Номер 338, страница 180 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 7. Первообразная - номер 338, страница 180.

Условие.

338. – Проверьте, что функция F является первообразной для функции f. Найдите общий вид первообразных для f, если:

а) $F(x) = \sin x - x \cos x$, $f(x) = x \sin x$;

б) $F(x) = \sqrt{x^2+1}$, $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$;

в) $F(x) = \cos x + x \sin x$, $f(x) = x \cos x$;

г) $F(x) = x - \frac{1}{x}$, $f(x) = \frac{1+x^2}{x^2}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $F(x) = \sin x - x \cos x, f(x) = x \sin x$

Для того чтобы проверить, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и убедиться, что она равна $f(x)$.

Находим производную $F'(x)$ по правилу дифференцирования разности и правилу дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

$F'(x) = (\sin x - x \cos x)' = (\sin x)' - (x \cos x)'$

Производная первого слагаемого: $(\sin x)' = \cos x$.

Для второго слагаемого $(x \cos x)'$ применим правило произведения, где $u=x, v=\cos x$. Тогда $u'=1, v'=-\sin x$.

$(x \cos x)' = u'v + uv' = 1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x) = \cos x - x \sin x$.

Теперь подставим найденные производные в исходное выражение:

$F'(x) = \cos x - (\cos x - x \sin x) = \cos x - \cos x + x \sin x = x \sin x$.

Поскольку $F'(x) = x \sin x = f(x)$, функция $F(x)$ действительно является первообразной для $f(x)$.

Общий вид всех первообразных для функции $f(x)$ находится путем добавления произвольной постоянной $C$ к найденной первообразной: $F(x) + C$.

Ответ: Общий вид первообразных: $\sin x - x \cos x + C$.

б) $F(x) = \sqrt{x^2 + 1}, f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

Проверим, является ли $F(x)$ первообразной для $f(x)$, найдя производную $F'(x)$.

Функцию $F(x)$ можно записать как $F(x) = (x^2 + 1)^{1/2}$. Для нахождения производной используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

Здесь внешняя функция $g(u) = u^{1/2}$ и внутренняя функция $h(x) = x^2 + 1$.

$g'(u) = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$ и $h'(x) = 2x$.

$F'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2+1)' = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

Полученная производная $F'(x)$ совпадает с функцией $f(x)$, следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Общий вид всех первообразных для $f(x)$ есть $F(x) + C$.

Ответ: Общий вид первообразных: $\sqrt{x^2 + 1} + C$.

в) $F(x) = \cos x + x \sin x, f(x) = x \cos x$

Для проверки найдем производную функции $F(x)$. Используем правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования произведения.

$F'(x) = (\cos x + x \sin x)' = (\cos x)' + (x \sin x)'$.

Производная первого слагаемого: $(\cos x)' = -\sin x$.

Для второго слагаемого $(x \sin x)'$ применим правило произведения, где $u=x, v=\sin x$. Тогда $u'=1, v'=\cos x$.

$(x \sin x)' = u'v + uv' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x$.

Подставим найденные производные:

$F'(x) = -\sin x + (\sin x + x \cos x) = -\sin x + \sin x + x \cos x = x \cos x$.

Так как $F'(x) = x \cos x = f(x)$, функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Общий вид первообразных для $f(x)$ равен $F(x) + C$.

Ответ: Общий вид первообразных: $\cos x + x \sin x + C$.

г) $F(x) = x - \frac{1}{x}, f(x) = \frac{1 + x^2}{x^2}$

Найдем производную функции $F(x)$, чтобы проверить, является ли она первообразной для $f(x)$.

Представим $F(x)$ как $F(x) = x - x^{-1}$.

Используем правило дифференцирования разности и степенное правило $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$F'(x) = (x - x^{-1})' = (x)' - (x^{-1})' = 1 - (-1)x^{-1-1} = 1 + x^{-2}$.

Запишем результат в виде дроби для сравнения с $f(x)$:

$F'(x) = 1 + \frac{1}{x^2} = \frac{x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 + 1}{x^2}$.

Поскольку $F'(x) = \frac{1 + x^2}{x^2} = f(x)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Общий вид всех первообразных для $f(x)$ имеет вид $F(x) + C$.

Ответ: Общий вид первообразных: $x - \frac{1}{x} + C$.