Номер 331, страница 176 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 7. Первообразная. Глава 3. Первообразная и интеграл - номер 331, страница 176.
№331 (с. 176)
Условие. №331 (с. 176)
скриншот условия

331.— Является ли функция F первообразной для функции f на указанном промежутке:
а) $F(x) = 2x + \cos \frac{x}{2}$, $f(x) = 2 - \frac{1}{2} \sin \frac{x}{2}$, $x \in \mathbb{R}$;
б) $F(x) = \sqrt{4 - x^2}$, $f(x) = -\frac{x}{\sqrt{4 - x^2}}$, $x \in (-2; 2)$;
в) $F(x) = \frac{1}{x^2}$, $f(x) = 14 - \frac{1}{x^2}$, $x \in (0; \infty)$;
г) $F(x) = 4x\sqrt{x}$, $f(x) = 6\sqrt{x}$, $x \in (0; \infty)?$
Решение 1. №331 (с. 176)

Решение 3. №331 (с. 176)

Решение 4. №331 (с. 176)


Решение 5. №331 (с. 176)
Функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, если на этом промежутке для всех $x$ выполняется равенство $F'(x) = f(x)$. Проверим это условие для каждого случая.
а) $F(x) = 2x + \cos\frac{x}{2}$, $f(x) = 2 - \frac{1}{2}\sin\frac{x}{2}$, $x \in \mathbb{R}$
Найдём производную функции $F(x)$:
$F'(x) = (2x + \cos\frac{x}{2})' = (2x)' + (\cos\frac{x}{2})' = 2 - \sin\frac{x}{2} \cdot (\frac{x}{2})' = 2 - \frac{1}{2}\sin\frac{x}{2}$.
Сравнивая производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$ на всём промежутке $\mathbb{R}$.
Ответ: да, является.
б) $F(x) = \sqrt{4-x^2}$, $f(x) = -\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}$, $x \in (-2; 2)$
Найдём производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:
$F'(x) = (\sqrt{4-x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{4-x^2}} \cdot (4-x^2)' = \frac{1}{2\sqrt{4-x^2}} \cdot (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}$.
Сравнивая производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$ на промежутке $(-2; 2)$.
Ответ: да, является.
в) $F(x) = \frac{1}{x^2}$, $f(x) = 14 - \frac{1}{x^2}$, $x \in (0; \infty)$
Найдём производную функции $F(x)$:
$F'(x) = (\frac{1}{x^2})' = (x^{-2})' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.
Сравнивая производную $F'(x) = -\frac{2}{x^3}$ с функцией $f(x) = 14 - \frac{1}{x^2}$, видим, что $F'(x) \neq f(x)$.
Ответ: нет, не является.
г) $F(x) = 4x\sqrt{x}$, $f(x) = 6\sqrt{x}$, $x \in (0; \infty)$
Представим функцию $F(x)$ в виде степенной функции: $F(x) = 4x \cdot x^{1/2} = 4x^{3/2}$.
Найдём производную этой функции:
$F'(x) = (4x^{3/2})' = 4 \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = 6x^{1/2} = 6\sqrt{x}$.
Сравнивая производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$ на промежутке $(0; \infty)$.
Ответ: да, является.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 331 расположенного на странице 176 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №331 (с. 176), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.