Номер 334, страница 176 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 7. Первообразная - номер 334, страница 176.

Условие.

334. Среди трех данных функций укажите такую, что две другие являются соответственно производной и первообразной для нее:

a) $f (x) = \frac{1}{x^2}$, $g (x) = -\frac{1}{x}$, $h (x) = -\frac{2}{x^3}$;

б) $f (x) = \frac{x^2}{2} - \cos x$, $g (x) = 1 + \cos x$, $h (x) = x + \sin x$;

в) $f (x) = 1$, $g (x) = x + 2$, $h (x) = \frac{x^2}{2} + 2x$;

г) $f (x) = 3 - 2 \sin x$, $g (x) = 3x + 2 \cos x$, $h (x) = -2 \cos x$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Даны функции $f(x) = \frac{1}{x^2}$, $g(x) = -\frac{1}{x}$, $h(x) = -\frac{2}{x^3}$.
Проверим, может ли функция $f(x)$ быть искомой. Для этого найдем ее производную и одну из ее первообразных.
Производная функции $f(x)$:
$f'(x) = \left(\frac{1}{x^2}\right)' = (x^{-2})' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.
Полученное выражение совпадает с функцией $h(x)$.
Первообразная для функции $f(x)$:
$\int f(x) \,dx = \int \frac{1}{x^2} \,dx = \int x^{-2} \,dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$.
При $C=0$ первообразная совпадает с функцией $g(x)$.
Таким образом, для функции $f(x)$ две другие функции, $h(x)$ и $g(x)$, являются соответственно ее производной и первообразной.
Ответ: $f(x) = \frac{1}{x^2}$.

б)

Даны функции $f(x) = \frac{x^2}{2} - \cos x$, $g(x) = 1 + \cos x$, $h(x) = x + \sin x$.
Проверим, может ли функция $h(x)$ быть искомой. Найдем ее производную и одну из ее первообразных.
Производная функции $h(x)$:
$h'(x) = (x + \sin x)' = 1 + \cos x$.
Полученное выражение совпадает с функцией $g(x)$.
Первообразная для функции $h(x)$:
$\int h(x) \,dx = \int (x + \sin x) \,dx = \frac{x^2}{2} - \cos x + C$.
При $C=0$ первообразная совпадает с функцией $f(x)$.
Таким образом, для функции $h(x)$ две другие функции, $g(x)$ и $f(x)$, являются соответственно ее производной и первообразной.
Ответ: $h(x) = x + \sin x$.

в)

Даны функции $f(x) = 1$, $g(x) = x + 2$, $h(x) = \frac{x^2}{2} + 2x$.
Проверим, может ли функция $g(x)$ быть искомой. Найдем ее производную и одну из ее первообразных.
Производная функции $g(x)$:
$g'(x) = (x + 2)' = 1$.
Полученное выражение совпадает с функцией $f(x)$.
Первообразная для функции $g(x)$:
$\int g(x) \,dx = \int (x + 2) \,dx = \frac{x^2}{2} + 2x + C$.
При $C=0$ первообразная совпадает с функцией $h(x)$.
Таким образом, для функции $g(x)$ две другие функции, $f(x)$ и $h(x)$, являются соответственно ее производной и первообразной.
Ответ: $g(x) = x + 2$.

г)

Даны функции $f(x) = 3 - 2 \sin x$, $g(x) = 3x + 2 \cos x$, $h(x) = -2 \cos x$.
Проверим, может ли функция $f(x)$ быть искомой. Найдем ее производную и одну из ее первообразных.
Производная функции $f(x)$:
$f'(x) = (3 - 2 \sin x)' = 0 - 2 \cos x = -2 \cos x$.
Полученное выражение совпадает с функцией $h(x)$.
Первообразная для функции $f(x)$:
$\int f(x) \,dx = \int (3 - 2 \sin x) \,dx = 3x - 2(-\cos x) + C = 3x + 2 \cos x + C$.
При $C=0$ первообразная совпадает с функцией $g(x)$.
Таким образом, для функции $f(x)$ две другие функции, $h(x)$ и $g(x)$, являются соответственно ее производной и первообразной.
Ответ: $f(x) = 3 - 2 \sin x$.