Номер 331, страница 176 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 7. Первообразная - номер 331, страница 176.

Условие.

331.— Является ли функция F первообразной для функции f на указанном промежутке:

а) $F(x) = 2x + \cos \frac{x}{2}$, $f(x) = 2 - \frac{1}{2} \sin \frac{x}{2}$, $x \in \mathbb{R}$;

б) $F(x) = \sqrt{4 - x^2}$, $f(x) = -\frac{x}{\sqrt{4 - x^2}}$, $x \in (-2; 2)$;

в) $F(x) = \frac{1}{x^2}$, $f(x) = 14 - \frac{1}{x^2}$, $x \in (0; \infty)$;

г) $F(x) = 4x\sqrt{x}$, $f(x) = 6\sqrt{x}$, $x \in (0; \infty)?$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, если на этом промежутке для всех $x$ выполняется равенство $F'(x) = f(x)$. Проверим это условие для каждого случая.

а) $F(x) = 2x + \cos\frac{x}{2}$, $f(x) = 2 - \frac{1}{2}\sin\frac{x}{2}$, $x \in \mathbb{R}$

Найдём производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (2x + \cos\frac{x}{2})' = (2x)' + (\cos\frac{x}{2})' = 2 - \sin\frac{x}{2} \cdot (\frac{x}{2})' = 2 - \frac{1}{2}\sin\frac{x}{2}$.

Сравнивая производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$ на всём промежутке $\mathbb{R}$.

Ответ: да, является.

б) $F(x) = \sqrt{4-x^2}$, $f(x) = -\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}$, $x \in (-2; 2)$

Найдём производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$F'(x) = (\sqrt{4-x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{4-x^2}} \cdot (4-x^2)' = \frac{1}{2\sqrt{4-x^2}} \cdot (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}$.

Сравнивая производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$ на промежутке $(-2; 2)$.

Ответ: да, является.

в) $F(x) = \frac{1}{x^2}$, $f(x) = 14 - \frac{1}{x^2}$, $x \in (0; \infty)$

Найдём производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (\frac{1}{x^2})' = (x^{-2})' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.

Сравнивая производную $F'(x) = -\frac{2}{x^3}$ с функцией $f(x) = 14 - \frac{1}{x^2}$, видим, что $F'(x) \neq f(x)$.

Ответ: нет, не является.

г) $F(x) = 4x\sqrt{x}$, $f(x) = 6\sqrt{x}$, $x \in (0; \infty)$

Представим функцию $F(x)$ в виде степенной функции: $F(x) = 4x \cdot x^{1/2} = 4x^{3/2}$.

Найдём производную этой функции:

$F'(x) = (4x^{3/2})' = 4 \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = 6x^{1/2} = 6\sqrt{x}$.

Сравнивая производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$ на промежутке $(0; \infty)$.

Ответ: да, является.