Номер 8, страница 172 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2008 - 2025

Цвет обложки: зелёный, чёрный

ISBN: 978-5-09-019513-3

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Вопросы и задачи на повторение. Глава 2. Производная и её применения - номер 8, страница 172.

№8 (с. 172)
Условие. №8 (с. 172)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 172, номер 8, Условие

8. 1) Запишите формулу Лагранжа.

2) Сформулируйте признак возрастания (признак убывания) функции.

3) Исследуйте на возрастание и убывание функцию:

а) $y = \frac{x}{x^2 + 9}$;

б) $y = 3x - \sin 3x$;

в) $y = x^4 - 4x$;

г) $y = x^2 + \frac{16}{x}$.

Решение 5. №8 (с. 172)

1) Запишите формулу Лагранжа.

Теорема Лагранжа о среднем значении гласит: если функция $f(x)$ непрерывна на замкнутом отрезке $[a, b]$ и дифференцируема на открытом интервале $(a, b)$, то найдётся по крайней мере одна точка $c$ на интервале $(a, b)$, для которой выполняется равенство:

$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Геометрический смысл теоремы заключается в том, что на гладкой кривой $y=f(x)$ между точками $A(a, f(a))$ и $B(b, f(b))$ всегда найдется точка $C(c, f(c))$, в которой касательная к графику параллельна хорде $AB$.

Ответ: Если функция $f(x)$ непрерывна на $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$, то существует точка $c \in (a, b)$ такая, что $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.

2) Сформулируйте признак возрастания (признак убывания) функции.

Признаки монотонности функции являются достаточными условиями для определения промежутков возрастания и убывания функции с помощью её производной.

Пусть функция $f(x)$ дифференцируема на некотором интервале $I$.

  • Признак возрастания: Если производная $f'(x) > 0$ для всех $x$ из интервала $I$, то функция $f(x)$ строго возрастает на этом интервале.
  • Признак убывания: Если производная $f'(x) < 0$ для всех $x$ из интервала $I$, то функция $f(x)$ строго убывает на этом интервале.

Если функция непрерывна в концах интервала, то эти точки можно включать в промежутки монотонности.

Ответ: Если $f'(x) > 0$ на интервале, то функция на нём возрастает. Если $f'(x) < 0$ на интервале, то функция на нём убывает.

3) Исследуйте на возрастание и убывание функцию:

а) $y = \frac{x}{x^2+9}$

1. Область определения. Знаменатель $x^2+9$ никогда не равен нулю, так как $x^2 \ge 0$. Следовательно, область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная. Найдем производную, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \frac{(x)'(x^2+9) - x(x^2+9)'}{(x^2+9)^2} = \frac{1 \cdot (x^2+9) - x \cdot (2x)}{(x^2+9)^2} = \frac{x^2+9 - 2x^2}{(x^2+9)^2} = \frac{9-x^2}{(x^2+9)^2}$.

3. Критические точки. Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. $y' = 0$ при $9-x^2 = 0$, откуда $x^2=9$, то есть $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$. Производная существует на всей области определения.

4. Промежутки монотонности. Критические точки делят числовую ось на три интервала. Определим знак производной на каждом из них. Знак $y'$ совпадает со знаком числителя $9-x^2$.

  • На интервале $(-\infty; -3)$ производная $y' < 0$ (например, при $x=-4$, $9-16 < 0$), следовательно, функция убывает.
  • На интервале $(-3; 3)$ производная $y' > 0$ (например, при $x=0$, $9-0 > 0$), следовательно, функция возрастает.
  • На интервале $(3; +\infty)$ производная $y' < 0$ (например, при $x=4$, $9-16 < 0$), следовательно, функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-3; 3]$ и убывает на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[3; +\infty)$.

б) $y = 3x - \sin 3x$

1. Область определения. Функция определена для всех действительных чисел: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная. Найдем производную функции:

$y' = (3x - \sin 3x)' = 3 - (\cos 3x) \cdot (3x)' = 3 - 3\cos 3x = 3(1 - \cos 3x)$.

3. Анализ знака производной. Область значений функции косинус есть отрезок $[-1; 1]$. Поэтому $ \cos 3x \le 1$. Это означает, что выражение $1 - \cos 3x \ge 0$ для любого $x$. Следовательно, производная $y' = 3(1 - \cos 3x) \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Производная равна нулю только в тех точках, где $\cos 3x = 1$, то есть при $3x = 2\pi k$ или $x = \frac{2\pi k}{3}$ для $k \in \mathbb{Z}$. Во всех остальных точках производная строго положительна. Так как производная неотрицательна и обращается в ноль лишь в отдельных точках, функция является возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция возрастает на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$.

в) $y = x^4 - 4x$

1. Область определения. Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная.

$y' = (x^4 - 4x)' = 4x^3 - 4 = 4(x^3 - 1)$.

3. Критические точки. $y' = 0$ при $4(x^3 - 1) = 0$, откуда $x^3 = 1$, то есть $x = 1$.

4. Промежутки монотонности. Точка $x=1$ делит числовую ось на два интервала.

  • На интервале $(-\infty; 1)$ производная $y' < 0$ (например, при $x=0$, $4(0-1) < 0$), следовательно, функция убывает.
  • На интервале $(1; +\infty)$ производная $y' > 0$ (например, при $x=2$, $4(8-1) > 0$), следовательно, функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 1]$ и возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.

г) $y = x^2 + \frac{16}{x}$

1. Область определения. Функция определена при всех $x$, кроме тех, где знаменатель равен нулю. То есть $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Производная.

$y' = (x^2 + 16x^{-1})' = 2x - 16x^{-2} = 2x - \frac{16}{x^2}$.

Приведем к общему знаменателю: $y' = \frac{2x^3 - 16}{x^2} = \frac{2(x^3 - 8)}{x^2}$.

3. Критические точки. $y' = 0$ при $2(x^3 - 8) = 0$, откуда $x^3 = 8$, то есть $x = 2$. Производная не существует при $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции.

4. Промежутки монотонности. Точки $x=0$ (точка разрыва) и $x=2$ (критическая точка) делят числовую ось на три интервала. Знак производной определяется знаком выражения $x^3-8$, так как знаменатель $x^2$ положителен при $x \neq 0$.

  • На интервале $(-\infty; 0)$ производная $y' < 0$ (например, при $x=-1$, $(-1)^3-8 < 0$), следовательно, функция убывает.
  • На интервале $(0; 2)$ производная $y' < 0$ (например, при $x=1$, $1^3-8 < 0$), следовательно, функция убывает.
  • На интервале $(2; +\infty)$ производная $y' > 0$ (например, при $x=3$, $3^3-8 > 0$), следовательно, функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; 2]$ и возрастает на промежутке $[2; +\infty)$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 8 расположенного на странице 172 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №8 (с. 172), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.