Страница 173 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

11. 1) Сформулируйте правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

2) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке:

а) $f(x) = 0.8x^5 - 4x^3$, $[-1; 2]$; б) $f(x) = x - \sin 2x$, $[0; \frac{\pi}{2}]$;

в) $f(x) = 3x^2 - 2x^3$, $[-1; 4]$; г) $f(x) = x^2 (6 - x)$, $[-1; 5]$.

3) а) Разность двух чисел равна 8. Каковы должны быть эти числа, чтобы произведение куба первого числа на второе было наименьшим?

б) Для стоянки машин выделили площадку прямоугольной формы, примыкающую одной стороной к стене здания. Площадку обнесли с трех сторон металлической сеткой длиной 200 м, и площадь ее при этом оказалась наибольшей. Каковы размеры площадки?

1)

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$:
1. Найти производную функции $f'(x)$.
2. Найти стационарные и критические точки функции, то есть точки, в которых производная $f'(x)$ равна нулю или не существует.
3. Выбрать из найденных точек те, которые принадлежат отрезку $[a, b]$.
4. Вычислить значения функции $f(x)$ в точках, выбранных в предыдущем пункте.
5. Вычислить значения функции $f(x)$ на концах отрезка, то есть $f(a)$ и $f(b)$.
6. Сравнить все полученные значения функции. Самое большое из них будет наибольшим значением функции на отрезке, а самое маленькое — наименьшим.

2) a)

Дана функция $f(x) = 0,8x^5 - 4x^3$ на отрезке $[-1; 2]$.
1. Найдём производную: $f'(x) = (0,8x^5 - 4x^3)' = 0,8 \cdot 5x^4 - 4 \cdot 3x^2 = 4x^4 - 12x^2$.
2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:
$4x^4 - 12x^2 = 0$
$4x^2(x^2 - 3) = 0$
Отсюда $x_1 = 0$, $x_2 = \sqrt{3}$, $x_3 = -\sqrt{3}$.
3. Проверим, принадлежат ли точки отрезку $[-1; 2]$.
$x_1 = 0 \in [-1; 2]$
$x_2 = \sqrt{3} \approx 1,73 \in [-1; 2]$
$x_3 = -\sqrt{3} \approx -1,73 \notin [-1; 2]$
4. Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку, и на его концах:
$f(-1) = 0,8(-1)^5 - 4(-1)^3 = -0,8 + 4 = 3,2$
$f(0) = 0,8(0)^5 - 4(0)^3 = 0$
$f(\sqrt{3}) = 0,8(\sqrt{3})^5 - 4(\sqrt{3})^3 = 0,8 \cdot 9\sqrt{3} - 4 \cdot 3\sqrt{3} = 7,2\sqrt{3} - 12\sqrt{3} = -4,8\sqrt{3}$
$f(2) = 0,8(2)^5 - 4(2)^3 = 0,8 \cdot 32 - 4 \cdot 8 = 25,6 - 32 = -6,4$
5. Сравним полученные значения: $3,2$; $0$; $-4,8\sqrt{3} \approx -8,31$; $-6,4$.
Наибольшее значение: $3,2$.
Наименьшее значение: $-4,8\sqrt{3}$.
Ответ: наибольшее значение функции $3,2$, наименьшее $-4,8\sqrt{3}$.

2) б)

Дана функция $f(x) = x - \sin 2x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$.
1. Найдём производную: $f'(x) = (x - \sin 2x)' = 1 - 2\cos 2x$.
2. Найдём критические точки:
$1 - 2\cos 2x = 0 \implies \cos 2x = \frac{1}{2}$
$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$
3. Выберем точки, принадлежащие отрезку $[0; \frac{\pi}{2}]$. При $k=0$ получаем $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = -\frac{\pi}{6}$. Отрезку принадлежит только $x = \frac{\pi}{6}$.
4. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
$f(0) = 0 - \sin(0) = 0$
$f(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{6} - \sin(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{6} - \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$
$f(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} - \sin(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} - \sin(\pi) = \frac{\pi}{2}$
5. Сравним значения: $0$; $\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,52 - 0,87 = -0,35$; $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$.
Наибольшее значение: $\frac{\pi}{2}$.
Наименьшее значение: $\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: наибольшее значение функции $\frac{\pi}{2}$, наименьшее $\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2) в)

Дана функция $f(x) = 3x^2 - 2x^3$ на отрезке $[-1; 4]$.
1. Найдём производную: $f'(x) = (3x^2 - 2x^3)' = 6x - 6x^2$.
2. Найдём критические точки:
$6x - 6x^2 = 0 \implies 6x(1-x) = 0$
Отсюда $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.
3. Обе точки принадлежат отрезку $[-1; 4]$.
4. Вычислим значения функции в этих точках и на концах отрезка:
$f(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1)^3 = 3 - 2(-1) = 3+2=5$
$f(0) = 3(0)^2 - 2(0)^3 = 0$
$f(1) = 3(1)^2 - 2(1)^3 = 3 - 2 = 1$
$f(4) = 3(4)^2 - 2(4)^3 = 3 \cdot 16 - 2 \cdot 64 = 48 - 128 = -80$
5. Сравним значения: $5; 0; 1; -80$.
Наибольшее значение: $5$.
Наименьшее значение: $-80$.
Ответ: наибольшее значение функции $5$, наименьшее $-80$.

2) г)

Дана функция $f(x) = x^2(6-x) = 6x^2 - x^3$ на отрезке $[-1; 5]$.
1. Найдём производную: $f'(x) = (6x^2 - x^3)' = 12x - 3x^2$.
2. Найдём критические точки:
$12x - 3x^2 = 0 \implies 3x(4-x) = 0$
Отсюда $x_1 = 0$, $x_2 = 4$.
3. Обе точки принадлежат отрезку $[-1; 5]$.
4. Вычислим значения функции в этих точках и на концах отрезка:
$f(-1) = (-1)^2(6 - (-1)) = 1 \cdot 7 = 7$
$f(0) = 0^2(6-0) = 0$
$f(4) = 4^2(6-4) = 16 \cdot 2 = 32$
$f(5) = 5^2(6-5) = 25 \cdot 1 = 25$
5. Сравним значения: $7; 0; 32; 25$.
Наибольшее значение: $32$.
Наименьшее значение: $0$.
Ответ: наибольшее значение функции $32$, наименьшее $0$.

3) а)

Пусть первое число — $x$, а второе — $y$. По условию, $x - y = 8$, откуда $y = x - 8$.
Нужно найти наименьшее значение произведения куба первого числа на второе. Составим функцию этого произведения:
$P(x) = x^3 \cdot y = x^3(x-8) = x^4 - 8x^3$.
Чтобы найти наименьшее значение этой функции, найдём её производную и приравняем к нулю:
$P'(x) = (x^4 - 8x^3)' = 4x^3 - 24x^2$.
$4x^3 - 24x^2 = 0 \implies 4x^2(x-6) = 0$.
Критические точки: $x=0$ и $x=6$.
Чтобы определить, какая из точек является точкой минимума, найдём вторую производную:
$P''(x) = (4x^3 - 24x^2)' = 12x^2 - 48x$.
Проверим знак второй производной в критических точках:
$P''(0) = 12(0)^2 - 48(0) = 0$. Это точка перегиба, а не экстремума.
$P''(6) = 12(6)^2 - 48(6) = 12 \cdot 36 - 288 = 432 - 288 = 144 > 0$. Значит, $x=6$ — точка минимума.
Итак, первое число $x = 6$.
Тогда второе число $y = x - 8 = 6 - 8 = -2$.
Ответ: искомые числа $6$ и $-2$.

3) б)

Пусть $y$ — длина сторон прямоугольной площадки, перпендикулярных стене, а $x$ — длина стороны, параллельной стене.
Так как площадка обнесена сеткой с трех сторон (две стороны длиной $y$ и одна длиной $x$), то длина сетки равна $L = x + 2y$.
По условию, $L = 200$ м, значит, $x + 2y = 200$. Отсюда $x = 200 - 2y$.
Площадь площадки $S = x \cdot y$. Подставим выражение для $x$:
$S(y) = (200 - 2y)y = 200y - 2y^2$.
Чтобы найти размеры площадки с наибольшей площадью, нужно найти максимум функции $S(y)$. Найдём производную и приравняем её к нулю:
$S'(y) = (200y - 2y^2)' = 200 - 4y$.
$200 - 4y = 0 \implies 4y = 200 \implies y = 50$.
Чтобы убедиться, что это точка максимума, найдём вторую производную:
$S''(y) = (200 - 4y)' = -4$.
Так как $S''(y) < 0$, точка $y=50$ является точкой максимума.
Таким образом, длина сторон, перпендикулярных стене, равна $y=50$ м.
Длина стороны, параллельной стене, равна $x = 200 - 2y = 200 - 2 \cdot 50 = 200 - 100 = 100$ м.
Ответ: размеры площадки $100$ м на $50$ м.