Номер 2, страница 170 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Вопросы и задачи на повторение. Глава 2. Производная и её применения - номер 2, страница 170.

Условие.

2. 1) Сформулируйте определение производной функции в точке.

2) Пользуясь определением, найдите производную функции $f$ в точке $x_0$:

a) $f(x) = x^2 + 1, x_0 = -2;$

б) $f(x) = \frac{2}{x}, x_0 = 3;$

в) $f(x) = 2x - 1, x_0 = -4;$

г) $f(x) = x^3, x_0 = 2.$

Решение 5.

1)

Производной функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ называется предел отношения приращения функции $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ к приращению аргумента $\Delta x$, когда приращение аргумента стремится к нулю (если этот предел существует и конечен).

Производная обозначается как $f'(x_0)$ и вычисляется по формуле:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

2)

а) Дана функция $f(x) = x^2 + 1$ и точка $x_0 = -2$.

Для нахождения производной по определению, сначала найдем приращение функции $\Delta f$.

1. Значение функции в точке $x_0$: $f(x_0) = f(-2) = (-2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5$.

2. Значение функции в точке $x_0 + \Delta x$: $f(-2 + \Delta x) = (-2 + \Delta x)^2 + 1 = 4 - 4\Delta x + (\Delta x)^2 + 1 = 5 - 4\Delta x + (\Delta x)^2$.

3. Приращение функции: $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = (5 - 4\Delta x + (\Delta x)^2) - 5 = -4\Delta x + (\Delta x)^2$.

Теперь найдем предел отношения приращения функции к приращению аргумента:

$f'(-2) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-4\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x}$

Вынесем $\Delta x$ за скобки в числителе и сократим дробь:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x(-4 + \Delta x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (-4 + \Delta x) = -4 + 0 = -4$.

Ответ: -4

б) Дана функция $f(x) = \frac{2}{x}$ и точка $x_0 = 3$.

1. Значение функции в точке $x_0$: $f(x_0) = f(3) = \frac{2}{3}$.

2. Значение функции в точке $x_0 + \Delta x$: $f(3 + \Delta x) = \frac{2}{3 + \Delta x}$.

3. Приращение функции: $\Delta f = f(3 + \Delta x) - f(3) = \frac{2}{3 + \Delta x} - \frac{2}{3}$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\Delta f = \frac{2 \cdot 3 - 2 \cdot (3 + \Delta x)}{3(3 + \Delta x)} = \frac{6 - 6 - 2\Delta x}{3(3 + \Delta x)} = \frac{-2\Delta x}{3(3 + \Delta x)}$.

Теперь найдем предел отношения $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$f'(3) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{-2\Delta x}{3(3 + \Delta x)}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-2}{3(3 + \Delta x)}$.

Подставим $\Delta x = 0$ в выражение под пределом:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{-2}{3(3 + \Delta x)} = \frac{-2}{3(3 + 0)} = -\frac{2}{9}$.

Ответ: $-\frac{2}{9}$

в) Дана функция $f(x) = 2x - 1$ и точка $x_0 = -4$.

1. Значение функции в точке $x_0$: $f(x_0) = f(-4) = 2(-4) - 1 = -8 - 1 = -9$.

2. Значение функции в точке $x_0 + \Delta x$: $f(-4 + \Delta x) = 2(-4 + \Delta x) - 1 = -8 + 2\Delta x - 1 = -9 + 2\Delta x$.

3. Приращение функции: $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = (-9 + 2\Delta x) - (-9) = 2\Delta x$.

Найдем предел отношения:

$f'(-4) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2\Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} 2 = 2$.

Ответ: 2

г) Дана функция $f(x) = x^3$ и точка $x_0 = 2$.

1. Значение функции в точке $x_0$: $f(x_0) = f(2) = 2^3 = 8$.

2. Значение функции в точке $x_0 + \Delta x$: $f(2 + \Delta x) = (2 + \Delta x)^3$.

Используем формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$f(2 + \Delta x) = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot \Delta x + 3 \cdot 2 \cdot (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 = 8 + 12\Delta x + 6(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3$.

3. Приращение функции: $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = (8 + 12\Delta x + 6(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) - 8 = 12\Delta x + 6(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3$.

Найдем предел отношения:

$f'(2) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{12\Delta x + 6(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3}{\Delta x}$.

Вынесем $\Delta x$ за скобки в числителе и сократим дробь:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x(12 + 6\Delta x + (\Delta x)^2)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (12 + 6\Delta x + (\Delta x)^2) = 12 + 6 \cdot 0 + 0^2 = 12$.

Ответ: 12