Номер 326, страница 175 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 7. Первообразная - номер 326, страница 175.

Условие.

326.— Докажите, что функция F есть первообразная для функции f на указанном промежутке:

a) $F(x) = x^5$, $f(x) = 5x^4$, $x \in (-\infty; \infty);$

б) $F(x) = x^{-3}$, $f(x) = -3x^{-4}$, $x \in (0; \infty);$

в) $F(x) = \frac{1}{7}x^7$, $f(x) = x^6$, $x \in (-\infty; \infty);$

г) $F(x) = -\frac{1}{6}x^{-6}$, $f(x) = x^{-7}$, $x \in (0; \infty).$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$. Чтобы это доказать, для каждого пункта найдем производную функции $F(x)$ и убедимся, что она равна $f(x)$ на указанном промежутке.

а)

Дано: $F(x) = x^5$, $f(x) = 5x^4$ на промежутке $x \in (-\infty; \infty)$.

Найдем производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$:

$F'(x) = (x^5)' = 5 \cdot x^{5-1} = 5x^4$.

Сравним полученную производную с функцией $f(x)$. На всем промежутке $(-\infty; \infty)$ выполняется равенство:

$F'(x) = 5x^4 = f(x)$.

Следовательно, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке.

Ответ: Доказано.

б)

Дано: $F(x) = x^{-3}$, $f(x) = -3x^{-4}$ на промежутке $x \in (0; \infty)$.

Функция $F(x) = x^{-3}$ дифференцируема на промежутке $(0; \infty)$. Найдем ее производную:

$F'(x) = (x^{-3})' = -3 \cdot x^{-3-1} = -3x^{-4}$.

Сравним полученную производную с функцией $f(x)$. На всем промежутке $(0; \infty)$ выполняется равенство:

$F'(x) = -3x^{-4} = f(x)$.

Следовательно, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке.

Ответ: Доказано.

в)

Дано: $F(x) = \frac{1}{7}x^7$, $f(x) = x^6$ на промежутке $x \in (-\infty; \infty)$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (\frac{1}{7}x^7)' = \frac{1}{7} \cdot (x^7)' = \frac{1}{7} \cdot 7x^{7-1} = x^6$.

Сравним полученную производную с функцией $f(x)$. На всем промежутке $(-\infty; \infty)$ выполняется равенство:

$F'(x) = x^6 = f(x)$.

Следовательно, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке.

Ответ: Доказано.

г)

Дано: $F(x) = -\frac{1}{6}x^{-6}$, $f(x) = x^{-7}$ на промежутке $x \in (0; \infty)$.

Функция $F(x) = -\frac{1}{6}x^{-6}$ дифференцируема на промежутке $(0; \infty)$. Найдем ее производную:

$F'(x) = (-\frac{1}{6}x^{-6})' = -\frac{1}{6} \cdot (x^{-6})' = -\frac{1}{6} \cdot (-6)x^{-6-1} = 1 \cdot x^{-7} = x^{-7}$.

Сравним полученную производную с функцией $f(x)$. На всем промежутке $(0; \infty)$ выполняется равенство:

$F'(x) = x^{-7} = f(x)$.

Следовательно, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке.

Ответ: Доказано.