Номер 6, страница 171 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Вопросы и задачи на повторение. Глава 2. Производная и её применения - номер 6, страница 171.

Условие.

6. 1) Запишите общую формулу для приближенного вычисления значения функции, дифференцируемой в точке $x_0$.

2) Выпишите формулы для приближенного вычисления значений функции:

а) $f(x) = x^n$;

б) $f(x) = \cos x$;

в) $f(x) = \sqrt{x}$;

г) $f(x) = \frac{1}{x}$.

3) Вычислите приближенные значения:

а) $\frac{1}{1,001^{10}};

б) $\sin 59^\circ;

в) $\sqrt{9,009};

г) $0,999^{15}$.

Решение 5.

1)

Общая формула для приближенного вычисления значения функции, дифференцируемой в точке $x_0$, основана на замене приращения функции ее дифференциалом. Если функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, то для малого приращения аргумента $\Delta x = x - x_0$ справедливо приближенное равенство:

$f(x) - f(x_0) \approx f'(x_0)(x - x_0)$

где $f'(x_0)$ — значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Отсюда получаем формулу для приближенного вычисления значения функции в точке $x$, близкой к $x_0$:

$f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Эту формулу также часто записывают в виде:

$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x$

Геометрически это означает, что график функции вблизи точки $(x_0, f(x_0))$ заменяется касательной, проведенной к графику в этой точке.

Ответ: $f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ или $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x$.

2)

а) Для функции $f(x) = x^n$.Производная функции: $f'(x) = n x^{n-1}$.Подставляя в общую формулу $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x$, получаем:

$(x_0 + \Delta x)^n \approx x_0^n + n x_0^{n-1}\Delta x$.

Ответ: $(x_0 + \Delta x)^n \approx x_0^n + n x_0^{n-1}\Delta x$.

б) Для функции $f(x) = \cos x$.Производная функции: $f'(x) = -\sin x$.Подставляя в общую формулу, получаем (приращение $\Delta x$ должно быть в радианах):

$\cos(x_0 + \Delta x) \approx \cos(x_0) - \sin(x_0)\Delta x$.

Ответ: $\cos(x_0 + \Delta x) \approx \cos(x_0) - \sin(x_0)\Delta x$.

в) Для функции $f(x) = \sqrt{x}$.Производная функции: $f'(x) = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.Подставляя в общую формулу, получаем:

$\sqrt{x_0 + \Delta x} \approx \sqrt{x_0} + \frac{1}{2\sqrt{x_0}}\Delta x$.

Ответ: $\sqrt{x_0 + \Delta x} \approx \sqrt{x_0} + \frac{1}{2\sqrt{x_0}}\Delta x$.

г) Для функции $f(x) = \frac{1}{x}$.Производная функции: $f'(x) = (x^{-1})' = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.Подставляя в общую формулу, получаем:

$\frac{1}{x_0 + \Delta x} \approx \frac{1}{x_0} - \frac{1}{x_0^2}\Delta x$.

Ответ: $\frac{1}{x_0 + \Delta x} \approx \frac{1}{x_0} - \frac{1}{x_0^2}\Delta x$.

3)

а) Вычислим $\frac{1}{1.001^{10}} = (1.001)^{-10}$.Используем функцию $f(x) = x^{-10}$. Представим $1.001$ как $1 + 0.001$.Пусть $x_0=1$, $\Delta x = 0.001$. Тогда $n=-10$.Используем формулу $(x_0 + \Delta x)^n \approx x_0^n + n x_0^{n-1}\Delta x$:$(1+0.001)^{-10} \approx 1^{-10} + (-10) \cdot 1^{-11} \cdot 0.001 = 1 - 10 \cdot 0.001 = 1 - 0.01 = 0.99$.

Ответ: $0.99$.

б) Вычислим $\sin 59^\circ$.Используем функцию $f(x) = \sin x$ и ее производную $f'(x) = \cos x$.Формула приближения: $\sin(x_0 + \Delta x) \approx \sin(x_0) + \cos(x_0)\Delta x$.Выберем $x_0 = 60^\circ$, тогда $\Delta x = 59^\circ - 60^\circ = -1^\circ$.Переведем приращение в радианы: $\Delta x = -1^\circ = -\frac{\pi}{180}$ рад.Значения в точке $x_0$: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.$\sin(59^\circ) \approx \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\pi}{180}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{360}$.Вычислим численно, приняв $\sqrt{3} \approx 1.732$ и $\pi \approx 3.142$:$\sin(59^\circ) \approx \frac{1.732}{2} - \frac{3.142}{360} \approx 0.866 - 0.0087 \approx 0.8573$.

Ответ: $\approx 0.8573$.

в) Вычислим $\sqrt{9.009}$.Используем формулу $\sqrt{x_0 + \Delta x} \approx \sqrt{x_0} + \frac{1}{2\sqrt{x_0}}\Delta x$.Пусть $x_0 = 9$, $\Delta x = 0.009$.$\sqrt{9.009} = \sqrt{9+0.009} \approx \sqrt{9} + \frac{1}{2\sqrt{9}} \cdot 0.009 = 3 + \frac{1}{6} \cdot 0.009 = 3 + 0.0015 = 3.0015$.

Ответ: $3.0015$.

г) Вычислим $0.999^{15}$.Используем функцию $f(x) = x^{15}$. Представим $0.999$ как $1 - 0.001$.Пусть $x_0=1$, $\Delta x = -0.001$. Тогда $n=15$.Используем формулу $(x_0 + \Delta x)^n \approx x_0^n + n x_0^{n-1}\Delta x$:$0.999^{15} = (1-0.001)^{15} \approx 1^{15} + 15 \cdot 1^{14} \cdot (-0.001) = 1 - 0.015 = 0.985$.

Ответ: $0.985$.