Номер 338, страница 180 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 7. Первообразная. Глава 3. Первообразная и интеграл - номер 338, страница 180.
№338 (с. 180)
Условие. №338 (с. 180)
скриншот условия

338. – Проверьте, что функция F является первообразной для функции f. Найдите общий вид первообразных для f, если:
а) $F(x) = \sin x - x \cos x$, $f(x) = x \sin x$;
б) $F(x) = \sqrt{x^2+1}$, $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$;
в) $F(x) = \cos x + x \sin x$, $f(x) = x \cos x$;
г) $F(x) = x - \frac{1}{x}$, $f(x) = \frac{1+x^2}{x^2}$.
Решение 1. №338 (с. 180)


Решение 3. №338 (с. 180)

Решение 4. №338 (с. 180)

Решение 5. №338 (с. 180)
а) $F(x) = \sin x - x \cos x, f(x) = x \sin x$
Для того чтобы проверить, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и убедиться, что она равна $f(x)$.
Находим производную $F'(x)$ по правилу дифференцирования разности и правилу дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
$F'(x) = (\sin x - x \cos x)' = (\sin x)' - (x \cos x)'$
Производная первого слагаемого: $(\sin x)' = \cos x$.
Для второго слагаемого $(x \cos x)'$ применим правило произведения, где $u=x, v=\cos x$. Тогда $u'=1, v'=-\sin x$.
$(x \cos x)' = u'v + uv' = 1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x) = \cos x - x \sin x$.
Теперь подставим найденные производные в исходное выражение:
$F'(x) = \cos x - (\cos x - x \sin x) = \cos x - \cos x + x \sin x = x \sin x$.
Поскольку $F'(x) = x \sin x = f(x)$, функция $F(x)$ действительно является первообразной для $f(x)$.
Общий вид всех первообразных для функции $f(x)$ находится путем добавления произвольной постоянной $C$ к найденной первообразной: $F(x) + C$.
Ответ: Общий вид первообразных: $\sin x - x \cos x + C$.
б) $F(x) = \sqrt{x^2 + 1}, f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$
Проверим, является ли $F(x)$ первообразной для $f(x)$, найдя производную $F'(x)$.
Функцию $F(x)$ можно записать как $F(x) = (x^2 + 1)^{1/2}$. Для нахождения производной используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.
Здесь внешняя функция $g(u) = u^{1/2}$ и внутренняя функция $h(x) = x^2 + 1$.
$g'(u) = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$ и $h'(x) = 2x$.
$F'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2+1)' = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
Полученная производная $F'(x)$ совпадает с функцией $f(x)$, следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.
Общий вид всех первообразных для $f(x)$ есть $F(x) + C$.
Ответ: Общий вид первообразных: $\sqrt{x^2 + 1} + C$.
в) $F(x) = \cos x + x \sin x, f(x) = x \cos x$
Для проверки найдем производную функции $F(x)$. Используем правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования произведения.
$F'(x) = (\cos x + x \sin x)' = (\cos x)' + (x \sin x)'$.
Производная первого слагаемого: $(\cos x)' = -\sin x$.
Для второго слагаемого $(x \sin x)'$ применим правило произведения, где $u=x, v=\sin x$. Тогда $u'=1, v'=\cos x$.
$(x \sin x)' = u'v + uv' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x$.
Подставим найденные производные:
$F'(x) = -\sin x + (\sin x + x \cos x) = -\sin x + \sin x + x \cos x = x \cos x$.
Так как $F'(x) = x \cos x = f(x)$, функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.
Общий вид первообразных для $f(x)$ равен $F(x) + C$.
Ответ: Общий вид первообразных: $\cos x + x \sin x + C$.
г) $F(x) = x - \frac{1}{x}, f(x) = \frac{1 + x^2}{x^2}$
Найдем производную функции $F(x)$, чтобы проверить, является ли она первообразной для $f(x)$.
Представим $F(x)$ как $F(x) = x - x^{-1}$.
Используем правило дифференцирования разности и степенное правило $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$F'(x) = (x - x^{-1})' = (x)' - (x^{-1})' = 1 - (-1)x^{-1-1} = 1 + x^{-2}$.
Запишем результат в виде дроби для сравнения с $f(x)$:
$F'(x) = 1 + \frac{1}{x^2} = \frac{x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 + 1}{x^2}$.
Поскольку $F'(x) = \frac{1 + x^2}{x^2} = f(x)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.
Общий вид всех первообразных для $f(x)$ имеет вид $F(x) + C$.
Ответ: Общий вид первообразных: $x - \frac{1}{x} + C$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 338 расположенного на странице 180 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №338 (с. 180), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.