Номер 7, страница 172 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Вопросы и задачи на повторение - номер 7, страница 172.

Условие.

7. 1) В чем состоит механический смысл производной?

2) Тело движется по прямой согласно закону $x(t)$. Запишите формулы для нахождения скорости и ускорения тела в момент времени $t$.

3) Найдите скорость и ускорение точки в момент $t_0$, если:

а) $x(t) = t^3 - 2t^2 + 5, t_0 = 4$;

б) $x(t) = 3 \cos 2t, t_0 = \frac{\pi}{3}$;

в) $x(t) = 5t - t^2, t_0 = 2$;

г) $x(t) = 2t^2 + t - 4, t_0 = 4$.

Решение 5.

1) Механический (или физический) смысл производной заключается в том, что она характеризует скорость изменения некоторой физической величины. Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата $x$ изменяется со временем $t$ по закону $x(t)$, то производная этой функции по времени представляет собой мгновенную скорость движения точки в данный момент времени. Аналогично, производная от функции скорости по времени представляет собой мгновенное ускорение точки.

2) Если тело движется по прямой согласно закону $x(t)$, где $t$ — время, а $x(t)$ — координата тела в момент времени $t$, то формулы для нахождения мгновенной скорости $v(t)$ и мгновенного ускорения $a(t)$ тела в момент времени $t$ имеют следующий вид:

• Формула для скорости: скорость является первой производной от координаты по времени.
  $v(t) = x'(t)$
• Формула для ускорения: ускорение является первой производной от скорости по времени, или второй производной от координаты по времени.
  $a(t) = v'(t) = x''(t)$

3) Для нахождения скорости и ускорения точки в заданный момент времени $t_0$, необходимо сначала найти функции скорости $v(t)$ и ускорения $a(t)$ путем дифференцирования функции $x(t)$, а затем подставить в полученные функции значение $t_0$.

а) Дано: $x(t) = t^3 - 2t^2 + 5$, $t_0 = 4$.

1. Находим функцию скорости $v(t)$, взяв первую производную от $x(t)$:

$v(t) = x'(t) = (t^3 - 2t^2 + 5)' = 3t^2 - 4t$.

2. Находим функцию ускорения $a(t)$, взяв производную от $v(t)$:

$a(t) = v'(t) = (3t^2 - 4t)' = 6t - 4$.

3. Подставляем значение $t_0 = 4$ в функции скорости и ускорения:

$v(4) = 3 \cdot 4^2 - 4 \cdot 4 = 3 \cdot 16 - 16 = 48 - 16 = 32$.

$a(4) = 6 \cdot 4 - 4 = 24 - 4 = 20$.

Ответ: скорость $v(4) = 32$, ускорение $a(4) = 20$.

б) Дано: $x(t) = 3 \cos 2t$, $t_0 = \frac{\pi}{3}$.

1. Находим функцию скорости $v(t)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$v(t) = x'(t) = (3 \cos 2t)' = 3 \cdot (-\sin 2t) \cdot (2t)' = -6 \sin 2t$.

2. Находим функцию ускорения $a(t)$:

$a(t) = v'(t) = (-6 \sin 2t)' = -6 \cdot (\cos 2t) \cdot (2t)' = -12 \cos 2t$.

3. Подставляем значение $t_0 = \frac{\pi}{3}$:

$v(\frac{\pi}{3}) = -6 \sin(2 \cdot \frac{\pi}{3}) = -6 \sin(\frac{2\pi}{3}) = -6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -3\sqrt{3}$.

$a(\frac{\pi}{3}) = -12 \cos(2 \cdot \frac{\pi}{3}) = -12 \cos(\frac{2\pi}{3}) = -12 \cdot (-\frac{1}{2}) = 6$.

Ответ: скорость $v(\frac{\pi}{3}) = -3\sqrt{3}$, ускорение $a(\frac{\pi}{3}) = 6$.

в) Дано: $x(t) = 5t - t^2$, $t_0 = 2$.

1. Находим функцию скорости $v(t)$:

$v(t) = x'(t) = (5t - t^2)' = 5 - 2t$.

2. Находим функцию ускорения $a(t)$:

$a(t) = v'(t) = (5 - 2t)' = -2$.

3. Подставляем значение $t_0 = 2$:

$v(2) = 5 - 2 \cdot 2 = 5 - 4 = 1$.

$a(2) = -2$.

Ответ: скорость $v(2) = 1$, ускорение $a(2) = -2$.

г) Дано: $x(t) = 2t^2 + t - 4$, $t_0 = 4$.

1. Находим функцию скорости $v(t)$:

$v(t) = x'(t) = (2t^2 + t - 4)' = 4t + 1$.

2. Находим функцию ускорения $a(t)$:

$a(t) = v'(t) = (4t + 1)' = 4$.

3. Подставляем значение $t_0 = 4$:

$v(4) = 4 \cdot 4 + 1 = 16 + 1 = 17$.

$a(4) = 4$.

Ответ: скорость $v(4) = 17$, ускорение $a(4) = 4$.