Номер 335, страница 180 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 7. Первообразная - номер 335, страница 180.

Условие.

Найдите общий вид первообразных для функции $f$ (335—336).

335. a) $f(x) = 2 - x^4$;

б) $f(x) = x + \cos x$;

в) $f(x) = 4x$;

г) $f(x) = -3$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Чтобы найти общий вид первообразных для функции $f(x) = 2 - x^4$, необходимо вычислить её неопределенный интеграл $F(x) = \int f(x) \,dx$.

Применяем правило интегрирования разности двух функций: интеграл разности равен разности интегралов.

$F(x) = \int (2 - x^4) \,dx = \int 2 \,dx - \int x^4 \,dx$

Используем табличные интегралы:

• Для константы: $\int k \,dx = kx + C$
• Для степенной функции: $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

Применяя эти формулы, получаем:

$\int 2 \,dx = 2x$

$\int x^4 \,dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} = \frac{x^5}{5}$

Объединяем результаты и добавляем одну общую константу интегрирования $C$. Общий вид первообразных:

$F(x) = 2x - \frac{x^5}{5} + C$

Ответ: $F(x) = 2x - \frac{x^5}{5} + C$

б)

Чтобы найти общий вид первообразных для функции $f(x) = x + \cos x$, вычислим неопределенный интеграл $F(x) = \int (x + \cos x) \,dx$.

Применяем правило интегрирования суммы двух функций: интеграл суммы равен сумме интегралов.

$F(x) = \int x \,dx + \int \cos x \,dx$

Используем табличные интегралы:

• Для степенной функции ($n=1$): $\int x \,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2}$
• Для тригонометрической функции: $\int \cos x \,dx = \sin x$

Суммируем результаты и добавляем произвольную постоянную $C$. Общий вид первообразных:

$F(x) = \frac{x^2}{2} + \sin x + C$

Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + \sin x + C$

в)

Чтобы найти общий вид первообразных для функции $f(x) = 4x$, вычислим неопределенный интеграл $F(x) = \int 4x \,dx$.

Используем свойство вынесения константы за знак интеграла:

$F(x) = 4 \int x \,dx$

Далее, по формуле для степенной функции ($n=1$):

$\int x \,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2}$

Подставляем обратно и добавляем константу $C$:

$F(x) = 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 2x^2 + C$

Ответ: $F(x) = 2x^2 + C$

г)

Чтобы найти общий вид первообразных для функции $f(x) = -3$, вычислим неопределенный интеграл $F(x) = \int (-3) \,dx$.

Это интеграл от константы. По правилу $\int k \,dx = kx + C$, получаем:

$F(x) = -3x + C$

Ответ: $F(x) = -3x + C$