Номер 333, страница 176 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 7. Первообразная - номер 333, страница 176.

Условие.

333. Найдите две первообразные для функции f:

a) $f(x) = 2x$;

б) $f(x) = 1 - \sin x$;

В) $f(x) = x^2$;

г) $f(x) = \cos x + 2$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Первообразная для функции $f(x)$ — это такая функция $F(x)$, производная которой равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Все первообразные для $f(x)$ можно записать в виде $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Для функции $f(x) = 2x$, воспользуемся правилом нахождения первообразной для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
Общий вид первообразной для $f(x) = 2x$ равен:
$F(x) = \int 2x \,dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^2 + C$.
Чтобы найти две первообразные, нужно выбрать два произвольных значения для константы $C$. Возьмем $C=0$ и $C=5$.
Первая первообразная: $F_1(x) = x^2$.
Вторая первообразная: $F_2(x) = x^2 + 5$.
Ответ: $F_1(x) = x^2$ и $F_2(x) = x^2 + 5$.

б) Для функции $f(x) = 1 - \sin x$ находим первообразную для каждого слагаемого.
$F(x) = \int (1 - \sin x) \,dx = \int 1 \,dx - \int \sin x \,dx$.
Первообразная для 1 это $x$.
Первообразная для $\sin x$ это $-\cos x$.
Тогда общий вид первообразной:
$F(x) = x - (-\cos x) + C = x + \cos x + C$.
Выберем два произвольных значения для константы $C$, например, $C=1$ и $C=-2$.
Первая первообразная: $F_1(x) = x + \cos x + 1$.
Вторая первообразная: $F_2(x) = x + \cos x - 2$.
Ответ: $F_1(x) = x + \cos x + 1$ и $F_2(x) = x + \cos x - 2$.

в) Для функции $f(x) = x^2$ снова используем правило для степенной функции.
Общий вид первообразной для $f(x) = x^2$ равен:
$F(x) = \int x^2 \,dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C$.
Выберем два произвольных значения для константы $C$, например, $C=0$ и $C=10$.
Первая первообразная: $F_1(x) = \frac{x^3}{3}$.
Вторая первообразная: $F_2(x) = \frac{x^3}{3} + 10$.
Ответ: $F_1(x) = \frac{x^3}{3}$ и $F_2(x) = \frac{x^3}{3} + 10$.

г) Для функции $f(x) = \cos x + 2$ находим первообразную для каждого слагаемого.
$F(x) = \int (\cos x + 2) \,dx = \int \cos x \,dx + \int 2 \,dx$.
Первообразная для $\cos x$ это $\sin x$.
Первообразная для 2 это $2x$.
Тогда общий вид первообразной:
$F(x) = \sin x + 2x + C$.
Выберем два произвольных значения для константы $C$, например, $C=-3$ и $C=7$.
Первая первообразная: $F_1(x) = \sin x + 2x - 3$.
Вторая первообразная: $F_2(x) = \sin x + 2x + 7$.
Ответ: $F_1(x) = \sin x + 2x - 3$ и $F_2(x) = \sin x + 2x + 7$.