Номер 342, страница 183 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 7. Первообразная - номер 342, страница 183.

Условие.

Найдите общий вид первообразных для функции $f$ (342–344).

342. а) $f(x) = 2 - x^3 + \frac{1}{x^3}$;

б) $f(x) = x - \frac{2}{x^5} + \cos x$;

в) $f(x) = \frac{1}{x^2} - \sin x$;

г) $f(x) = 5x^2 - 1$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Общий вид первообразных для функции $f(x)$ находится путем вычисления неопределенного интеграла $\int f(x)dx$. Данная функция: $f(x) = 2 - x^3 + \frac{1}{x^3}$.
Представим функцию в виде, удобном для интегрирования: $f(x) = 2 - x^3 + x^{-3}$.
Найдем первообразную $F(x)$, используя правила интегрирования (интеграл суммы равен сумме интегралов):
$F(x) = \int (2 - x^3 + x^{-3})dx = \int 2dx - \int x^3dx + \int x^{-3}dx$.
Используем формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ и константы $\int k dx = kx + C$:
$\int 2dx = 2x$
$\int x^3dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4}$
$\int x^{-3}dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2}$
Суммируя полученные результаты и добавляя произвольную постоянную $C$, получаем общий вид первообразных:
$F(x) = 2x - \frac{x^4}{4} - \frac{1}{2x^2} + C$.
Ответ: $F(x) = 2x - \frac{x^4}{4} - \frac{1}{2x^2} + C$.

б) Дана функция $f(x) = x - \frac{2}{x^5} + \cos x$.
Представим функцию в виде: $f(x) = x - 2x^{-5} + \cos x$.
Найдем общий вид первообразных $F(x)$:
$F(x) = \int (x - 2x^{-5} + \cos x)dx = \int x dx - \int 2x^{-5}dx + \int \cos x dx$.
Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:
$\int x dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2}$
$\int 2x^{-5}dx = 2 \cdot \int x^{-5}dx = 2 \cdot \frac{x^{-5+1}}{-5+1} = 2 \cdot \frac{x^{-4}}{-4} = -\frac{x^{-4}}{2} = -\frac{1}{2x^4}$
$\int \cos x dx = \sin x$
Складываем результаты и добавляем константу $C$:
$F(x) = \frac{x^2}{2} - (-\frac{1}{2x^4}) + \sin x + C = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^4} + \sin x + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^4} + \sin x + C$.

в) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^2} - \sin x$.
Представим функцию в виде: $f(x) = x^{-2} - \sin x$.
Найдем общий вид первообразных $F(x)$:
$F(x) = \int (x^{-2} - \sin x)dx = \int x^{-2}dx - \int \sin x dx$.
Интегрируем каждое слагаемое:
$\int x^{-2}dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$
$\int \sin x dx = -\cos x$
Складываем результаты и добавляем константу $C$:
$F(x) = -\frac{1}{x} - (-\cos x) + C = -\frac{1}{x} + \cos x + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x} + \cos x + C$.

г) Дана функция $f(x) = 5x^2 - 1$.
Найдем общий вид первообразных $F(x)$:
$F(x) = \int (5x^2 - 1)dx = \int 5x^2dx - \int 1dx$.
Интегрируем каждое слагаемое:
$\int 5x^2dx = 5 \cdot \int x^2dx = 5 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 5 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{5x^3}{3}$
$\int 1dx = x$
Складываем результаты и добавляем константу $C$:
$F(x) = \frac{5x^3}{3} - x + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{5x^3}{3} - x + C$.