Номер 325, страница 160 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 6. Применения производной к исследованию функции - номер 325, страница 160.

Условие.

325.- Покажите, что из всех треугольников, вписанных в данный круг, наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для доказательства того, что из всех треугольников, вписанных в данный круг, наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник, мы выразим площадь треугольника через радиус описанной окружности и его углы, а затем найдем условия, при которых эта площадь максимальна.

Пусть имеется произвольный треугольник, вписанный в окружность радиуса $R$. Обозначим углы этого треугольника как $\alpha, \beta, \gamma$, а противолежащие им стороны как $a, b, c$ соответственно.

Площадь $S$ треугольника можно выразить через его стороны и радиус описанной окружности $R$ по формуле: $$ S = \frac{abc}{4R} $$

По теореме синусов, стороны треугольника связаны с его углами и радиусом описанной окружности следующим образом: $$ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R $$ Из этой теоремы выразим стороны треугольника: $$ a = 2R \sin \alpha $$ $$ b = 2R \sin \beta $$ $$ c = 2R \sin \gamma $$

Теперь подставим эти выражения для сторон в формулу площади: $$ S = \frac{(2R \sin \alpha)(2R \sin \beta)(2R \sin \gamma)}{4R} = \frac{8R^3 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma}{4R} $$ $$ S = 2R^2 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma $$

Поскольку радиус $R$ для данного круга является постоянной величиной, задача максимизации площади $S$ сводится к максимизации произведения синусов углов треугольника: $P = \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$. При этом на углы наложено ограничение: $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, где $\alpha, \beta, \gamma > 0$.

Для нахождения максимума произведения $P$ удобно использовать неравенство Йенсена. Рассмотрим функцию $f(x) = \ln(\sin x)$ на интервале $(0, \pi)$. Найдем ее вторую производную, чтобы определить ее выпуклость/вогнутость: $$ f'(x) = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x $$ $$ f''(x) = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x $$ Поскольку $\sin^2 x > 0$ для всех $x \in (0, \pi)$, вторая производная $f''(x)$ всегда отрицательна. Это означает, что функция $f(x) = \ln(\sin x)$ является строго вогнутой на интервале $(0, \pi)$.

Согласно неравенству Йенсена для вогнутой функции: $$ \frac{f(\alpha) + f(\beta) + f(\gamma)}{3} \le f\left(\frac{\alpha + \beta + \gamma}{3}\right) $$ Подставим нашу функцию и воспользуемся тем, что $\alpha + \beta + \gamma = \pi$: $$ \frac{\ln(\sin \alpha) + \ln(\sin \beta) + \ln(\sin \gamma)}{3} \le \ln\left(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) $$ Применяя свойства логарифмов, получаем: $$ \frac{1}{3}\ln(\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma) \le \ln\left(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) $$ $$ \ln\left((\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma)^{1/3}\right) \le \ln\left(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) $$ Так как логарифмическая функция является монотонно возрастающей, можно заключить: $$ (\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma)^{1/3} \le \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) $$ Возведя обе части в куб, получим: $$ \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \le \left(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)^3 $$

Равенство в неравенстве Йенсена для строго вогнутой функции достигается тогда и только тогда, когда все аргументы равны, то есть $\alpha = \beta = \gamma$. С учетом условия $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, получаем: $$ \alpha = \beta = \gamma = \frac{\pi}{3} $$ Это соответствует равностороннему треугольнику.

Таким образом, произведение синусов углов, а следовательно, и площадь треугольника $S$, достигает своего максимального значения именно тогда, когда треугольник является равносторонним.

Ответ: Наибольшую площадь из всех треугольников, вписанных в данный круг, имеет равносторонний треугольник.