Номер 332, страница 176 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 7. Первообразная. Глава 3. Первообразная и интеграл - номер 332, страница 176.
№332 (с. 176)
Условие. №332 (с. 176)
скриншот условия

332. – Найдите одну из первообразных для функции f на R:
а) $f(x) = x + 2$;
б) $f(x) = \left(\sin\frac{x}{2} - \cos\frac{x}{2}\right)^2$;
в) $f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x$;
г) $f(x) = 3x^2 + 1$.
Решение 1. №332 (с. 176)


Решение 3. №332 (с. 176)

Решение 4. №332 (с. 176)

Решение 5. №332 (с. 176)
а)
Чтобы найти одну из первообразных для функции $f(x) = x + 2$, необходимо найти функцию $F(x)$, производная которой равна $f(x)$. Это эквивалентно нахождению неопределенного интеграла от функции $f(x)$.
Используем свойство аддитивности интеграла и табличные интегралы для степенной функции и константы:
$F(x) = \int (x + 2)dx = \int xdx + \int 2dx$.
Интеграл от $x$ (степень $n=1$) равен $\frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2}$.
Интеграл от константы 2 равен $2x$.
Объединяя результаты, получаем общее выражение для первообразных: $F(x) = \frac{x^2}{2} + 2x + C$, где $C$ — произвольная константа.
Поскольку в задаче требуется найти одну из первообразных, мы можем выбрать любое значение для $C$. Самый простой вариант — положить $C=0$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + 2x$.
б)
Дана функция $f(x) = \left(\sin\frac{x}{2} - \cos\frac{x}{2}\right)^2$.
Для упрощения нахождения первообразной сначала преобразуем данное выражение. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$f(x) = \sin^2\frac{x}{2} - 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2}$.
Теперь воспользуемся двумя основными тригонометрическими формулами:
1. Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
2. Формула синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
Сгруппируем слагаемые в нашем выражении: $f(x) = \left(\sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2}\right) - 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$.
Выражение в скобках равно 1. Второе слагаемое, согласно формуле синуса двойного угла (при $\alpha = \frac{x}{2}$), равно $\sin\left(2 \cdot \frac{x}{2}\right) = \sin x$.
Таким образом, функция упрощается до вида: $f(x) = 1 - \sin x$.
Теперь найдем первообразную для этой функции:
$F(x) = \int (1 - \sin x)dx = \int 1dx - \int \sin xdx$.
Первообразная для 1 равна $x$. Первообразная для $\sin x$ равна $-\cos x$.
$F(x) = x - (-\cos x) + C = x + \cos x + C$.
Выбрав $C=0$, получаем одну из первообразных.
Ответ: $F(x) = x + \cos x$.
в)
Дана функция $f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, выражение $\sin^2 x + \cos^2 x$ равно 1 для любого действительного значения $x$.
Следовательно, наша функция представляет собой константу: $f(x) = 1$.
Первообразная для функции $f(x) = 1$ находится как интеграл от константы:
$F(x) = \int 1dx = x + C$.
Полагая константу $C$ равной нулю, получаем одну из первообразных.
Ответ: $F(x) = x$.
г)
Дана функция $f(x) = 3x^2 + 1$.
Для нахождения первообразной проинтегрируем функцию $f(x)$:
$F(x) = \int (3x^2 + 1)dx = \int 3x^2dx + \int 1dx$.
Используем формулу для степенной функции $\int ax^n dx = a\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
Для слагаемого $3x^2$ имеем $a=3, n=2$: $\int 3x^2dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$.
Для слагаемого 1 имеем: $\int 1dx = x$.
Суммируя результаты, получаем: $F(x) = x^3 + x + C$.
Возьмем $C=0$, чтобы найти одну конкретную первообразную.
Ответ: $F(x) = x^3 + x$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 332 расположенного на странице 176 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №332 (с. 176), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.