Номер 328, страница 176 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 7. Первообразная - номер 328, страница 176.

Условие.

Найдите одну из первообразных для функции $f$ на $R$

(328–329).

328. а) $f(x) = 3,5;$

б) $f(x) = \cos x;$

в) $f(x) = 2x;$

г) $f(x) = \sin x.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для того чтобы найти первообразную для функции $f(x) = 3,5$, необходимо найти такую функцию $F(x)$, производная которой $F'(x)$ равна $f(x)$. Общий вид первообразной для постоянной функции $f(x) = k$ является $F(x) = kx + C$, где $C$ - произвольная постоянная. В нашем случае $k = 3,5$. Таким образом, общий вид первообразной: $F(x) = 3,5x + C$. Поскольку в задаче требуется найти одну из первообразных, мы можем выбрать любое значение для константы $C$. Самый простой выбор — $C=0$. Тогда одна из первообразных будет $F(x) = 3,5x$.
Проверка: $F'(x) = (3,5x)' = 3,5 = f(x)$.
Ответ: $F(x) = 3,5x$.

б) Дана функция $f(x) = \cos x$. Нам нужно найти функцию $F(x)$, такую что $F'(x) = \cos x$. Из таблицы производных тригонометрических функций известно, что производная от синуса равна косинусу: $(\sin x)' = \cos x$. Следовательно, все первообразные для $f(x) = \cos x$ имеют вид $F(x) = \sin x + C$. Для нахождения одной первообразной положим константу $C=0$. Получаем $F(x) = \sin x$.
Проверка: $F'(x) = (\sin x)' = \cos x = f(x)$.
Ответ: $F(x) = \sin x$.

в) Дана функция $f(x) = 2x$. Для нахождения первообразной используем правило для степенной функции: первообразная для $x^n$ равна $\frac{x^{n+1}}{n+1}$. В нашем случае $f(x) = 2x^1$. Тогда общий вид первообразной: $F(x) = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^2 + C$. Выберем одну первообразную, положив $C=0$. Получаем $F(x) = x^2$.
Проверка: $F'(x) = (x^2)' = 2x = f(x)$.
Ответ: $F(x) = x^2$.

г) Дана функция $f(x) = \sin x$. Нам нужно найти функцию $F(x)$, такую что $F'(x) = \sin x$. Известно, что $(\cos x)' = -\sin x$. Чтобы производная была равна $\sin x$, исходная функция должна быть $-\cos x$, так как $(-\cos x)' = -(-\sin x) = \sin x$. Таким образом, все первообразные для $f(x) = \sin x$ имеют вид $F(x) = -\cos x + C$. Для нахождения одной первообразной положим $C=0$. Получаем $F(x) = -\cos x$.
Проверка: $F'(x) = (-\cos x)' = -(-\sin x) = \sin x = f(x)$.
Ответ: $F(x) = -\cos x$.