Номер 8, страница 172 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Вопросы и задачи на повторение - номер 8, страница 172.

Условие.

8. 1) Запишите формулу Лагранжа.

2) Сформулируйте признак возрастания (признак убывания) функции.

3) Исследуйте на возрастание и убывание функцию:

а) $y = \frac{x}{x^2 + 9}$;

б) $y = 3x - \sin 3x$;

в) $y = x^4 - 4x$;

г) $y = x^2 + \frac{16}{x}$.

Решение 5.

1) Запишите формулу Лагранжа.

Теорема Лагранжа о среднем значении гласит: если функция $f(x)$ непрерывна на замкнутом отрезке $[a, b]$ и дифференцируема на открытом интервале $(a, b)$, то найдётся по крайней мере одна точка $c$ на интервале $(a, b)$, для которой выполняется равенство:

$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Геометрический смысл теоремы заключается в том, что на гладкой кривой $y=f(x)$ между точками $A(a, f(a))$ и $B(b, f(b))$ всегда найдется точка $C(c, f(c))$, в которой касательная к графику параллельна хорде $AB$.

Ответ: Если функция $f(x)$ непрерывна на $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$, то существует точка $c \in (a, b)$ такая, что $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.

2) Сформулируйте признак возрастания (признак убывания) функции.

Признаки монотонности функции являются достаточными условиями для определения промежутков возрастания и убывания функции с помощью её производной.

Пусть функция $f(x)$ дифференцируема на некотором интервале $I$.

• Признак возрастания: Если производная $f'(x) > 0$ для всех $x$ из интервала $I$, то функция $f(x)$ строго возрастает на этом интервале.
• Признак убывания: Если производная $f'(x) < 0$ для всех $x$ из интервала $I$, то функция $f(x)$ строго убывает на этом интервале.

Если функция непрерывна в концах интервала, то эти точки можно включать в промежутки монотонности.

Ответ: Если $f'(x) > 0$ на интервале, то функция на нём возрастает. Если $f'(x) < 0$ на интервале, то функция на нём убывает.

3) Исследуйте на возрастание и убывание функцию:

а) $y = \frac{x}{x^2+9}$

1. Область определения. Знаменатель $x^2+9$ никогда не равен нулю, так как $x^2 \ge 0$. Следовательно, область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная. Найдем производную, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \frac{(x)'(x^2+9) - x(x^2+9)'}{(x^2+9)^2} = \frac{1 \cdot (x^2+9) - x \cdot (2x)}{(x^2+9)^2} = \frac{x^2+9 - 2x^2}{(x^2+9)^2} = \frac{9-x^2}{(x^2+9)^2}$.

3. Критические точки. Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. $y' = 0$ при $9-x^2 = 0$, откуда $x^2=9$, то есть $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$. Производная существует на всей области определения.

4. Промежутки монотонности. Критические точки делят числовую ось на три интервала. Определим знак производной на каждом из них. Знак $y'$ совпадает со знаком числителя $9-x^2$.

• На интервале $(-\infty; -3)$ производная $y' < 0$ (например, при $x=-4$, $9-16 < 0$), следовательно, функция убывает.
• На интервале $(-3; 3)$ производная $y' > 0$ (например, при $x=0$, $9-0 > 0$), следовательно, функция возрастает.
• На интервале $(3; +\infty)$ производная $y' < 0$ (например, при $x=4$, $9-16 < 0$), следовательно, функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-3; 3]$ и убывает на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[3; +\infty)$.

б) $y = 3x - \sin 3x$

1. Область определения. Функция определена для всех действительных чисел: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная. Найдем производную функции:

$y' = (3x - \sin 3x)' = 3 - (\cos 3x) \cdot (3x)' = 3 - 3\cos 3x = 3(1 - \cos 3x)$.

3. Анализ знака производной. Область значений функции косинус есть отрезок $[-1; 1]$. Поэтому $ \cos 3x \le 1$. Это означает, что выражение $1 - \cos 3x \ge 0$ для любого $x$. Следовательно, производная $y' = 3(1 - \cos 3x) \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Производная равна нулю только в тех точках, где $\cos 3x = 1$, то есть при $3x = 2\pi k$ или $x = \frac{2\pi k}{3}$ для $k \in \mathbb{Z}$. Во всех остальных точках производная строго положительна. Так как производная неотрицательна и обращается в ноль лишь в отдельных точках, функция является возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция возрастает на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$.

в) $y = x^4 - 4x$

1. Область определения. Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная.

$y' = (x^4 - 4x)' = 4x^3 - 4 = 4(x^3 - 1)$.

3. Критические точки. $y' = 0$ при $4(x^3 - 1) = 0$, откуда $x^3 = 1$, то есть $x = 1$.

4. Промежутки монотонности. Точка $x=1$ делит числовую ось на два интервала.

• На интервале $(-\infty; 1)$ производная $y' < 0$ (например, при $x=0$, $4(0-1) < 0$), следовательно, функция убывает.
• На интервале $(1; +\infty)$ производная $y' > 0$ (например, при $x=2$, $4(8-1) > 0$), следовательно, функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 1]$ и возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.

г) $y = x^2 + \frac{16}{x}$

1. Область определения. Функция определена при всех $x$, кроме тех, где знаменатель равен нулю. То есть $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Производная.

$y' = (x^2 + 16x^{-1})' = 2x - 16x^{-2} = 2x - \frac{16}{x^2}$.

Приведем к общему знаменателю: $y' = \frac{2x^3 - 16}{x^2} = \frac{2(x^3 - 8)}{x^2}$.

3. Критические точки. $y' = 0$ при $2(x^3 - 8) = 0$, откуда $x^3 = 8$, то есть $x = 2$. Производная не существует при $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции.

4. Промежутки монотонности. Точки $x=0$ (точка разрыва) и $x=2$ (критическая точка) делят числовую ось на три интервала. Знак производной определяется знаком выражения $x^3-8$, так как знаменатель $x^2$ положителен при $x \neq 0$.

• На интервале $(-\infty; 0)$ производная $y' < 0$ (например, при $x=-1$, $(-1)^3-8 < 0$), следовательно, функция убывает.
• На интервале $(0; 2)$ производная $y' < 0$ (например, при $x=1$, $1^3-8 < 0$), следовательно, функция убывает.
• На интервале $(2; +\infty)$ производная $y' > 0$ (например, при $x=3$, $3^3-8 > 0$), следовательно, функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; 2]$ и возрастает на промежутке $[2; +\infty)$.