Номер 332, страница 176 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 7. Первообразная - номер 332, страница 176.

Условие.

332. – Найдите одну из первообразных для функции f на R:

а) $f(x) = x + 2$;

б) $f(x) = \left(\sin\frac{x}{2} - \cos\frac{x}{2}\right)^2$;

в) $f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x$;

г) $f(x) = 3x^2 + 1$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Чтобы найти одну из первообразных для функции $f(x) = x + 2$, необходимо найти функцию $F(x)$, производная которой равна $f(x)$. Это эквивалентно нахождению неопределенного интеграла от функции $f(x)$.

Используем свойство аддитивности интеграла и табличные интегралы для степенной функции и константы:

$F(x) = \int (x + 2)dx = \int xdx + \int 2dx$.

Интеграл от $x$ (степень $n=1$) равен $\frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2}$.

Интеграл от константы 2 равен $2x$.

Объединяя результаты, получаем общее выражение для первообразных: $F(x) = \frac{x^2}{2} + 2x + C$, где $C$ — произвольная константа.

Поскольку в задаче требуется найти одну из первообразных, мы можем выбрать любое значение для $C$. Самый простой вариант — положить $C=0$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + 2x$.

б)

Дана функция $f(x) = \left(\sin\frac{x}{2} - \cos\frac{x}{2}\right)^2$.

Для упрощения нахождения первообразной сначала преобразуем данное выражение. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$f(x) = \sin^2\frac{x}{2} - 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2}$.

Теперь воспользуемся двумя основными тригонометрическими формулами:

1. Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

2. Формула синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Сгруппируем слагаемые в нашем выражении: $f(x) = \left(\sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2}\right) - 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$.

Выражение в скобках равно 1. Второе слагаемое, согласно формуле синуса двойного угла (при $\alpha = \frac{x}{2}$), равно $\sin\left(2 \cdot \frac{x}{2}\right) = \sin x$.

Таким образом, функция упрощается до вида: $f(x) = 1 - \sin x$.

Теперь найдем первообразную для этой функции:

$F(x) = \int (1 - \sin x)dx = \int 1dx - \int \sin xdx$.

Первообразная для 1 равна $x$. Первообразная для $\sin x$ равна $-\cos x$.

$F(x) = x - (-\cos x) + C = x + \cos x + C$.

Выбрав $C=0$, получаем одну из первообразных.

Ответ: $F(x) = x + \cos x$.

в)

Дана функция $f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x$.

Согласно основному тригонометрическому тождеству, выражение $\sin^2 x + \cos^2 x$ равно 1 для любого действительного значения $x$.

Следовательно, наша функция представляет собой константу: $f(x) = 1$.

Первообразная для функции $f(x) = 1$ находится как интеграл от константы:

$F(x) = \int 1dx = x + C$.

Полагая константу $C$ равной нулю, получаем одну из первообразных.

Ответ: $F(x) = x$.

г)

Дана функция $f(x) = 3x^2 + 1$.

Для нахождения первообразной проинтегрируем функцию $f(x)$:

$F(x) = \int (3x^2 + 1)dx = \int 3x^2dx + \int 1dx$.

Используем формулу для степенной функции $\int ax^n dx = a\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

Для слагаемого $3x^2$ имеем $a=3, n=2$: $\int 3x^2dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$.

Для слагаемого 1 имеем: $\int 1dx = x$.

Суммируя результаты, получаем: $F(x) = x^3 + x + C$.

Возьмем $C=0$, чтобы найти одну конкретную первообразную.

Ответ: $F(x) = x^3 + x$.