Номер 330, страница 176 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 7. Первообразная - номер 330, страница 176.

Условие.

330.— Докажите, что функция F есть первообразная для функции f на указанном промежутке:

а) $F(x) = \sin^2 x$, $f(x) = \sin 2x$, $x \in R$;

б) $F(x) = \frac{1}{2} \cos 2x$, $f(x) = -\sin 2x$, $x \in R$;

в) $F(x) = \sin 3x$, $f(x) = 3 \cos 3x$, $x \in R$;

г) $F(x) = 3 + \operatorname{tg} \frac{x}{2}$, $f(x) = \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}}$, $x \in (-\pi; \pi)$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы доказать, что функция $F(x) = \sin^2 x$ является первообразной для функции $f(x) = \sin 2x$ на промежутке $x \in \mathbb{R}$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и показать, что она равна $f(x)$.
Найдем производную $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции (производная степенной функции и производная синуса):
$F'(x) = (\sin^2 x)' = 2 \sin^{2-1} x \cdot (\sin x)' = 2 \sin x \cdot \cos x$.
Согласно тригонометрической формуле синуса двойного угла, $2 \sin x \cos x = \sin 2x$.
Таким образом, мы получили, что $F'(x) = \sin 2x$.
Поскольку $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in \mathbb{R}$, то функция $F(x)$ действительно является первообразной для функции $f(x)$ на указанном промежутке.
Ответ: Так как $F'(x) = (\sin^2 x)' = 2 \sin x \cos x = \sin 2x = f(x)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на $\mathbb{R}$.

б) Чтобы доказать, что функция $F(x) = \frac{1}{2} \cos 2x$ является первообразной для функции $f(x) = -\sin 2x$ на промежутке $x \in \mathbb{R}$, найдем производную функции $F(x)$.
Используем правило дифференцирования сложной функции (производная косинуса и линейной функции):
$F'(x) = (\frac{1}{2} \cos 2x)' = \frac{1}{2} \cdot (-\sin 2x) \cdot (2x)' = \frac{1}{2} \cdot (-\sin 2x) \cdot 2 = -\sin 2x$.
Таким образом, мы получили, что $F'(x) = -\sin 2x$.
Поскольку $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in \mathbb{R}$, то функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на указанном промежутке.
Ответ: Так как $F'(x) = (\frac{1}{2} \cos 2x)' = -\sin 2x = f(x)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на $\mathbb{R}$.

в) Чтобы доказать, что функция $F(x) = \sin 3x$ является первообразной для функции $f(x) = 3 \cos 3x$ на промежутке $x \in \mathbb{R}$, найдем производную функции $F(x)$.
Используем правило дифференцирования сложной функции (производная синуса и линейной функции):
$F'(x) = (\sin 3x)' = \cos 3x \cdot (3x)' = \cos 3x \cdot 3 = 3 \cos 3x$.
Таким образом, мы получили, что $F'(x) = 3 \cos 3x$.
Поскольку $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in \mathbb{R}$, то функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на указанном промежутке.
Ответ: Так как $F'(x) = (\sin 3x)' = 3 \cos 3x = f(x)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на $\mathbb{R}$.

г) Чтобы доказать, что функция $F(x) = 3 + \tg \frac{x}{2}$ является первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}}$ на промежутке $x \in (-\pi; \pi)$, найдем производную функции $F(x)$.
Производная суммы равна сумме производных. Производная константы 3 равна нулю. Найдем производную второго слагаемого, используя правило дифференцирования сложной функции (производная тангенса и линейной функции):
$F'(x) = (3 + \tg \frac{x}{2})' = (3)' + (\tg \frac{x}{2})' = 0 + \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \cdot (\frac{x}{2})' = \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}}$.
Таким образом, мы получили, что $F'(x) = \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}}$.
Функция $F(x)$ и ее производная $F'(x)$ определены на всем промежутке $(-\pi; \pi)$, так как на этом промежутке знаменатель $\cos^2 \frac{x}{2}$ не обращается в ноль.
Поскольку $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in (-\pi; \pi)$, то функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на указанном промежутке.
Ответ: Так как $F'(x) = (3 + \tg \frac{x}{2})' = \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} = f(x)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на $(-\pi; \pi)$.