4}$ найдем неопределенный интеграл $\int f(x) \, dx$.
Перепишем функцию в виде $f(x) = 3(4-15x)^{-4}$. Для нахождения интеграла воспользуемся формулой для степенной функции $\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$ и методом замены переменной.
Пусть $u = 4-15x$, тогда $du = (4-15x)' dx = -15 \, dx$, откуда $dx = -\frac{1}{15} du$.
$F(x) = \int 3(4-15x)^{-4} \, dx = 3 \int u^{-4} \left(-\frac{1}{15} du\right) = -\frac{3}{15} \int u^{-4} du = -\frac{1}{5} \frac{u^{-3}}{-3} + C = \frac{1}{15}u^{-3} + C$.
Выполним обратную замену:
$F(x) = \frac{1}{15(4-15x)^3} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{15(4-15x)^3} + C$.

б) Для функции $f(x) = \frac{2}{\cos^2(\frac{\pi}{3} - x)}$ найдем интеграл $\int \frac{2}{\cos^2(\frac{\pi}{3} - x)} \, dx$.
Используем табличный интеграл $\int \frac{1}{\cos^2 u} \, du = \tan u + C$. Сделаем замену переменной $u = \frac{\pi}{3} - x$.
Тогда $du = (\frac{\pi}{3} - x)' dx = -1 \, dx$, откуда $dx = -du$.
$F(x) = \int \frac{2}{\cos^2 u} (-du) = -2 \int \frac{1}{\cos^2 u} \, du = -2 \tan u + C$.
Выполним обратную замену:
$F(x) = -2 \tan(\frac{\pi}{3} - x) + C$.
Ответ: $F(x) = -2 \tan(\frac{\pi}{3} - x) + C$.

в) Для функции $f(x) = \frac{4}{(3x-1)^2}$ найдем интеграл $\int \frac{4}{(3x-1)^2} \, dx$.
Перепишем функцию как $f(x) = 4(3x-1)^{-2}$. Сделаем замену $u = 3x-1$.
Тогда $du = (3x-1)' dx = 3 \, dx$, откуда $dx = \frac{1}{3} du$.
$F(x) = \int 4u^{-2} \left(\frac{1}{3} du\right) = \frac{4}{3} \int u^{-2} du = \frac{4}{3} \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{4}{3}u^{-1} + C$.
Выполним обратную замену:
$F(x) = -\frac{4}{3(3x-1)} + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{4}{3(3x-1)} + C$.

г) Для функции $f(x) = -\frac{2}{x^5} + \frac{1}{\cos^2(3x-1)}$ найдем интеграл, используя свойство линейности: интеграл суммы равен сумме интегралов.
$F(x) = \int \left(-\frac{2}{x^5} + \frac{1}{\cos^2(3x-1)}\right) \, dx = \int -2x^{-5} \, dx + \int \frac{1}{\cos^2(3x-1)} \, dx$.
Найдем каждый интеграл по отдельности:
1) $\int -2x^{-5} \, dx = -2 \frac{x^{-5+1}}{-5+1} + C_1 = -2 \frac{x^{-4}}{-4} + C_1 = \frac{1}{2}x^{-4} + C_1 = \frac{1}{2x^4} + C_1$.
2) $\int \frac{1}{\cos^2(3x-1)} \, dx$. Сделаем замену $u=3x-1$, тогда $du = 3dx$, $dx=\frac{1}{3}du$.
$\int \frac{1}{\cos^2 u} \left(\frac{1}{3}du\right) = \frac{1}{3}\int \frac{1}{\cos^2 u} du = \frac{1}{3}\tan u + C_2 = \frac{1}{3}\tan(3x-1) + C_2$.
Объединяя результаты и константы ($C = C_1 + C_2$), получаем:
$F(x) = \frac{1}{2x^4} + \frac{1}{3}\tan(3x-1) + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{2x^4} + \frac{1}{3}\tan(3x-1) + C$.

345. Найдите для функции $f$ первообразную, график которой проходит через точку $M$:

а) $f(x) = 4x + \frac{1}{x^2}$, $M(-1; 4);$

б) $f(x) = x^3 + 2$, $M(2; 15);$

в) $f(x) = 1 - 2x$, $M(3; 2);$

г) $f(x) = \frac{1}{x^3} - 10x^4 + 3$, $M(1; 5).$

а)

Чтобы найти первообразную для функции $f(x)$, необходимо вычислить неопределенный интеграл от этой функции. Общий вид первообразной $F(x)$ для функции $f(x) = 4x + \frac{1}{x^2}$ находится следующим образом:
$F(x) = \int (4x + \frac{1}{x^2}) dx = \int (4x + x^{-2}) dx = 4\frac{x^{1+1}}{1+1} + \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = 4\frac{x^2}{2} + \frac{x^{-1}}{-1} + C = 2x^2 - \frac{1}{x} + C$.
Здесь $C$ — произвольная постоянная.
По условию, график первообразной проходит через точку $M(-1; 4)$. Это означает, что при $x = -1$, значение $F(x)$ должно быть равно $4$. Подставим эти значения в найденное выражение для $F(x)$:
$F(-1) = 2(-1)^2 - \frac{1}{-1} + C = 4$
$2(1) - (-1) + C = 4$
$2 + 1 + C = 4$
$3 + C = 4$
$C = 4 - 3 = 1$.
Таким образом, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + 1$.
Ответ: $F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + 1$.

б)

Дана функция $f(x) = x^3 + 2$ и точка $M(2; 15)$.
Находим общий вид первообразной $F(x)$:
$F(x) = \int (x^3 + 2) dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + 2x + C = \frac{x^4}{4} + 2x + C$.
Используем условие, что график проходит через точку $M(2; 15)$, то есть $F(2) = 15$:
$F(2) = \frac{2^4}{4} + 2(2) + C = 15$
$\frac{16}{4} + 4 + C = 15$
$4 + 4 + C = 15$
$8 + C = 15$
$C = 15 - 8 = 7$.
Искомая первообразная: $F(x) = \frac{x^4}{4} + 2x + 7$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{4} + 2x + 7$.

в)

Дана функция $f(x) = 1 - 2x$ и точка $M(3; 2)$.
Находим общий вид первообразной $F(x)$:
$F(x) = \int (1 - 2x) dx = x - 2\frac{x^2}{2} + C = x - x^2 + C$.
Используем условие, что график проходит через точку $M(3; 2)$, то есть $F(3) = 2$:
$F(3) = 3 - (3)^2 + C = 2$
$3 - 9 + C = 2$
$-6 + C = 2$
$C = 2 + 6 = 8$.
Искомая первообразная: $F(x) = -x^2 + x + 8$.
Ответ: $F(x) = -x^2 + x + 8$.

г)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^3} - 10x^4 + 3$ и точка $M(1; 5)$.
Находим общий вид первообразной $F(x)$:
$F(x) = \int (\frac{1}{x^3} - 10x^4 + 3) dx = \int (x^{-3} - 10x^4 + 3) dx = \frac{x^{-2}}{-2} - 10\frac{x^5}{5} + 3x + C = -\frac{1}{2x^2} - 2x^5 + 3x + C$.
Используем условие, что график проходит через точку $M(1; 5)$, то есть $F(1) = 5$:
$F(1) = -\frac{1}{2(1)^2} - 2(1)^5 + 3(1) + C = 5$
$-\frac{1}{2} - 2 + 3 + C = 5$
$-\frac{1}{2} + 1 + C = 5$
$\frac{1}{2} + C = 5$
$C = 5 - \frac{1}{2} = 4.5$.
Искомая первообразная: $F(x) = -2x^5 + 3x - \frac{1}{2x^2} + 4.5$.
Ответ: $F(x) = -2x^5 + 3x - \frac{1}{2x^2} + 4.5$.