Номер 10, страница 172 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Вопросы и задачи на повторение - номер 10, страница 172.

Условие.

10. 1) Опишите схему исследования функции.

2) Исследуйте с помощью производной функцию:

а) $f(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - x^2$;

б) $f(x) = \frac{8}{x} + \frac{x}{2}$;

в) $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x$;

г) $f(x) = \frac{x}{4 - x^2}$.

3) Исследуйте по схеме функцию $f$ и постройте ее график:

а) $f(x) = x^2 - \frac{2}{x}$;

б) $f(x) = x^2 (x - 2)^2$;

в) $f(x) = 2x^2 + 3x - 1$;

г) $f(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 - 3x + 1$.

Решение 5.

1)

Схема исследования функции включает в себя следующие шаги:

1. Нахождение области определения функции $D(f)$.
   Определяются все значения $x$, для которых функция имеет смысл.
2. Исследование функции на четность, нечетность и периодичность.
   Проверяется условие четности $f(-x) = f(x)$ и нечетности $f(-x) = -f(x)$. Определяется, является ли функция периодической.
3. Нахождение точек пересечения графика с осями координат.
   - С осью Oy: вычисляется $f(0)$.
   - С осью Ox: решается уравнение $f(x) = 0$.
4. Нахождение промежутков знакопостоянства функции.
   Определяются интервалы, на которых функция положительна ($f(x) > 0$) и на которых отрицательна ($f(x) < 0$).
5. Нахождение асимптот графика функции.
   - Вертикальные асимптоты: ищутся в точках разрыва, где предел функции равен бесконечности.
   - Горизонтальные асимптоты: вычисляется предел $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = A$. Если он конечен, то $y=A$ — горизонтальная асимптота.
   - Наклонные асимптоты: ищутся в виде $y = kx + b$, где $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$ и $b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx)$.
6. Исследование на монотонность и экстремумы.
   - Находится первая производная $f'(x)$.
   - Находятся критические точки, в которых $f'(x) = 0$ или не существует.
   - Определяются знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения.
   - Делается вывод о промежутках возрастания ($f'(x) > 0$) и убывания ($f'(x) < 0$) функции.
   - Определяются точки локального максимума и минимума.
7. Исследование на выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
   - Находится вторая производная $f''(x)$.
   - Находятся точки, в которых $f''(x) = 0$ или не существует.
   - Определяются знаки второй производной на интервалах.
   - Делается вывод о промежутках выпуклости ($f''(x) < 0$) и вогнутости ($f''(x) > 0$) графика.
   - Определяются точки перегиба.
8. Построение графика функции.
   На основе всех полученных данных строится график функции.

Ответ: Приведена полная схема исследования функции.

2)

а) $f(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - x^2$

1. Находим производную функции: $f'(x) = (\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - x^2)' = x^3 + x^2 - 2x$.
2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$x^3 + x^2 - 2x = 0$
$x(x^2 + x - 2) = 0$
$x(x+2)(x-1) = 0$
Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.
3. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$.
- При $x \in (-\infty; -2)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (-2; 0)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (0; 1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (1; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
4. Находим экстремумы:
- В точке $x=-2$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка локального минимума. $f(-2) = \frac{(-2)^4}{4} + \frac{(-2)^3}{3} - (-2)^2 = 4 - \frac{8}{3} - 4 = -\frac{8}{3}$.
- В точке $x=0$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка локального максимума. $f(0) = 0$.
- В точке $x=1$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка локального минимума. $f(1) = \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1 = \frac{3+4-12}{12} = -\frac{5}{12}$.

Ответ: Функция возрастает на интервалах $(-2; 0)$ и $(1; +\infty)$, убывает на интервалах $(-\infty; -2)$ и $(0; 1)$. Точка локального максимума: $(0; 0)$. Точки локального минимума: $(-2; -8/3)$ и $(1; -5/12)$.

б) $f(x) = \frac{8}{x} + \frac{x}{2}$

1. Область определения $x \neq 0$.
2. Находим производную: $f'(x) = (-\frac{8}{x^2} + \frac{1}{2})$.
3. Находим критические точки из $f'(x) = 0$:
$-\frac{8}{x^2} + \frac{1}{2} = 0 \implies \frac{1}{2} = \frac{8}{x^2} \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4$.
4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -4)$, $(-4; 0)$, $(0; 4)$, $(4; +\infty)$.
- При $x \in (-\infty; -4)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (-4; 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (0; 4)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (4; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
5. Находим экстремумы:
- В точке $x=-4$ производная меняет знак с "+" на "-", это точка локального максимума. $f(-4) = \frac{8}{-4} + \frac{-4}{2} = -2 - 2 = -4$.
- В точке $x=4$ производная меняет знак с "-" на "+", это точка локального минимума. $f(4) = \frac{8}{4} + \frac{4}{2} = 2 + 2 = 4$.

Ответ: Функция возрастает на интервалах $(-\infty; -4)$ и $(4; +\infty)$, убывает на интервалах $(-4; 0)$ и $(0; 4)$. Точка локального максимума: $(-4; -4)$. Точка локального минимума: $(4; 4)$.

в) $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x$

1. Находим производную: $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$.
2. Находим критические точки из $f'(x) = 0$:
$3x^2 - 6x - 9 = 0 \implies x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x-3)(x+1) = 0$.
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$.
3. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 3)$, $(3; +\infty)$.
- При $x \in (-\infty; -1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (-1; 3)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (3; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
4. Находим экстремумы:
- В точке $x=-1$ — локальный максимум. $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) = -1 - 3 + 9 = 5$.
- В точке $x=3$ — локальный минимум. $f(3) = 3^3 - 3(3^2) - 9(3) = 27 - 27 - 27 = -27$.

Ответ: Функция возрастает на интервалах $(-\infty; -1)$ и $(3; +\infty)$, убывает на интервале $(-1; 3)$. Точка локального максимума: $(-1; 5)$. Точка локального минимума: $(3; -27)$.

г) $f(x) = \frac{x}{4-x^2}$

1. Область определения $4-x^2 \neq 0 \implies x \neq \pm 2$.
2. Находим производную: $f'(x) = \frac{1 \cdot (4-x^2) - x \cdot (-2x)}{(4-x^2)^2} = \frac{4-x^2+2x^2}{(4-x^2)^2} = \frac{x^2+4}{(4-x^2)^2}$.
3. Уравнение $f'(x) = 0$ не имеет решений, так как числитель $x^2+4$ всегда положителен.
4. Производная $f'(x) = \frac{x^2+4}{(4-x^2)^2}$ положительна во всей области определения функции, так как и числитель, и знаменатель всегда положительны.
5. Следовательно, функция возрастает на каждом интервале своей области определения. Экстремумов нет.

Ответ: Функция возрастает на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$. Локальных экстремумов нет.

3)

а) $f(x) = x^2 - \frac{2}{x}$

1. Область определения: $x \neq 0$, т.е. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Четность/нечетность: $f(-x) = (-x)^2 - \frac{2}{-x} = x^2 + \frac{2}{x}$. Функция общего вида.
3. Пересечения с осями:
- Oy: пересечения нет, так как $x \neq 0$.
- Ox: $x^2 - \frac{2}{x} = 0 \implies x^3 = 2 \implies x = \sqrt[3]{2}$. Точка $(\sqrt[3]{2}; 0)$.
4. Асимптоты:
- Вертикальная: $x=0$. $\lim_{x \to 0^-} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$.
- Горизонтальных и наклонных асимптот нет, так как $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \infty$.
5. Монотонность и экстремумы:
$f'(x) = 2x + \frac{2}{x^2} = \frac{2(x^3+1)}{x^2}$. Критическая точка $x=-1$.
- Убывает на $(-\infty; -1)$.
- Возрастает на $(-1; 0)$ и $(0; +\infty)$.
- Точка минимума: $x=-1$, $f(-1) = (-1)^2 - \frac{2}{-1} = 3$. Точка $(-1; 3)$.
6. Выпуклость и точки перегиба:
$f''(x) = 2 - \frac{4}{x^3} = \frac{2(x^3-2)}{x^3}$. $f''(x)=0$ при $x = \sqrt[3]{2}$.
- Вогнута (выпукла вниз) на $(-\infty; 0)$ и $(\sqrt[3]{2}; +\infty)$.
- Выпукла (выпукла вверх) на $(0; \sqrt[3]{2})$.
- Точка перегиба: $(\sqrt[3]{2}; 0)$.
7. График: На основе этих данных строится график. Он имеет минимум в $(-1, 3)$, вертикальную асимптоту $x=0$, пересекает ось Ox в точке перегиба $(\sqrt[3]{2}, 0)$.

Ответ: Проведено полное исследование функции. Результаты исследования представлены выше.

б) $f(x) = x^2(x-2)^2$

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Четность/нечетность: $f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2$. $f(-x) = x^4 + 4x^3 + 4x^2$. Функция общего вида.
3. Пересечения с осями:
- Oy: $f(0)=0$. Точка $(0; 0)$.
- Ox: $x^2(x-2)^2 = 0 \implies x=0$ или $x=2$. Точки $(0; 0)$ и $(2; 0)$.
4. Асимптоты: Асимптот нет. $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = +\infty$.
5. Монотонность и экстремумы:
$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x = 4x(x-1)(x-2)$. Критические точки $x=0, 1, 2$.
- Убывает на $(-\infty; 0)$ и $(1; 2)$.
- Возрастает на $(0; 1)$ и $(2; +\infty)$.
- Точки минимума: $(0; 0)$ и $(2; 0)$.
- Точка максимума: $x=1$, $f(1)=1^2(1-2)^2=1$. Точка $(1; 1)$.
6. Выпуклость и точки перегиба:
$f''(x) = 12x^2 - 24x + 8 = 4(3x^2 - 6x + 2)$. $f''(x)=0$ при $x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.
- Вогнута на $(-\infty; 1 - \frac{\sqrt{3}}{3})$ и $(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$.
- Выпукла на $(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}; 1 + \frac{\sqrt{3}}{3})$.
- Точки перегиба при $x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$. Значение функции в этих точках $f(1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{9}$.
7. График: График касается оси Ox в точках $(0;0)$ и $(2;0)$ (это точки минимума), имеет локальный максимум в $(1;1)$.

Ответ: Проведено полное исследование функции. Результаты исследования представлены выше.

в) $f(x) = 2x^2 + 3x - 1$

Это парабола с ветвями вверх.
1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Четность/нечетность: Функция общего вида.
3. Пересечения с осями:
- Oy: $(0; -1)$.
- Ox: $2x^2 + 3x - 1 = 0 \implies x = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$. Точки $(\frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}; 0)$.
4. Асимптоты: Нет.
5. Монотонность и экстремумы:
$f'(x) = 4x+3$. Критическая точка $x = -3/4$.
- Убывает на $(-\infty; -3/4)$.
- Возрастает на $(-3/4; +\infty)$.
- Точка минимума (вершина параболы): $x=-3/4, f(-3/4) = -17/8$. Точка $(-3/4; -17/8)$.
6. Выпуклость: $f''(x) = 4 > 0$. Функция всегда вогнута (выпукла вниз). Точек перегиба нет.
7. График: Парабола с ветвями вверх, вершиной в точке $(-3/4; -17/8)$.

Ответ: Проведено полное исследование функции. Результаты исследования представлены выше.

г) $f(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 - 3x + 1$

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Четность/нечетность: Функция общего вида.
3. Пересечения с осями:
- Oy: $(0; 1)$.
- Ox: $\frac{x^3}{3} + x^2 - 3x + 1 = 0$. Найти точные корни сложно.
4. Асимптоты: Нет.
5. Монотонность и экстремумы:
$f'(x) = x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1)$. Критические точки $x=-3, 1$.
- Возрастает на $(-\infty; -3)$ и $(1; +\infty)$.
- Убывает на $(-3; 1)$.
- Точка максимума: $x=-3, f(-3) = 10$. Точка $(-3; 10)$.
- Точка минимума: $x=1, f(1) = -2/3$. Точка $(1; -2/3)$.
6. Выпуклость и точки перегиба:
$f''(x) = 2x+2$. $f''(x)=0$ при $x=-1$.
- Выпукла на $(-\infty; -1)$.
- Вогнута на $(-1; +\infty)$.
- Точка перегиба: $x=-1, f(-1) = 14/3$. Точка $(-1; 14/3)$.
7. График: Кубическая парабола с локальным максимумом в $(-3, 10)$ и минимумом в $(1, -2/3)$.

Ответ: Проведено полное исследование функции. Результаты исследования представлены выше.