Номер 347, страница 184 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 7. Первообразная - номер 347, страница 184.

Условие.

347. – Задайте первообразную $F$ для функции $f$ формулой, если известны координаты точки $M$ графика $F$:

a) $f(x) = 2x + 1$, $M (0; 0);$

б) $f(x) = 3x^2 - 2x$, $M (1; 4);$

в) $f(x) = x + 2$, $M (1; 3);$

г) $f(x) = -x^2 + 3x$, $M (2; -1).$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы задать первообразную $F$ для функции $f$ формулой, зная координаты точки $M$ на ее графике, нужно выполнить два шага:

1. Найти общий вид первообразной для функции $f(x)$, вычислив неопределенный интеграл $F(x) = \int f(x)dx + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
2. Используя координаты точки $M(x_0; y_0)$, подставить их в уравнение $y_0 = F(x_0)$ и найти значение постоянной $C$.

а) $f(x) = 2x + 1, M(0; 0)$

1. Находим общий вид первообразной:

$F(x) = \int (2x + 1)dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C = x^2 + x + C$.

2. Подставляем координаты точки $M(0; 0)$ в уравнение $F(x) = x^2 + x + C$, чтобы найти $C$:

$F(0) = 0^2 + 0 + C = 0$

$C = 0$

3. Записываем итоговую формулу для первообразной:

$F(x) = x^2 + x$.

Ответ: $F(x) = x^2 + x$.

б) $f(x) = 3x^2 - 2x, M(1; 4)$

1. Находим общий вид первообразной:

$F(x) = \int (3x^2 - 2x)dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^3 - x^2 + C$.

2. Подставляем координаты точки $M(1; 4)$ в уравнение $F(x) = x^3 - x^2 + C$:

$F(1) = 1^3 - 1^2 + C = 4$

$1 - 1 + C = 4$

$C = 4$

3. Записываем итоговую формулу для первообразной:

$F(x) = x^3 - x^2 + 4$.

Ответ: $F(x) = x^3 - x^2 + 4$.

в) $f(x) = x + 2, M(1; 3)$

1. Находим общий вид первообразной:

$F(x) = \int (x + 2)dx = \frac{x^2}{2} + 2x + C$.

2. Подставляем координаты точки $M(1; 3)$ в уравнение $F(x) = \frac{x^2}{2} + 2x + C$:

$F(1) = \frac{1^2}{2} + 2(1) + C = 3$

$\frac{1}{2} + 2 + C = 3$

$2.5 + C = 3$

$C = 3 - 2.5 = 0.5$

3. Записываем итоговую формулу для первообразной:

$F(x) = \frac{x^2}{2} + 2x + 0.5$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + 2x + 0.5$.

г) $f(x) = -x^2 + 3x, M(2; -1)$

1. Находим общий вид первообразной:

$F(x) = \int (-x^2 + 3x)dx = -\frac{x^3}{3} + 3 \cdot \frac{x^2}{2} + C$.

2. Подставляем координаты точки $M(2; -1)$ в уравнение $F(x) = -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + C$:

$F(2) = -\frac{2^3}{3} + \frac{3 \cdot 2^2}{2} + C = -1$

$-\frac{8}{3} + \frac{12}{2} + C = -1$

$-\frac{8}{3} + 6 + C = -1$

Приведем к общему знаменателю:

$-\frac{8}{3} + \frac{18}{3} + C = -1$

$\frac{10}{3} + C = -1$

$C = -1 - \frac{10}{3} = -\frac{3}{3} - \frac{10}{3} = -\frac{13}{3}$

3. Записываем итоговую формулу для первообразной:

$F(x) = -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - \frac{13}{3}$.

Ответ: $F(x) = -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - \frac{13}{3}$.