Номер 326, страница 175 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 7. Первообразная. Глава 3. Первообразная и интеграл - номер 326, страница 175.
№326 (с. 175)
Условие. №326 (с. 175)
скриншот условия

326.— Докажите, что функция F есть первообразная для функции f на указанном промежутке:
a) $F(x) = x^5$, $f(x) = 5x^4$, $x \in (-\infty; \infty);$
б) $F(x) = x^{-3}$, $f(x) = -3x^{-4}$, $x \in (0; \infty);$
в) $F(x) = \frac{1}{7}x^7$, $f(x) = x^6$, $x \in (-\infty; \infty);$
г) $F(x) = -\frac{1}{6}x^{-6}$, $f(x) = x^{-7}$, $x \in (0; \infty).$
Решение 1. №326 (с. 175)

Решение 3. №326 (с. 175)

Решение 4. №326 (с. 175)

Решение 5. №326 (с. 175)
По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$. Чтобы это доказать, для каждого пункта найдем производную функции $F(x)$ и убедимся, что она равна $f(x)$ на указанном промежутке.
а)Дано: $F(x) = x^5$, $f(x) = 5x^4$ на промежутке $x \in (-\infty; \infty)$.
Найдем производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$:
$F'(x) = (x^5)' = 5 \cdot x^{5-1} = 5x^4$.
Сравним полученную производную с функцией $f(x)$. На всем промежутке $(-\infty; \infty)$ выполняется равенство:
$F'(x) = 5x^4 = f(x)$.
Следовательно, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке.
Ответ: Доказано.
б)Дано: $F(x) = x^{-3}$, $f(x) = -3x^{-4}$ на промежутке $x \in (0; \infty)$.
Функция $F(x) = x^{-3}$ дифференцируема на промежутке $(0; \infty)$. Найдем ее производную:
$F'(x) = (x^{-3})' = -3 \cdot x^{-3-1} = -3x^{-4}$.
Сравним полученную производную с функцией $f(x)$. На всем промежутке $(0; \infty)$ выполняется равенство:
$F'(x) = -3x^{-4} = f(x)$.
Следовательно, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке.
Ответ: Доказано.
в)Дано: $F(x) = \frac{1}{7}x^7$, $f(x) = x^6$ на промежутке $x \in (-\infty; \infty)$.
Найдем производную функции $F(x)$:
$F'(x) = (\frac{1}{7}x^7)' = \frac{1}{7} \cdot (x^7)' = \frac{1}{7} \cdot 7x^{7-1} = x^6$.
Сравним полученную производную с функцией $f(x)$. На всем промежутке $(-\infty; \infty)$ выполняется равенство:
$F'(x) = x^6 = f(x)$.
Следовательно, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке.
Ответ: Доказано.
г)Дано: $F(x) = -\frac{1}{6}x^{-6}$, $f(x) = x^{-7}$ на промежутке $x \in (0; \infty)$.
Функция $F(x) = -\frac{1}{6}x^{-6}$ дифференцируема на промежутке $(0; \infty)$. Найдем ее производную:
$F'(x) = (-\frac{1}{6}x^{-6})' = -\frac{1}{6} \cdot (x^{-6})' = -\frac{1}{6} \cdot (-6)x^{-6-1} = 1 \cdot x^{-7} = x^{-7}$.
Сравним полученную производную с функцией $f(x)$. На всем промежутке $(0; \infty)$ выполняется равенство:
$F'(x) = x^{-7} = f(x)$.
Следовательно, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке.
Ответ: Доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 326 расположенного на странице 175 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №326 (с. 175), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.