Номер 8, страница 172 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы и задачи на повторение. Глава 2. Производная и её применения - номер 8, страница 172.
№8 (с. 172)
Условие. №8 (с. 172)
скриншот условия

8. 1) Запишите формулу Лагранжа.
2) Сформулируйте признак возрастания (признак убывания) функции.
3) Исследуйте на возрастание и убывание функцию:
а) $y = \frac{x}{x^2 + 9}$;
б) $y = 3x - \sin 3x$;
в) $y = x^4 - 4x$;
г) $y = x^2 + \frac{16}{x}$.
Решение 5. №8 (с. 172)
1) Запишите формулу Лагранжа.
Теорема Лагранжа о среднем значении гласит: если функция $f(x)$ непрерывна на замкнутом отрезке $[a, b]$ и дифференцируема на открытом интервале $(a, b)$, то найдётся по крайней мере одна точка $c$ на интервале $(a, b)$, для которой выполняется равенство:
$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$
Геометрический смысл теоремы заключается в том, что на гладкой кривой $y=f(x)$ между точками $A(a, f(a))$ и $B(b, f(b))$ всегда найдется точка $C(c, f(c))$, в которой касательная к графику параллельна хорде $AB$.
Ответ: Если функция $f(x)$ непрерывна на $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$, то существует точка $c \in (a, b)$ такая, что $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
2) Сформулируйте признак возрастания (признак убывания) функции.
Признаки монотонности функции являются достаточными условиями для определения промежутков возрастания и убывания функции с помощью её производной.
Пусть функция $f(x)$ дифференцируема на некотором интервале $I$.
- Признак возрастания: Если производная $f'(x) > 0$ для всех $x$ из интервала $I$, то функция $f(x)$ строго возрастает на этом интервале.
- Признак убывания: Если производная $f'(x) < 0$ для всех $x$ из интервала $I$, то функция $f(x)$ строго убывает на этом интервале.
Если функция непрерывна в концах интервала, то эти точки можно включать в промежутки монотонности.
Ответ: Если $f'(x) > 0$ на интервале, то функция на нём возрастает. Если $f'(x) < 0$ на интервале, то функция на нём убывает.
3) Исследуйте на возрастание и убывание функцию:
а) $y = \frac{x}{x^2+9}$
1. Область определения. Знаменатель $x^2+9$ никогда не равен нулю, так как $x^2 \ge 0$. Следовательно, область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Производная. Найдем производную, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$y' = \frac{(x)'(x^2+9) - x(x^2+9)'}{(x^2+9)^2} = \frac{1 \cdot (x^2+9) - x \cdot (2x)}{(x^2+9)^2} = \frac{x^2+9 - 2x^2}{(x^2+9)^2} = \frac{9-x^2}{(x^2+9)^2}$.
3. Критические точки. Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. $y' = 0$ при $9-x^2 = 0$, откуда $x^2=9$, то есть $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$. Производная существует на всей области определения.
4. Промежутки монотонности. Критические точки делят числовую ось на три интервала. Определим знак производной на каждом из них. Знак $y'$ совпадает со знаком числителя $9-x^2$.
- На интервале $(-\infty; -3)$ производная $y' < 0$ (например, при $x=-4$, $9-16 < 0$), следовательно, функция убывает.
- На интервале $(-3; 3)$ производная $y' > 0$ (например, при $x=0$, $9-0 > 0$), следовательно, функция возрастает.
- На интервале $(3; +\infty)$ производная $y' < 0$ (например, при $x=4$, $9-16 < 0$), следовательно, функция убывает.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[-3; 3]$ и убывает на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[3; +\infty)$.
б) $y = 3x - \sin 3x$
1. Область определения. Функция определена для всех действительных чисел: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Производная. Найдем производную функции:
$y' = (3x - \sin 3x)' = 3 - (\cos 3x) \cdot (3x)' = 3 - 3\cos 3x = 3(1 - \cos 3x)$.
3. Анализ знака производной. Область значений функции косинус есть отрезок $[-1; 1]$. Поэтому $ \cos 3x \le 1$. Это означает, что выражение $1 - \cos 3x \ge 0$ для любого $x$. Следовательно, производная $y' = 3(1 - \cos 3x) \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
Производная равна нулю только в тех точках, где $\cos 3x = 1$, то есть при $3x = 2\pi k$ или $x = \frac{2\pi k}{3}$ для $k \in \mathbb{Z}$. Во всех остальных точках производная строго положительна. Так как производная неотрицательна и обращается в ноль лишь в отдельных точках, функция является возрастающей на всей числовой прямой.
Ответ: функция возрастает на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$.
в) $y = x^4 - 4x$
1. Область определения. Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Производная.
$y' = (x^4 - 4x)' = 4x^3 - 4 = 4(x^3 - 1)$.
3. Критические точки. $y' = 0$ при $4(x^3 - 1) = 0$, откуда $x^3 = 1$, то есть $x = 1$.
4. Промежутки монотонности. Точка $x=1$ делит числовую ось на два интервала.
- На интервале $(-\infty; 1)$ производная $y' < 0$ (например, при $x=0$, $4(0-1) < 0$), следовательно, функция убывает.
- На интервале $(1; +\infty)$ производная $y' > 0$ (например, при $x=2$, $4(8-1) > 0$), следовательно, функция возрастает.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 1]$ и возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.
г) $y = x^2 + \frac{16}{x}$
1. Область определения. Функция определена при всех $x$, кроме тех, где знаменатель равен нулю. То есть $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Производная.
$y' = (x^2 + 16x^{-1})' = 2x - 16x^{-2} = 2x - \frac{16}{x^2}$.
Приведем к общему знаменателю: $y' = \frac{2x^3 - 16}{x^2} = \frac{2(x^3 - 8)}{x^2}$.
3. Критические точки. $y' = 0$ при $2(x^3 - 8) = 0$, откуда $x^3 = 8$, то есть $x = 2$. Производная не существует при $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции.
4. Промежутки монотонности. Точки $x=0$ (точка разрыва) и $x=2$ (критическая точка) делят числовую ось на три интервала. Знак производной определяется знаком выражения $x^3-8$, так как знаменатель $x^2$ положителен при $x \neq 0$.
- На интервале $(-\infty; 0)$ производная $y' < 0$ (например, при $x=-1$, $(-1)^3-8 < 0$), следовательно, функция убывает.
- На интервале $(0; 2)$ производная $y' < 0$ (например, при $x=1$, $1^3-8 < 0$), следовательно, функция убывает.
- На интервале $(2; +\infty)$ производная $y' > 0$ (например, при $x=3$, $3^3-8 > 0$), следовательно, функция возрастает.
Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; 2]$ и возрастает на промежутке $[2; +\infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 8 расположенного на странице 172 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №8 (с. 172), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.