Номер 351, страница 184 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 7. Первообразная - номер 351, страница 184.

Условие.

351. Материальная точка массой $m$ движется по оси $Ox$ под действием силы, направленной вдоль этой оси. В момент времени $t$ сила равна $F(t)$. Найдите формулу зависимости $x(t)$ от времени $t$, если известно, что при $t = t_0$ скорость точки равна $v_0$, а координата равна $x_0$ ($F(t)$ измеряется в ньютонах, $t$ — в секундах, $v$ — в метрах в секунду, $m$ — в килограммах):

а) $F(t) = 6 - 9t$, $t_0 = 1$, $v_0 = 4$, $x_0 = -5$, $m = 3$;

б) $F(t) = 14 \sin t$, $t_0 = \pi$, $v_0 = 2$, $x_0 = 3$, $m = 7$;

в) $F(t) = 25 \cos t$, $t_0 = \frac{\pi}{2}$, $v_0 = 2$, $x_0 = 4$, $m = 5$;

г) $F(t) = 8t + 8$, $t_0 = 2$, $v_0 = 9$, $x_0 = 7$, $m = 4$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для нахождения зависимости координаты $x(t)$ от времени $t$ используется второй закон Ньютона, который связывает силу $F(t)$, массу $m$ и ускорение $a(t)$ материальной точки: $F(t) = m \cdot a(t)$.

Ускорение является второй производной от координаты по времени ($a(t) = x''(t)$) или первой производной от скорости по времени ($a(t) = v'(t)$). Таким образом, зная силу, мы можем найти ускорение: $a(t) = \frac{F(t)}{m}$.

Чтобы найти скорость $v(t)$, нужно проинтегрировать ускорение по времени: $v(t) = \int a(t) dt$.

Чтобы найти координату $x(t)$, нужно проинтегрировать скорость по времени: $x(t) = \int v(t) dt$.

При каждом интегрировании появляется произвольная постоянная ($C_1$, $C_2$), которую мы находим, используя начальные условия: в момент времени $t = t_0$ скорость равна $v_0$, а координата равна $x_0$.

а)

Дано: $F(t) = 6 - 9t$, $m = 3$, $t_0 = 1$, $v_0 = 4$, $x_0 = -5$.

1. Находим ускорение:
$a(t) = \frac{F(t)}{m} = \frac{6 - 9t}{3} = 2 - 3t$.

2. Находим скорость, интегрируя ускорение:
$v(t) = \int a(t) dt = \int (2 - 3t) dt = 2t - \frac{3}{2}t^2 + C_1$.
Используем начальное условие $v(1) = 4$ для нахождения $C_1$:
$v(1) = 2(1) - \frac{3}{2}(1)^2 + C_1 = 2 - \frac{3}{2} + C_1 = \frac{1}{2} + C_1 = 4$.
Отсюда $C_1 = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.
Следовательно, $v(t) = -\frac{3}{2}t^2 + 2t + \frac{7}{2}$.

3. Находим координату, интегрируя скорость:
$x(t) = \int v(t) dt = \int (-\frac{3}{2}t^2 + 2t + \frac{7}{2}) dt = -\frac{3}{2}\frac{t^3}{3} + 2\frac{t^2}{2} + \frac{7}{2}t + C_2 = -\frac{1}{2}t^3 + t^2 + \frac{7}{2}t + C_2$.
Используем начальное условие $x(1) = -5$ для нахождения $C_2$:
$x(1) = -\frac{1}{2}(1)^3 + 1^2 + \frac{7}{2}(1) + C_2 = -\frac{1}{2} + 1 + \frac{7}{2} + C_2 = \frac{6}{2} + 1 + C_2 = 4 + C_2 = -5$.
Отсюда $C_2 = -5 - 4 = -9$.
Итак, искомая формула зависимости: $x(t) = -\frac{1}{2}t^3 + t^2 + \frac{7}{2}t - 9$.

Ответ: $x(t) = -\frac{1}{2}t^3 + t^2 + \frac{7}{2}t - 9$.

б)

Дано: $F(t) = 14 \sin t$, $m = 7$, $t_0 = \pi$, $v_0 = 2$, $x_0 = 3$.

1. Находим ускорение:
$a(t) = \frac{F(t)}{m} = \frac{14 \sin t}{7} = 2 \sin t$.

2. Находим скорость, интегрируя ускорение:
$v(t) = \int (2 \sin t) dt = -2 \cos t + C_1$.
Используем начальное условие $v(\pi) = 2$:
$v(\pi) = -2 \cos(\pi) + C_1 = -2(-1) + C_1 = 2 + C_1 = 2$.
Отсюда $C_1 = 0$.
Следовательно, $v(t) = -2 \cos t$.

3. Находим координату, интегрируя скорость:
$x(t) = \int (-2 \cos t) dt = -2 \sin t + C_2$.
Используем начальное условие $x(\pi) = 3$:
$x(\pi) = -2 \sin(\pi) + C_2 = -2(0) + C_2 = C_2 = 3$.
Итак, искомая формула зависимости: $x(t) = -2 \sin t + 3$.

Ответ: $x(t) = -2 \sin t + 3$.

в)

Дано: $F(t) = 25 \cos t$, $m = 5$, $t_0 = \frac{\pi}{2}$, $v_0 = 2$, $x_0 = 4$.

1. Находим ускорение:
$a(t) = \frac{F(t)}{m} = \frac{25 \cos t}{5} = 5 \cos t$.

2. Находим скорость, интегрируя ускорение:
$v(t) = \int (5 \cos t) dt = 5 \sin t + C_1$.
Используем начальное условие $v(\frac{\pi}{2}) = 2$:
$v(\frac{\pi}{2}) = 5 \sin(\frac{\pi}{2}) + C_1 = 5(1) + C_1 = 5 + C_1 = 2$.
Отсюда $C_1 = 2 - 5 = -3$.
Следовательно, $v(t) = 5 \sin t - 3$.

3. Находим координату, интегрируя скорость:
$x(t) = \int (5 \sin t - 3) dt = -5 \cos t - 3t + C_2$.
Используем начальное условие $x(\frac{\pi}{2}) = 4$:
$x(\frac{\pi}{2}) = -5 \cos(\frac{\pi}{2}) - 3(\frac{\pi}{2}) + C_2 = -5(0) - \frac{3\pi}{2} + C_2 = 4$.
Отсюда $C_2 = 4 + \frac{3\pi}{2}$.
Итак, искомая формула зависимости: $x(t) = -5 \cos t - 3t + 4 + \frac{3\pi}{2}$.

Ответ: $x(t) = -5 \cos t - 3t + 4 + \frac{3\pi}{2}$.

г)

Дано: $F(t) = 8t + 8$, $m = 4$, $t_0 = 2$, $v_0 = 9$, $x_0 = 7$.

1. Находим ускорение:
$a(t) = \frac{F(t)}{m} = \frac{8t + 8}{4} = 2t + 2$.

2. Находим скорость, интегрируя ускорение:
$v(t) = \int (2t + 2) dt = t^2 + 2t + C_1$.
Используем начальное условие $v(2) = 9$:
$v(2) = 2^2 + 2(2) + C_1 = 4 + 4 + C_1 = 8 + C_1 = 9$.
Отсюда $C_1 = 1$.
Следовательно, $v(t) = t^2 + 2t + 1$.

3. Находим координату, интегрируя скорость:
$x(t) = \int (t^2 + 2t + 1) dt = \frac{t^3}{3} + t^2 + t + C_2$.
Используем начальное условие $x(2) = 7$:
$x(2) = \frac{2^3}{3} + 2^2 + 2 + C_2 = \frac{8}{3} + 4 + 2 + C_2 = \frac{8}{3} + 6 + C_2 = 7$.
Отсюда $C_2 = 7 - 6 - \frac{8}{3} = 1 - \frac{8}{3} = -\frac{5}{3}$.
Итак, искомая формула зависимости: $x(t) = \frac{1}{3}t^3 + t^2 + t - \frac{5}{3}$.

Ответ: $x(t) = \frac{1}{3}t^3 + t^2 + t - \frac{5}{3}$.