Страница 171 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

4. 1) Какую функцию называют непрерывной на промежутке?

2) Найдите промежутки непрерывности функции:

а) $f(x) = \frac{x^3 - 2x^2 - 5}{4 - x^2}$;

б) $f(x) = 1 - 2 \text{ tg } x$;

в) $f(x) = \frac{x - 4}{x^2 - 3x - 10}$;

г) $f(x) = x^4 - 3x^2 + 7$.

3) Решите неравенство методом интервалов:

а) $\frac{4}{x + 4} + \frac{1}{x + 1} > 1$;

б) $x^4 - 15x^2 - 16 \le 0$;

в) $\frac{x^2 - 3x - 4}{x - 4} \le 0$;

г) $(x - 1)(x - 2)(x + 4) \ge 0$.

1) Функцию $f(x)$ называют непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Функция является непрерывной в точке $x_0$, если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Это означает, что:
1. Функция определена в точке $x_0$.
2. Существует конечный предел функции при $x \to x_0$.
3. Этот предел равен значению функции в точке $x_0$.
Проще говоря, график непрерывной на промежутке функции можно нарисовать, не отрывая карандаш от бумаги.

2) Промежутки непрерывности функции совпадают с ее областью определения, за исключением, возможно, отдельных точек. Для элементарных функций промежутки непрерывности — это все интервалы, на которых функция определена.

а) $f(x) = \frac{x^3 - 2x^2 - 5}{4 - x^2}$
Это рациональная функция, она непрерывна везде, кроме точек, где ее знаменатель равен нулю.
Найдем эти точки: $4 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$ и $x = -2$.
Таким образом, функция имеет разрывы в точках $x = -2$ и $x = 2$.
Промежутки непрерывности — это вся числовая ось, за исключением этих точек.
Ответ: $(-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

б) $f(x) = 1 - 2 \tg x$
Функция тангенса $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ не определена (и, следовательно, имеет разрывы) в точках, где $\cos x = 0$.
Это происходит при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Функция непрерывна на всех интервалах между этими точками.
Ответ: $(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) $f(x) = \frac{x - 4}{x^2 - 3x - 10}$
Это рациональная функция. Найдем точки, в которых знаменатель равен нулю.
$x^2 - 3x - 10 = 0$
Используем теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
Корни: $x_1 = \frac{3 - 7}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5$.
Точки разрыва: $x = -2$ и $x = 5$.
Ответ: $(-\infty; -2) \cup (-2; 5) \cup (5; +\infty)$.

г) $f(x) = x^4 - 3x^2 + 7$
Это полином (многочлен). Полиномиальные функции непрерывны на всей числовой оси.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

3)

а) $\frac{4}{x+4} + \frac{1}{x+1} > 1$
Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{4(x+1) + 1(x+4) - 1(x+4)(x+1)}{(x+4)(x+1)} > 0$
$\frac{4x+4+x+4 - (x^2+5x+4)}{(x+4)(x+1)} > 0$
$\frac{5x+8 - x^2 - 5x - 4}{(x+4)(x+1)} > 0$
$\frac{-x^2+4}{(x+4)(x+1)} > 0$
Умножим на -1 и сменим знак неравенства:
$\frac{x^2-4}{(x+4)(x+1)} < 0$
$\frac{(x-2)(x+2)}{(x+4)(x+1)} < 0$
Найдем нули числителя ($x=2, x=-2$) и нули знаменателя ($x=-4, x=-1$). Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражения в каждом интервале.
Интервалы: $(-\infty; -4)$, $(-4; -2)$, $(-2; -1)$, $(-1; 2)$, $(2; +\infty)$.
Знаки: +, -, +, -, +.
Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля.
Ответ: $(-4; -2) \cup (-1; 2)$.

б) $x^4 - 15x^2 - 16 \le 0$
Это биквадратное неравенство. Сделаем замену $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то $t \ge 0$.
Получаем квадратное неравенство: $t^2 - 15t - 16 \le 0$.
Найдем корни уравнения $t^2 - 15t - 16 = 0$.
$D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289 = 17^2$.
$t_1 = \frac{15 - 17}{2} = -1$, $t_2 = \frac{15 + 17}{2} = 16$.
Неравенство $t^2 - 15t - 16 \le 0$ выполняется при $t \in [-1; 16]$.
Возвращаемся к замене, учитывая условие $t \ge 0$:
$0 \le x^2 \le 16$.
Неравенство $x^2 \le 16$ равносильно системе $\begin{cases} x \le 4 \\ x \ge -4 \end{cases}$, то есть $x \in [-4; 4]$.
Ответ: $[-4; 4]$.

в) $\frac{x^2 - 3x - 4}{x - 4} \le 0$
Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$ это $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.
Неравенство принимает вид: $\frac{(x-4)(x+1)}{x-4} \le 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$.
На ОДЗ можно сократить дробь: $x+1 \le 0 \Rightarrow x \le -1$.
Полученное решение $x \le -1$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 4$).
Ответ: $(-\infty; -1]$.

г) $(x - 1)(x - 2)(x + 4) \ge 0$
Найдем корни выражения: $x=1, x=2, x=-4$.
Нанесем эти точки на числовую прямую. Так как неравенство нестрогое, точки включаются в решение.
Определим знаки выражения в полученных интервалах:
При $x > 2$: $(+)(+)(+) = +$.
При $1 < x < 2$: $(+)(-)(+) = -$.
При $-4 < x < 1$: $(-)(-)(+) = +$.
При $x < -4$: $(-)(-)(-) = -$.
Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю.
Ответ: $[-4; 1] \cup [2; +\infty)$.

5. 1) Какую прямую называют касательной к графику функции $f$ в точке $(x_0; f(x_0))$?

2) В чем состоит геометрический смысл производной?

3) Напишите уравнение касательной к графику функции $f$ в точке $(x_0; f(x_0))$:

а) $f(x) = \cos x, x_0 = \frac{2\pi}{3}$;

б) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = 2$.

в) $f(x) = \sin x, x_0 = \pi$;

г) $f(x) = x^2, x_0 = -\frac{1}{2}$.

1) Касательной к графику функции $f$ в точке $(x_0; f(x_0))$ называют прямую, которая является предельным положением секущей, проходящей через точки $(x_0; f(x_0))$ и $(x; f(x))$ графика при условии, что $x$ стремится к $x_0$. Эта прямая проходит через точку касания $(x_0; f(x_0))$ и имеет угловой коэффициент, равный значению производной функции $f$ в этой точке, то есть $f'(x_0)$.
Ответ: Касательная к графику функции $f$ в точке $(x_0; f(x_0))$ — это прямая, проходящая через эту точку, угловой коэффициент которой равен значению производной $f'(x_0)$.

2) Геометрический смысл производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ состоит в том, что значение производной $f'(x_0)$ равно угловому коэффициенту касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$. Угловой коэффициент $k$ касательной, в свою очередь, равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс: $k = \tan \alpha = f'(x_0)$.
Ответ: Значение производной в точке $x_0$ равно тангенсу угла наклона (угловому коэффициенту) касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

3) Уравнение касательной к графику функции $f$ в точке $(x_0; f(x_0))$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

а) Для функции $f(x) = \cos x$ в точке $x_0 = \frac{2\pi}{3}$ находим:
1. Значение функции: $f(x_0) = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.
2. Производную функции: $f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.
3. Значение производной в точке: $f'(x_0) = -\sin(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:
$y = -\frac{1}{2} + (-\frac{\sqrt{3}}{2})(x - \frac{2\pi}{3})$
$y = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{2\pi\sqrt{3}}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\pi\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{2}$.
Ответ: $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\pi\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{2}$.

б) Для функции $f(x) = \frac{1}{x}$ в точке $x_0 = 2$ находим:
1. Значение функции: $f(x_0) = \frac{1}{2}$.
2. Производную функции: $f'(x) = (\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$.
3. Значение производной в точке: $f'(x_0) = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4}$.
4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:
$y = \frac{1}{2} + (-\frac{1}{4})(x - 2)$
$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}x + \frac{2}{4} = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}x + 1$.
Ответ: $y = -\frac{1}{4}x + 1$.

в) Для функции $f(x) = \sin x$ в точке $x_0 = \pi$ находим:
1. Значение функции: $f(x_0) = \sin(\pi) = 0$.
2. Производную функции: $f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
3. Значение производной в точке: $f'(x_0) = \cos(\pi) = -1$.
4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:
$y = 0 + (-1)(x - \pi) = -x + \pi$.
Ответ: $y = -x + \pi$.

г) Для функции $f(x) = x^2$ в точке $x_0 = -\frac{1}{2}$ находим:
1. Значение функции: $f(x_0) = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
2. Производную функции: $f'(x) = (x^2)' = 2x$.
3. Значение производной в точке: $f'(x_0) = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1$.
4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:
$y = \frac{1}{4} + (-1)(x - (-\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - (x + \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - x - \frac{1}{2} = -x - \frac{1}{4}$.
Ответ: $y = -x - \frac{1}{4}$.

6. 1) Запишите общую формулу для приближенного вычисления значения функции, дифференцируемой в точке $x_0$.

2) Выпишите формулы для приближенного вычисления значений функции:

а) $f(x) = x^n$;

б) $f(x) = \cos x$;

в) $f(x) = \sqrt{x}$;

г) $f(x) = \frac{1}{x}$.

3) Вычислите приближенные значения:

а) $\frac{1}{1,001^{10}};

б) $\sin 59^\circ;

в) $\sqrt{9,009};

г) $0,999^{15}$.

1)

Общая формула для приближенного вычисления значения функции, дифференцируемой в точке $x_0$, основана на замене приращения функции ее дифференциалом. Если функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, то для малого приращения аргумента $\Delta x = x - x_0$ справедливо приближенное равенство:

$f(x) - f(x_0) \approx f'(x_0)(x - x_0)$

где $f'(x_0)$ — значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Отсюда получаем формулу для приближенного вычисления значения функции в точке $x$, близкой к $x_0$:

$f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Эту формулу также часто записывают в виде:

$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x$

Геометрически это означает, что график функции вблизи точки $(x_0, f(x_0))$ заменяется касательной, проведенной к графику в этой точке.

Ответ: $f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ или $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x$.

2)

а) Для функции $f(x) = x^n$.Производная функции: $f'(x) = n x^{n-1}$.Подставляя в общую формулу $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x$, получаем:

$(x_0 + \Delta x)^n \approx x_0^n + n x_0^{n-1}\Delta x$.

Ответ: $(x_0 + \Delta x)^n \approx x_0^n + n x_0^{n-1}\Delta x$.

б) Для функции $f(x) = \cos x$.Производная функции: $f'(x) = -\sin x$.Подставляя в общую формулу, получаем (приращение $\Delta x$ должно быть в радианах):

$\cos(x_0 + \Delta x) \approx \cos(x_0) - \sin(x_0)\Delta x$.

Ответ: $\cos(x_0 + \Delta x) \approx \cos(x_0) - \sin(x_0)\Delta x$.

в) Для функции $f(x) = \sqrt{x}$.Производная функции: $f'(x) = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.Подставляя в общую формулу, получаем:

$\sqrt{x_0 + \Delta x} \approx \sqrt{x_0} + \frac{1}{2\sqrt{x_0}}\Delta x$.

Ответ: $\sqrt{x_0 + \Delta x} \approx \sqrt{x_0} + \frac{1}{2\sqrt{x_0}}\Delta x$.

г) Для функции $f(x) = \frac{1}{x}$.Производная функции: $f'(x) = (x^{-1})' = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.Подставляя в общую формулу, получаем:

$\frac{1}{x_0 + \Delta x} \approx \frac{1}{x_0} - \frac{1}{x_0^2}\Delta x$.

Ответ: $\frac{1}{x_0 + \Delta x} \approx \frac{1}{x_0} - \frac{1}{x_0^2}\Delta x$.

3)

а) Вычислим $\frac{1}{1.001^{10}} = (1.001)^{-10}$.Используем функцию $f(x) = x^{-10}$. Представим $1.001$ как $1 + 0.001$.Пусть $x_0=1$, $\Delta x = 0.001$. Тогда $n=-10$.Используем формулу $(x_0 + \Delta x)^n \approx x_0^n + n x_0^{n-1}\Delta x$:$(1+0.001)^{-10} \approx 1^{-10} + (-10) \cdot 1^{-11} \cdot 0.001 = 1 - 10 \cdot 0.001 = 1 - 0.01 = 0.99$.

Ответ: $0.99$.

б) Вычислим $\sin 59^\circ$.Используем функцию $f(x) = \sin x$ и ее производную $f'(x) = \cos x$.Формула приближения: $\sin(x_0 + \Delta x) \approx \sin(x_0) + \cos(x_0)\Delta x$.Выберем $x_0 = 60^\circ$, тогда $\Delta x = 59^\circ - 60^\circ = -1^\circ$.Переведем приращение в радианы: $\Delta x = -1^\circ = -\frac{\pi}{180}$ рад.Значения в точке $x_0$: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.$\sin(59^\circ) \approx \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\pi}{180}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{360}$.Вычислим численно, приняв $\sqrt{3} \approx 1.732$ и $\pi \approx 3.142$:$\sin(59^\circ) \approx \frac{1.732}{2} - \frac{3.142}{360} \approx 0.866 - 0.0087 \approx 0.8573$.

Ответ: $\approx 0.8573$.

в) Вычислим $\sqrt{9.009}$.Используем формулу $\sqrt{x_0 + \Delta x} \approx \sqrt{x_0} + \frac{1}{2\sqrt{x_0}}\Delta x$.Пусть $x_0 = 9$, $\Delta x = 0.009$.$\sqrt{9.009} = \sqrt{9+0.009} \approx \sqrt{9} + \frac{1}{2\sqrt{9}} \cdot 0.009 = 3 + \frac{1}{6} \cdot 0.009 = 3 + 0.0015 = 3.0015$.

Ответ: $3.0015$.

г) Вычислим $0.999^{15}$.Используем функцию $f(x) = x^{15}$. Представим $0.999$ как $1 - 0.001$.Пусть $x_0=1$, $\Delta x = -0.001$. Тогда $n=15$.Используем формулу $(x_0 + \Delta x)^n \approx x_0^n + n x_0^{n-1}\Delta x$:$0.999^{15} = (1-0.001)^{15} \approx 1^{15} + 15 \cdot 1^{14} \cdot (-0.001) = 1 - 0.015 = 0.985$.

Ответ: $0.985$.