Страница 172 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

7. 1) В чем состоит механический смысл производной?

2) Тело движется по прямой согласно закону $x(t)$. Запишите формулы для нахождения скорости и ускорения тела в момент времени $t$.

3) Найдите скорость и ускорение точки в момент $t_0$, если:

а) $x(t) = t^3 - 2t^2 + 5, t_0 = 4$;

б) $x(t) = 3 \cos 2t, t_0 = \frac{\pi}{3}$;

в) $x(t) = 5t - t^2, t_0 = 2$;

г) $x(t) = 2t^2 + t - 4, t_0 = 4$.

1) Механический (или физический) смысл производной заключается в том, что она характеризует скорость изменения некоторой физической величины. Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата $x$ изменяется со временем $t$ по закону $x(t)$, то производная этой функции по времени представляет собой мгновенную скорость движения точки в данный момент времени. Аналогично, производная от функции скорости по времени представляет собой мгновенное ускорение точки.

2) Если тело движется по прямой согласно закону $x(t)$, где $t$ — время, а $x(t)$ — координата тела в момент времени $t$, то формулы для нахождения мгновенной скорости $v(t)$ и мгновенного ускорения $a(t)$ тела в момент времени $t$ имеют следующий вид:

• Формула для скорости: скорость является первой производной от координаты по времени.
  $v(t) = x'(t)$
• Формула для ускорения: ускорение является первой производной от скорости по времени, или второй производной от координаты по времени.
  $a(t) = v'(t) = x''(t)$

3) Для нахождения скорости и ускорения точки в заданный момент времени $t_0$, необходимо сначала найти функции скорости $v(t)$ и ускорения $a(t)$ путем дифференцирования функции $x(t)$, а затем подставить в полученные функции значение $t_0$.

а) Дано: $x(t) = t^3 - 2t^2 + 5$, $t_0 = 4$.

1. Находим функцию скорости $v(t)$, взяв первую производную от $x(t)$:

$v(t) = x'(t) = (t^3 - 2t^2 + 5)' = 3t^2 - 4t$.

2. Находим функцию ускорения $a(t)$, взяв производную от $v(t)$:

$a(t) = v'(t) = (3t^2 - 4t)' = 6t - 4$.

3. Подставляем значение $t_0 = 4$ в функции скорости и ускорения:

$v(4) = 3 \cdot 4^2 - 4 \cdot 4 = 3 \cdot 16 - 16 = 48 - 16 = 32$.

$a(4) = 6 \cdot 4 - 4 = 24 - 4 = 20$.

Ответ: скорость $v(4) = 32$, ускорение $a(4) = 20$.

б) Дано: $x(t) = 3 \cos 2t$, $t_0 = \frac{\pi}{3}$.

1. Находим функцию скорости $v(t)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$v(t) = x'(t) = (3 \cos 2t)' = 3 \cdot (-\sin 2t) \cdot (2t)' = -6 \sin 2t$.

2. Находим функцию ускорения $a(t)$:

$a(t) = v'(t) = (-6 \sin 2t)' = -6 \cdot (\cos 2t) \cdot (2t)' = -12 \cos 2t$.

3. Подставляем значение $t_0 = \frac{\pi}{3}$:

$v(\frac{\pi}{3}) = -6 \sin(2 \cdot \frac{\pi}{3}) = -6 \sin(\frac{2\pi}{3}) = -6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -3\sqrt{3}$.

$a(\frac{\pi}{3}) = -12 \cos(2 \cdot \frac{\pi}{3}) = -12 \cos(\frac{2\pi}{3}) = -12 \cdot (-\frac{1}{2}) = 6$.

Ответ: скорость $v(\frac{\pi}{3}) = -3\sqrt{3}$, ускорение $a(\frac{\pi}{3}) = 6$.

в) Дано: $x(t) = 5t - t^2$, $t_0 = 2$.

1. Находим функцию скорости $v(t)$:

$v(t) = x'(t) = (5t - t^2)' = 5 - 2t$.

2. Находим функцию ускорения $a(t)$:

$a(t) = v'(t) = (5 - 2t)' = -2$.

3. Подставляем значение $t_0 = 2$:

$v(2) = 5 - 2 \cdot 2 = 5 - 4 = 1$.

$a(2) = -2$.

Ответ: скорость $v(2) = 1$, ускорение $a(2) = -2$.

г) Дано: $x(t) = 2t^2 + t - 4$, $t_0 = 4$.

1. Находим функцию скорости $v(t)$:

$v(t) = x'(t) = (2t^2 + t - 4)' = 4t + 1$.

2. Находим функцию ускорения $a(t)$:

$a(t) = v'(t) = (4t + 1)' = 4$.

3. Подставляем значение $t_0 = 4$:

$v(4) = 4 \cdot 4 + 1 = 16 + 1 = 17$.

$a(4) = 4$.

Ответ: скорость $v(4) = 17$, ускорение $a(4) = 4$.

8. 1) Запишите формулу Лагранжа.

2) Сформулируйте признак возрастания (признак убывания) функции.

3) Исследуйте на возрастание и убывание функцию:

а) $y = \frac{x}{x^2 + 9}$;

б) $y = 3x - \sin 3x$;

в) $y = x^4 - 4x$;

г) $y = x^2 + \frac{16}{x}$.

1) Запишите формулу Лагранжа.

Теорема Лагранжа о среднем значении гласит: если функция $f(x)$ непрерывна на замкнутом отрезке $[a, b]$ и дифференцируема на открытом интервале $(a, b)$, то найдётся по крайней мере одна точка $c$ на интервале $(a, b)$, для которой выполняется равенство:

$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Геометрический смысл теоремы заключается в том, что на гладкой кривой $y=f(x)$ между точками $A(a, f(a))$ и $B(b, f(b))$ всегда найдется точка $C(c, f(c))$, в которой касательная к графику параллельна хорде $AB$.

Ответ: Если функция $f(x)$ непрерывна на $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$, то существует точка $c \in (a, b)$ такая, что $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.

2) Сформулируйте признак возрастания (признак убывания) функции.

Признаки монотонности функции являются достаточными условиями для определения промежутков возрастания и убывания функции с помощью её производной.

Пусть функция $f(x)$ дифференцируема на некотором интервале $I$.

• Признак возрастания: Если производная $f'(x) > 0$ для всех $x$ из интервала $I$, то функция $f(x)$ строго возрастает на этом интервале.
• Признак убывания: Если производная $f'(x) < 0$ для всех $x$ из интервала $I$, то функция $f(x)$ строго убывает на этом интервале.

Если функция непрерывна в концах интервала, то эти точки можно включать в промежутки монотонности.

Ответ: Если $f'(x) > 0$ на интервале, то функция на нём возрастает. Если $f'(x) < 0$ на интервале, то функция на нём убывает.

3) Исследуйте на возрастание и убывание функцию:

а) $y = \frac{x}{x^2+9}$

1. Область определения. Знаменатель $x^2+9$ никогда не равен нулю, так как $x^2 \ge 0$. Следовательно, область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная. Найдем производную, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \frac{(x)'(x^2+9) - x(x^2+9)'}{(x^2+9)^2} = \frac{1 \cdot (x^2+9) - x \cdot (2x)}{(x^2+9)^2} = \frac{x^2+9 - 2x^2}{(x^2+9)^2} = \frac{9-x^2}{(x^2+9)^2}$.

3. Критические точки. Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. $y' = 0$ при $9-x^2 = 0$, откуда $x^2=9$, то есть $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$. Производная существует на всей области определения.

4. Промежутки монотонности. Критические точки делят числовую ось на три интервала. Определим знак производной на каждом из них. Знак $y'$ совпадает со знаком числителя $9-x^2$.

• На интервале $(-\infty; -3)$ производная $y' < 0$ (например, при $x=-4$, $9-16 < 0$), следовательно, функция убывает.
• На интервале $(-3; 3)$ производная $y' > 0$ (например, при $x=0$, $9-0 > 0$), следовательно, функция возрастает.
• На интервале $(3; +\infty)$ производная $y' < 0$ (например, при $x=4$, $9-16 < 0$), следовательно, функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-3; 3]$ и убывает на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[3; +\infty)$.

б) $y = 3x - \sin 3x$

1. Область определения. Функция определена для всех действительных чисел: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная. Найдем производную функции:

$y' = (3x - \sin 3x)' = 3 - (\cos 3x) \cdot (3x)' = 3 - 3\cos 3x = 3(1 - \cos 3x)$.

3. Анализ знака производной. Область значений функции косинус есть отрезок $[-1; 1]$. Поэтому $ \cos 3x \le 1$. Это означает, что выражение $1 - \cos 3x \ge 0$ для любого $x$. Следовательно, производная $y' = 3(1 - \cos 3x) \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Производная равна нулю только в тех точках, где $\cos 3x = 1$, то есть при $3x = 2\pi k$ или $x = \frac{2\pi k}{3}$ для $k \in \mathbb{Z}$. Во всех остальных точках производная строго положительна. Так как производная неотрицательна и обращается в ноль лишь в отдельных точках, функция является возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция возрастает на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$.

в) $y = x^4 - 4x$

1. Область определения. Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная.

$y' = (x^4 - 4x)' = 4x^3 - 4 = 4(x^3 - 1)$.

3. Критические точки. $y' = 0$ при $4(x^3 - 1) = 0$, откуда $x^3 = 1$, то есть $x = 1$.

4. Промежутки монотонности. Точка $x=1$ делит числовую ось на два интервала.

• На интервале $(-\infty; 1)$ производная $y' < 0$ (например, при $x=0$, $4(0-1) < 0$), следовательно, функция убывает.
• На интервале $(1; +\infty)$ производная $y' > 0$ (например, при $x=2$, $4(8-1) > 0$), следовательно, функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 1]$ и возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.

г) $y = x^2 + \frac{16}{x}$

1. Область определения. Функция определена при всех $x$, кроме тех, где знаменатель равен нулю. То есть $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Производная.

$y' = (x^2 + 16x^{-1})' = 2x - 16x^{-2} = 2x - \frac{16}{x^2}$.

Приведем к общему знаменателю: $y' = \frac{2x^3 - 16}{x^2} = \frac{2(x^3 - 8)}{x^2}$.

3. Критические точки. $y' = 0$ при $2(x^3 - 8) = 0$, откуда $x^3 = 8$, то есть $x = 2$. Производная не существует при $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции.

4. Промежутки монотонности. Точки $x=0$ (точка разрыва) и $x=2$ (критическая точка) делят числовую ось на три интервала. Знак производной определяется знаком выражения $x^3-8$, так как знаменатель $x^2$ положителен при $x \neq 0$.

• На интервале $(-\infty; 0)$ производная $y' < 0$ (например, при $x=-1$, $(-1)^3-8 < 0$), следовательно, функция убывает.
• На интервале $(0; 2)$ производная $y' < 0$ (например, при $x=1$, $1^3-8 < 0$), следовательно, функция убывает.
• На интервале $(2; +\infty)$ производная $y' > 0$ (например, при $x=3$, $3^3-8 > 0$), следовательно, функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; 2]$ и возрастает на промежутке $[2; +\infty)$.

9. 1) Какую точку называют критической точкой функции?

2) Сформулируйте признак максимума (минимума) функции.

3) Исследуйте на максимум и минимум функцию:

а) $y = \frac{x}{2} - x^4$;

б) $y = 2 \sin x + \cos 2x$;

в) $y = x^3 - 3x$;

г) $y = x - \operatorname{tg} x$.

1) Какую точку называют критической точкой функции?

Критическими точками функции называют внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна нулю или не существует.

2) Сформулируйте признак максимума (минимума) функции.

Это достаточное условие экстремума, также известное как правило первой производной. Пусть функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$ и дифференцируема в некоторой её окрестности (кроме, возможно, самой точки $x_0$).
• Если при переходе через критическую точку $x_0$ производная $f'(x)$ меняет знак с «+» на «−», то $x_0$ является точкой максимума.
• Если при переходе через критическую точку $x_0$ производная $f'(x)$ меняет знак с «−» на «+», то $x_0$ является точкой минимума.
• Если при переходе через критическую точку $x_0$ производная $f'(x)$ не меняет свой знак, то в точке $x_0$ экстремума нет.

3) Исследуйте на максимум и минимум функцию:

а) $y = \frac{x}{2} - x^4$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Найдём производную функции: $y' = (\frac{x}{2} - x^4)' = \frac{1}{2} - 4x^3$.
3. Найдём критические точки. Производная существует на всей области определения. Приравняем производную к нулю: $\frac{1}{2} - 4x^3 = 0 \implies 4x^3 = \frac{1}{2} \implies x^3 = \frac{1}{8} \implies x = \frac{1}{2}$.
4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые область определения разбивается критической точкой $x = \frac{1}{2}$.
При $x < \frac{1}{2}$ (например, $x=0$), $y'(0) = \frac{1}{2} > 0$, функция возрастает.
При $x > \frac{1}{2}$ (например, $x=1$), $y'(1) = \frac{1}{2} - 4 = -3.5 < 0$, функция убывает.
5. Поскольку при переходе через точку $x = \frac{1}{2}$ производная меняет знак с «+» на «−», эта точка является точкой максимума.
6. Найдём значение функции в точке максимума: $y_{max} = y(\frac{1}{2}) = \frac{1/2}{2} - (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{4} - \frac{1}{16} = \frac{4-1}{16} = \frac{3}{16}$.

Ответ: точка максимума $x_{max} = \frac{1}{2}$, максимум функции $y_{max} = \frac{3}{16}$. Точек минимума нет.

б) $y = 2 \sin x + \cos 2x$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Функция является периодической с периодом $2\pi$, поэтому исследование проведём на отрезке $[0, 2\pi]$.
2. Найдём производную: $y' = (2 \sin x + \cos 2x)' = 2 \cos x - 2 \sin 2x = 2 \cos x - 4 \sin x \cos x = 2 \cos x(1 - 2 \sin x)$.
3. Найдём критические точки из уравнения $y'=0$: $2 \cos x(1 - 2 \sin x) = 0$.
Это уравнение распадается на два:
$\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. На отрезке $[0, 2\pi]$ это точки $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{3\pi}{2}$.
$1 - 2 \sin x = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2} \implies x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. На отрезке $[0, 2\pi]$ это точки $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$.
Критические точки на отрезке $[0, 2\pi]$: $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$.
4. Исследуем знак производной на интервалах $(0, \frac{\pi}{6})$, $(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})$, $(\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6})$, $(\frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2})$, $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$.
- $y' > 0$ на $(0, \frac{\pi}{6})$. Знак меняется на «−» в $x=\frac{\pi}{6}$ $\implies$ максимум.
- $y' < 0$ на $(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})$. Знак меняется на «+» в $x=\frac{\pi}{2}$ $\implies$ минимум.
- $y' > 0$ на $(\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6})$. Знак меняется на «−» в $x=\frac{5\pi}{6}$ $\implies$ максимум.
- $y' < 0$ на $(\frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2})$. Знак меняется на «+» в $x=\frac{3\pi}{2}$ $\implies$ минимум.
- $y' > 0$ на $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$.
5. Найдём значения функции в точках экстремума:
$y(\frac{\pi}{6}) = 2\sin(\frac{\pi}{6}) + \cos(\frac{\pi}{3}) = 2\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.5$.
$y(\frac{5\pi}{6}) = 2\sin(\frac{5\pi}{6}) + \cos(\frac{5\pi}{3}) = 2\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.5$.
$y(\frac{\pi}{2}) = 2\sin(\frac{\pi}{2}) + \cos(\pi) = 2\cdot 1 - 1 = 1$.
$y(\frac{3\pi}{2}) = 2\sin(\frac{3\pi}{2}) + \cos(3\pi) = 2\cdot(-1) - 1 = -3$.

Ответ: точки максимума $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $y_{max} = 1.5$; точки минимума $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $y_{min} = 1$ и $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, $y_{min} = -3$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) $y = x^3 - 3x$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Найдём производную: $y' = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3 = 3(x^2-1)$.
3. Найдём критические точки. Производная существует везде. Решим уравнение $y'=0$: $3(x^2 - 1) = 0 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = -1, x_2 = 1$.
4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, +\infty)$.
При $x < -1$ (например, $x=-2$), $y'(-2) = 3((-2)^2-1)=9 > 0$, функция возрастает.
При $-1 < x < 1$ (например, $x=0$), $y'(0) = 3(0^2-1)=-3 < 0$, функция убывает.
При $x > 1$ (например, $x=2$), $y'(2) = 3(2^2-1)=9 > 0$, функция возрастает.
5. В точке $x=-1$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума. В точке $x=1$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.
6. Найдём значения экстремумов:
$y_{max} = y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$.
$y_{min} = y(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$.

Ответ: точка максимума $x_{max} = -1$, максимум $y_{max} = 2$; точка минимума $x_{min} = 1$, минимум $y_{min} = -2$.

г) $y = x - \tg x$

1. Область определения функции: $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \}$, так как тангенс не определён в этих точках.
2. Найдём производную: $y' = (x - \tg x)' = 1 - \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x - 1}{\cos^2 x} = -\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = -\tg^2 x$.
3. Найдём критические точки. Производная не существует в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, но они не входят в область определения. Приравняем производную к нулю: $-\tg^2 x = 0 \implies \tg x = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
4. Исследуем знак производной. Выражение $y' = -\tg^2 x$ не может быть положительным. Оно равно нулю в критических точках $x = \pi k$ и отрицательно во всех остальных точках области определения.
5. Так как производная не меняет знак при переходе через критические точки (остаётся отрицательной слева и справа), то экстремумов у функции нет.

Ответ: точек максимума и минимума нет.

10. 1) Опишите схему исследования функции.

2) Исследуйте с помощью производной функцию:

а) $f(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - x^2$;

б) $f(x) = \frac{8}{x} + \frac{x}{2}$;

в) $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x$;

г) $f(x) = \frac{x}{4 - x^2}$.

3) Исследуйте по схеме функцию $f$ и постройте ее график:

а) $f(x) = x^2 - \frac{2}{x}$;

б) $f(x) = x^2 (x - 2)^2$;

в) $f(x) = 2x^2 + 3x - 1$;

г) $f(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 - 3x + 1$.

1)

Схема исследования функции включает в себя следующие шаги:

1. Нахождение области определения функции $D(f)$.
   Определяются все значения $x$, для которых функция имеет смысл.
2. Исследование функции на четность, нечетность и периодичность.
   Проверяется условие четности $f(-x) = f(x)$ и нечетности $f(-x) = -f(x)$. Определяется, является ли функция периодической.
3. Нахождение точек пересечения графика с осями координат.
   - С осью Oy: вычисляется $f(0)$.
   - С осью Ox: решается уравнение $f(x) = 0$.
4. Нахождение промежутков знакопостоянства функции.
   Определяются интервалы, на которых функция положительна ($f(x) > 0$) и на которых отрицательна ($f(x) < 0$).
5. Нахождение асимптот графика функции.
   - Вертикальные асимптоты: ищутся в точках разрыва, где предел функции равен бесконечности.
   - Горизонтальные асимптоты: вычисляется предел $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = A$. Если он конечен, то $y=A$ — горизонтальная асимптота.
   - Наклонные асимптоты: ищутся в виде $y = kx + b$, где $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$ и $b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx)$.
6. Исследование на монотонность и экстремумы.
   - Находится первая производная $f'(x)$.
   - Находятся критические точки, в которых $f'(x) = 0$ или не существует.
   - Определяются знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения.
   - Делается вывод о промежутках возрастания ($f'(x) > 0$) и убывания ($f'(x) < 0$) функции.
   - Определяются точки локального максимума и минимума.
7. Исследование на выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
   - Находится вторая производная $f''(x)$.
   - Находятся точки, в которых $f''(x) = 0$ или не существует.
   - Определяются знаки второй производной на интервалах.
   - Делается вывод о промежутках выпуклости ($f''(x) < 0$) и вогнутости ($f''(x) > 0$) графика.
   - Определяются точки перегиба.
8. Построение графика функции.
   На основе всех полученных данных строится график функции.

Ответ: Приведена полная схема исследования функции.

2)

а) $f(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - x^2$

1. Находим производную функции: $f'(x) = (\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - x^2)' = x^3 + x^2 - 2x$.
2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$x^3 + x^2 - 2x = 0$
$x(x^2 + x - 2) = 0$
$x(x+2)(x-1) = 0$
Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.
3. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$.
- При $x \in (-\infty; -2)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (-2; 0)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (0; 1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (1; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
4. Находим экстремумы:
- В точке $x=-2$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка локального минимума. $f(-2) = \frac{(-2)^4}{4} + \frac{(-2)^3}{3} - (-2)^2 = 4 - \frac{8}{3} - 4 = -\frac{8}{3}$.
- В точке $x=0$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка локального максимума. $f(0) = 0$.
- В точке $x=1$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка локального минимума. $f(1) = \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1 = \frac{3+4-12}{12} = -\frac{5}{12}$.

Ответ: Функция возрастает на интервалах $(-2; 0)$ и $(1; +\infty)$, убывает на интервалах $(-\infty; -2)$ и $(0; 1)$. Точка локального максимума: $(0; 0)$. Точки локального минимума: $(-2; -8/3)$ и $(1; -5/12)$.

б) $f(x) = \frac{8}{x} + \frac{x}{2}$

1. Область определения $x \neq 0$.
2. Находим производную: $f'(x) = (-\frac{8}{x^2} + \frac{1}{2})$.
3. Находим критические точки из $f'(x) = 0$:
$-\frac{8}{x^2} + \frac{1}{2} = 0 \implies \frac{1}{2} = \frac{8}{x^2} \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4$.
4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -4)$, $(-4; 0)$, $(0; 4)$, $(4; +\infty)$.
- При $x \in (-\infty; -4)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (-4; 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (0; 4)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (4; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
5. Находим экстремумы:
- В точке $x=-4$ производная меняет знак с "+" на "-", это точка локального максимума. $f(-4) = \frac{8}{-4} + \frac{-4}{2} = -2 - 2 = -4$.
- В точке $x=4$ производная меняет знак с "-" на "+", это точка локального минимума. $f(4) = \frac{8}{4} + \frac{4}{2} = 2 + 2 = 4$.

Ответ: Функция возрастает на интервалах $(-\infty; -4)$ и $(4; +\infty)$, убывает на интервалах $(-4; 0)$ и $(0; 4)$. Точка локального максимума: $(-4; -4)$. Точка локального минимума: $(4; 4)$.

в) $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x$

1. Находим производную: $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$.
2. Находим критические точки из $f'(x) = 0$:
$3x^2 - 6x - 9 = 0 \implies x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x-3)(x+1) = 0$.
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$.
3. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 3)$, $(3; +\infty)$.
- При $x \in (-\infty; -1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (-1; 3)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (3; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
4. Находим экстремумы:
- В точке $x=-1$ — локальный максимум. $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) = -1 - 3 + 9 = 5$.
- В точке $x=3$ — локальный минимум. $f(3) = 3^3 - 3(3^2) - 9(3) = 27 - 27 - 27 = -27$.

Ответ: Функция возрастает на интервалах $(-\infty; -1)$ и $(3; +\infty)$, убывает на интервале $(-1; 3)$. Точка локального максимума: $(-1; 5)$. Точка локального минимума: $(3; -27)$.

г) $f(x) = \frac{x}{4-x^2}$

1. Область определения $4-x^2 \neq 0 \implies x \neq \pm 2$.
2. Находим производную: $f'(x) = \frac{1 \cdot (4-x^2) - x \cdot (-2x)}{(4-x^2)^2} = \frac{4-x^2+2x^2}{(4-x^2)^2} = \frac{x^2+4}{(4-x^2)^2}$.
3. Уравнение $f'(x) = 0$ не имеет решений, так как числитель $x^2+4$ всегда положителен.
4. Производная $f'(x) = \frac{x^2+4}{(4-x^2)^2}$ положительна во всей области определения функции, так как и числитель, и знаменатель всегда положительны.
5. Следовательно, функция возрастает на каждом интервале своей области определения. Экстремумов нет.

Ответ: Функция возрастает на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$. Локальных экстремумов нет.

3)

а) $f(x) = x^2 - \frac{2}{x}$

1. Область определения: $x \neq 0$, т.е. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Четность/нечетность: $f(-x) = (-x)^2 - \frac{2}{-x} = x^2 + \frac{2}{x}$. Функция общего вида.
3. Пересечения с осями:
- Oy: пересечения нет, так как $x \neq 0$.
- Ox: $x^2 - \frac{2}{x} = 0 \implies x^3 = 2 \implies x = \sqrt[3]{2}$. Точка $(\sqrt[3]{2}; 0)$.
4. Асимптоты:
- Вертикальная: $x=0$. $\lim_{x \to 0^-} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$.
- Горизонтальных и наклонных асимптот нет, так как $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \infty$.
5. Монотонность и экстремумы:
$f'(x) = 2x + \frac{2}{x^2} = \frac{2(x^3+1)}{x^2}$. Критическая точка $x=-1$.
- Убывает на $(-\infty; -1)$.
- Возрастает на $(-1; 0)$ и $(0; +\infty)$.
- Точка минимума: $x=-1$, $f(-1) = (-1)^2 - \frac{2}{-1} = 3$. Точка $(-1; 3)$.
6. Выпуклость и точки перегиба:
$f''(x) = 2 - \frac{4}{x^3} = \frac{2(x^3-2)}{x^3}$. $f''(x)=0$ при $x = \sqrt[3]{2}$.
- Вогнута (выпукла вниз) на $(-\infty; 0)$ и $(\sqrt[3]{2}; +\infty)$.
- Выпукла (выпукла вверх) на $(0; \sqrt[3]{2})$.
- Точка перегиба: $(\sqrt[3]{2}; 0)$.
7. График: На основе этих данных строится график. Он имеет минимум в $(-1, 3)$, вертикальную асимптоту $x=0$, пересекает ось Ox в точке перегиба $(\sqrt[3]{2}, 0)$.

Ответ: Проведено полное исследование функции. Результаты исследования представлены выше.

б) $f(x) = x^2(x-2)^2$

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Четность/нечетность: $f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2$. $f(-x) = x^4 + 4x^3 + 4x^2$. Функция общего вида.
3. Пересечения с осями:
- Oy: $f(0)=0$. Точка $(0; 0)$.
- Ox: $x^2(x-2)^2 = 0 \implies x=0$ или $x=2$. Точки $(0; 0)$ и $(2; 0)$.
4. Асимптоты: Асимптот нет. $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = +\infty$.
5. Монотонность и экстремумы:
$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x = 4x(x-1)(x-2)$. Критические точки $x=0, 1, 2$.
- Убывает на $(-\infty; 0)$ и $(1; 2)$.
- Возрастает на $(0; 1)$ и $(2; +\infty)$.
- Точки минимума: $(0; 0)$ и $(2; 0)$.
- Точка максимума: $x=1$, $f(1)=1^2(1-2)^2=1$. Точка $(1; 1)$.
6. Выпуклость и точки перегиба:
$f''(x) = 12x^2 - 24x + 8 = 4(3x^2 - 6x + 2)$. $f''(x)=0$ при $x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.
- Вогнута на $(-\infty; 1 - \frac{\sqrt{3}}{3})$ и $(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$.
- Выпукла на $(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}; 1 + \frac{\sqrt{3}}{3})$.
- Точки перегиба при $x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$. Значение функции в этих точках $f(1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{9}$.
7. График: График касается оси Ox в точках $(0;0)$ и $(2;0)$ (это точки минимума), имеет локальный максимум в $(1;1)$.

Ответ: Проведено полное исследование функции. Результаты исследования представлены выше.

в) $f(x) = 2x^2 + 3x - 1$

Это парабола с ветвями вверх.
1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Четность/нечетность: Функция общего вида.
3. Пересечения с осями:
- Oy: $(0; -1)$.
- Ox: $2x^2 + 3x - 1 = 0 \implies x = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$. Точки $(\frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}; 0)$.
4. Асимптоты: Нет.
5. Монотонность и экстремумы:
$f'(x) = 4x+3$. Критическая точка $x = -3/4$.
- Убывает на $(-\infty; -3/4)$.
- Возрастает на $(-3/4; +\infty)$.
- Точка минимума (вершина параболы): $x=-3/4, f(-3/4) = -17/8$. Точка $(-3/4; -17/8)$.
6. Выпуклость: $f''(x) = 4 > 0$. Функция всегда вогнута (выпукла вниз). Точек перегиба нет.
7. График: Парабола с ветвями вверх, вершиной в точке $(-3/4; -17/8)$.

Ответ: Проведено полное исследование функции. Результаты исследования представлены выше.

г) $f(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 - 3x + 1$

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Четность/нечетность: Функция общего вида.
3. Пересечения с осями:
- Oy: $(0; 1)$.
- Ox: $\frac{x^3}{3} + x^2 - 3x + 1 = 0$. Найти точные корни сложно.
4. Асимптоты: Нет.
5. Монотонность и экстремумы:
$f'(x) = x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1)$. Критические точки $x=-3, 1$.
- Возрастает на $(-\infty; -3)$ и $(1; +\infty)$.
- Убывает на $(-3; 1)$.
- Точка максимума: $x=-3, f(-3) = 10$. Точка $(-3; 10)$.
- Точка минимума: $x=1, f(1) = -2/3$. Точка $(1; -2/3)$.
6. Выпуклость и точки перегиба:
$f''(x) = 2x+2$. $f''(x)=0$ при $x=-1$.
- Выпукла на $(-\infty; -1)$.
- Вогнута на $(-1; +\infty)$.
- Точка перегиба: $x=-1, f(-1) = 14/3$. Точка $(-1; 14/3)$.
7. График: Кубическая парабола с локальным максимумом в $(-3, 10)$ и минимумом в $(1, -2/3)$.

Ответ: Проведено полное исследование функции. Результаты исследования представлены выше.