Номер 5, страница 171 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Вопросы и задачи на повторение - номер 5, страница 171.

Условие.

5. 1) Какую прямую называют касательной к графику функции $f$ в точке $(x_0; f(x_0))$?

2) В чем состоит геометрический смысл производной?

3) Напишите уравнение касательной к графику функции $f$ в точке $(x_0; f(x_0))$:

а) $f(x) = \cos x, x_0 = \frac{2\pi}{3}$;

б) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = 2$.

в) $f(x) = \sin x, x_0 = \pi$;

г) $f(x) = x^2, x_0 = -\frac{1}{2}$.

Решение 5.

1) Касательной к графику функции $f$ в точке $(x_0; f(x_0))$ называют прямую, которая является предельным положением секущей, проходящей через точки $(x_0; f(x_0))$ и $(x; f(x))$ графика при условии, что $x$ стремится к $x_0$. Эта прямая проходит через точку касания $(x_0; f(x_0))$ и имеет угловой коэффициент, равный значению производной функции $f$ в этой точке, то есть $f'(x_0)$.
Ответ: Касательная к графику функции $f$ в точке $(x_0; f(x_0))$ — это прямая, проходящая через эту точку, угловой коэффициент которой равен значению производной $f'(x_0)$.

2) Геометрический смысл производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ состоит в том, что значение производной $f'(x_0)$ равно угловому коэффициенту касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$. Угловой коэффициент $k$ касательной, в свою очередь, равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс: $k = \tan \alpha = f'(x_0)$.
Ответ: Значение производной в точке $x_0$ равно тангенсу угла наклона (угловому коэффициенту) касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

3) Уравнение касательной к графику функции $f$ в точке $(x_0; f(x_0))$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

а) Для функции $f(x) = \cos x$ в точке $x_0 = \frac{2\pi}{3}$ находим:
1. Значение функции: $f(x_0) = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.
2. Производную функции: $f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.
3. Значение производной в точке: $f'(x_0) = -\sin(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:
$y = -\frac{1}{2} + (-\frac{\sqrt{3}}{2})(x - \frac{2\pi}{3})$
$y = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{2\pi\sqrt{3}}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\pi\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{2}$.
Ответ: $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\pi\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{2}$.

б) Для функции $f(x) = \frac{1}{x}$ в точке $x_0 = 2$ находим:
1. Значение функции: $f(x_0) = \frac{1}{2}$.
2. Производную функции: $f'(x) = (\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$.
3. Значение производной в точке: $f'(x_0) = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4}$.
4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:
$y = \frac{1}{2} + (-\frac{1}{4})(x - 2)$
$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}x + \frac{2}{4} = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}x + 1$.
Ответ: $y = -\frac{1}{4}x + 1$.

в) Для функции $f(x) = \sin x$ в точке $x_0 = \pi$ находим:
1. Значение функции: $f(x_0) = \sin(\pi) = 0$.
2. Производную функции: $f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
3. Значение производной в точке: $f'(x_0) = \cos(\pi) = -1$.
4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:
$y = 0 + (-1)(x - \pi) = -x + \pi$.
Ответ: $y = -x + \pi$.

г) Для функции $f(x) = x^2$ в точке $x_0 = -\frac{1}{2}$ находим:
1. Значение функции: $f(x_0) = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
2. Производную функции: $f'(x) = (x^2)' = 2x$.
3. Значение производной в точке: $f'(x_0) = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1$.
4. Подставляем найденные значения в уравнение касательной:
$y = \frac{1}{4} + (-1)(x - (-\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - (x + \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - x - \frac{1}{2} = -x - \frac{1}{4}$.
Ответ: $y = -x - \frac{1}{4}$.