Страница 180 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Найдите общий вид первообразных для функции $f$ (335—336).

335. a) $f(x) = 2 - x^4$;

б) $f(x) = x + \cos x$;

в) $f(x) = 4x$;

г) $f(x) = -3$.

а)

Чтобы найти общий вид первообразных для функции $f(x) = 2 - x^4$, необходимо вычислить её неопределенный интеграл $F(x) = \int f(x) \,dx$.

Применяем правило интегрирования разности двух функций: интеграл разности равен разности интегралов.

$F(x) = \int (2 - x^4) \,dx = \int 2 \,dx - \int x^4 \,dx$

Используем табличные интегралы:

• Для константы: $\int k \,dx = kx + C$
• Для степенной функции: $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

Применяя эти формулы, получаем:

$\int 2 \,dx = 2x$

$\int x^4 \,dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} = \frac{x^5}{5}$

Объединяем результаты и добавляем одну общую константу интегрирования $C$. Общий вид первообразных:

$F(x) = 2x - \frac{x^5}{5} + C$

Ответ: $F(x) = 2x - \frac{x^5}{5} + C$

б)

Чтобы найти общий вид первообразных для функции $f(x) = x + \cos x$, вычислим неопределенный интеграл $F(x) = \int (x + \cos x) \,dx$.

Применяем правило интегрирования суммы двух функций: интеграл суммы равен сумме интегралов.

$F(x) = \int x \,dx + \int \cos x \,dx$

Используем табличные интегралы:

• Для степенной функции ($n=1$): $\int x \,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2}$
• Для тригонометрической функции: $\int \cos x \,dx = \sin x$

Суммируем результаты и добавляем произвольную постоянную $C$. Общий вид первообразных:

$F(x) = \frac{x^2}{2} + \sin x + C$

Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + \sin x + C$

в)

Чтобы найти общий вид первообразных для функции $f(x) = 4x$, вычислим неопределенный интеграл $F(x) = \int 4x \,dx$.

Используем свойство вынесения константы за знак интеграла:

$F(x) = 4 \int x \,dx$

Далее, по формуле для степенной функции ($n=1$):

$\int x \,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2}$

Подставляем обратно и добавляем константу $C$:

$F(x) = 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 2x^2 + C$

Ответ: $F(x) = 2x^2 + C$

г)

Чтобы найти общий вид первообразных для функции $f(x) = -3$, вычислим неопределенный интеграл $F(x) = \int (-3) \,dx$.

Это интеграл от константы. По правилу $\int k \,dx = kx + C$, получаем:

$F(x) = -3x + C$

Ответ: $F(x) = -3x + C$

336. a) $f(x) = x^6$;

б) $f(x) = \frac{1}{x^3} - 2$;

в) $f(x) = 1 - \frac{1}{x^4}$;

г) $f(x) = x^5$.

а) Для нахождения производной функции $f(x) = x^6$ используется правило дифференцирования степенной функции, которое гласит: $(x^n)' = nx^{n-1}$.

В данном случае, показатель степени $n=6$. Подставляем это значение в формулу:

$f'(x) = (x^6)' = 6 \cdot x^{6-1} = 6x^5$.

Ответ: $f'(x) = 6x^5$.

б) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^3} - 2$. Для удобства дифференцирования представим её в виде степенной функции: $f(x) = x^{-3} - 2$.

Производная функции находится как разность производных её слагаемых. Производная константы ($-2$) равна нулю. Для $x^{-3}$ применяем то же правило степенной функции с $n=-3$:

$f'(x) = (x^{-3} - 2)' = (x^{-3})' - (2)' = -3 \cdot x^{-3-1} - 0 = -3x^{-4}$.

Запишем результат с положительным показателем степени:

$f'(x) = -\frac{3}{x^4}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{3}{x^4}$.

в) Дана функция $f(x) = 1 - \frac{1}{x^4}$. Перепишем её в виде $f(x) = 1 - x^{-4}$.

Находим производную как разность производных. Производная константы ($1$) равна нулю. Для $-x^{-4}$ применяем правило степенной функции, где $n=-4$:

$f'(x) = (1 - x^{-4})' = (1)' - (x^{-4})' = 0 - (-4 \cdot x^{-4-1}) = 4x^{-5}$.

Запишем результат с положительным показателем степени:

$f'(x) = \frac{4}{x^5}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{4}{x^5}$.

г) Для функции $f(x) = x^5$ применяем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ с показателем степени $n=5$.

Вычисляем производную:

$f'(x) = (x^5)' = 5 \cdot x^{5-1} = 5x^4$.

Ответ: $f'(x) = 5x^4$.

337.- Для функции $f$ найдите первообразную $F$, принимающую заданное значение в указанной точке:

a) $f(x) = \frac{1}{x^2}$, $F\left(\frac{1}{2}\right) = -12;$

б) $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$, $F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0;$

в) $f(x) = x^3$, $F(-1) = 2;$

г) $f(x) = \sin x$, $F(-\pi) = -1.$

а) Для функции $f(x) = \frac{1}{x^2}$, $F(\frac{1}{2}) = -12$.

Чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$, необходимо вычислить неопределенный интеграл от $f(x)$. Общий вид первообразной будет содержать константу интегрирования $C$.

$F(x) = \int f(x) dx = \int \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-2} dx$

Применяя формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$F(x) = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$.

Теперь используем заданное условие $F(\frac{1}{2}) = -12$ для нахождения значения константы $C$. Подставим $x = \frac{1}{2}$ в выражение для $F(x)$:

$F(\frac{1}{2}) = -\frac{1}{1/2} + C = -2 + C$.

Поскольку нам дано, что $F(\frac{1}{2}) = -12$, мы можем составить уравнение:

$-2 + C = -12$.

Решая это уравнение, находим $C$:

$C = -12 + 2 = -10$.

Подставляем найденное значение $C$ обратно в общую формулу первообразной, чтобы получить искомую функцию $F(x)$:

$F(x) = -\frac{1}{x} - 10$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x} - 10$.

б) Для функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$, $F(\frac{\pi}{4}) = 0$.

Находим общий вид первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$. Это табличный интеграл.

$F(x) = \int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$.

Используем условие $F(\frac{\pi}{4}) = 0$, чтобы найти константу $C$. Подставляем $x = \frac{\pi}{4}$ в выражение для $F(x)$:

$F(\frac{\pi}{4}) = \tan(\frac{\pi}{4}) + C$.

Зная, что $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:

$1 + C = 0$.

Отсюда $C = -1$.

Таким образом, искомая первообразная имеет вид:

$F(x) = \tan x - 1$.

Ответ: $F(x) = \tan x - 1$.

в) Для функции $f(x) = x^3$, $F(-1) = 2$.

Находим общий вид первообразной для функции $f(x) = x^3$, используя формулу для степенной функции:

$F(x) = \int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C$.

Используем условие $F(-1) = 2$ для определения значения $C$. Подставляем $x = -1$:

$F(-1) = \frac{(-1)^4}{4} + C = \frac{1}{4} + C$.

Составляем уравнение:

$\frac{1}{4} + C = 2$.

Решаем для $C$:

$C = 2 - \frac{1}{4} = \frac{8}{4} - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$.

Подставляем значение $C$ в выражение для $F(x)$:

$F(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{7}{4}$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{7}{4}$.

г) Для функции $f(x) = \sin x$, $F(-\pi) = -1$.

Находим общий вид первообразной для функции $f(x) = \sin x$. Это табличный интеграл.

$F(x) = \int \sin x dx = -\cos x + C$.

Используем условие $F(-\pi) = -1$ для нахождения $C$. Подставляем $x = -\pi$:

$F(-\pi) = -\cos(-\pi) + C$.

Так как косинус — четная функция, $\cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1$.

$F(-\pi) = -(-1) + C = 1 + C$.

Составляем уравнение:

$1 + C = -1$.

Решаем для $C$:

$C = -1 - 1 = -2$.

Подставляем найденное значение $C$ в выражение для $F(x)$:

$F(x) = -\cos x - 2$.

Ответ: $F(x) = -\cos x - 2$.

338. – Проверьте, что функция F является первообразной для функции f. Найдите общий вид первообразных для f, если:

а) $F(x) = \sin x - x \cos x$, $f(x) = x \sin x$;

б) $F(x) = \sqrt{x^2+1}$, $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$;

в) $F(x) = \cos x + x \sin x$, $f(x) = x \cos x$;

г) $F(x) = x - \frac{1}{x}$, $f(x) = \frac{1+x^2}{x^2}$.

а) $F(x) = \sin x - x \cos x, f(x) = x \sin x$

Для того чтобы проверить, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и убедиться, что она равна $f(x)$.

Находим производную $F'(x)$ по правилу дифференцирования разности и правилу дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

$F'(x) = (\sin x - x \cos x)' = (\sin x)' - (x \cos x)'$

Производная первого слагаемого: $(\sin x)' = \cos x$.

Для второго слагаемого $(x \cos x)'$ применим правило произведения, где $u=x, v=\cos x$. Тогда $u'=1, v'=-\sin x$.

$(x \cos x)' = u'v + uv' = 1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x) = \cos x - x \sin x$.

Теперь подставим найденные производные в исходное выражение:

$F'(x) = \cos x - (\cos x - x \sin x) = \cos x - \cos x + x \sin x = x \sin x$.

Поскольку $F'(x) = x \sin x = f(x)$, функция $F(x)$ действительно является первообразной для $f(x)$.

Общий вид всех первообразных для функции $f(x)$ находится путем добавления произвольной постоянной $C$ к найденной первообразной: $F(x) + C$.

Ответ: Общий вид первообразных: $\sin x - x \cos x + C$.

б) $F(x) = \sqrt{x^2 + 1}, f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

Проверим, является ли $F(x)$ первообразной для $f(x)$, найдя производную $F'(x)$.

Функцию $F(x)$ можно записать как $F(x) = (x^2 + 1)^{1/2}$. Для нахождения производной используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

Здесь внешняя функция $g(u) = u^{1/2}$ и внутренняя функция $h(x) = x^2 + 1$.

$g'(u) = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$ и $h'(x) = 2x$.

$F'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2+1)' = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

Полученная производная $F'(x)$ совпадает с функцией $f(x)$, следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Общий вид всех первообразных для $f(x)$ есть $F(x) + C$.

Ответ: Общий вид первообразных: $\sqrt{x^2 + 1} + C$.

в) $F(x) = \cos x + x \sin x, f(x) = x \cos x$

Для проверки найдем производную функции $F(x)$. Используем правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования произведения.

$F'(x) = (\cos x + x \sin x)' = (\cos x)' + (x \sin x)'$.

Производная первого слагаемого: $(\cos x)' = -\sin x$.

Для второго слагаемого $(x \sin x)'$ применим правило произведения, где $u=x, v=\sin x$. Тогда $u'=1, v'=\cos x$.

$(x \sin x)' = u'v + uv' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x$.

Подставим найденные производные:

$F'(x) = -\sin x + (\sin x + x \cos x) = -\sin x + \sin x + x \cos x = x \cos x$.

Так как $F'(x) = x \cos x = f(x)$, функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Общий вид первообразных для $f(x)$ равен $F(x) + C$.

Ответ: Общий вид первообразных: $\cos x + x \sin x + C$.

г) $F(x) = x - \frac{1}{x}, f(x) = \frac{1 + x^2}{x^2}$

Найдем производную функции $F(x)$, чтобы проверить, является ли она первообразной для $f(x)$.

Представим $F(x)$ как $F(x) = x - x^{-1}$.

Используем правило дифференцирования разности и степенное правило $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$F'(x) = (x - x^{-1})' = (x)' - (x^{-1})' = 1 - (-1)x^{-1-1} = 1 + x^{-2}$.

Запишем результат в виде дроби для сравнения с $f(x)$:

$F'(x) = 1 + \frac{1}{x^2} = \frac{x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 + 1}{x^2}$.

Поскольку $F'(x) = \frac{1 + x^2}{x^2} = f(x)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Общий вид всех первообразных для $f(x)$ имеет вид $F(x) + C$.

Ответ: Общий вид первообразных: $x - \frac{1}{x} + C$.