Страница 198 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

370.— Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

а) $y = x^2 + 1$, $x = 0$, $x = 1$, $y = 0;$

б) $y = \sqrt{x}$, $x = 1$, $x = 4$, $y = 0;$

в) $y = \sqrt{x}$, $x = 1$, $y = 0;$

г) $y = 1 - x^2$, $y = 0.$

Объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной неотрицательной функции $y = f(x)$ на отрезке $[a, b]$, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

а)

Криволинейная трапеция ограничена линиями $y = x^2 + 1$, $x = 0$, $x = 1$ и $y = 0$.

В данном случае $f(x) = x^2 + 1$, а пределы интегрирования $a = 0$ и $b = 1$.

Подставляем эти значения в формулу объема:

$V = \pi \int_{0}^{1} (x^2 + 1)^2 dx$

Раскроем скобки в подынтегральном выражении, используя формулу квадрата суммы:

$(x^2 + 1)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = x^4 + 2x^2 + 1$

Теперь вычислим определенный интеграл:

$V = \pi \int_{0}^{1} (x^4 + 2x^2 + 1) dx = \pi \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + x \right]_{0}^{1}$

Подставляем пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница:

$V = \pi \left( \left( \frac{1^5}{5} + \frac{2 \cdot 1^3}{3} + 1 \right) - \left( \frac{0^5}{5} + \frac{2 \cdot 0^3}{3} + 0 \right) \right) = \pi \left( \frac{1}{5} + \frac{2}{3} + 1 \right)$

Приводим дроби к общему знаменателю 15:

$V = \pi \left( \frac{3}{15} + \frac{10}{15} + \frac{15}{15} \right) = \pi \left( \frac{3+10+15}{15} \right) = \frac{28\pi}{15}$

Ответ: $\frac{28\pi}{15}$

б)

Криволинейная трапеция ограничена линиями $y = \sqrt{x}$, $x = 1$, $x = 4$ и $y = 0$.

Здесь $f(x) = \sqrt{x}$, пределы интегрирования $a = 1$ и $b = 4$.

Подставляем в формулу объема:

$V = \pi \int_{1}^{4} (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_{1}^{4} x dx$

Вычисляем интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{4} = \pi \left( \frac{4^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right)$

$V = \pi \left( \frac{16}{2} - \frac{1}{2} \right) = \pi \left( \frac{15}{2} \right) = 7.5\pi$

Ответ: $\frac{15\pi}{2}$

в)

Криволинейная трапеция ограничена линиями $y = \sqrt{x}$, $x = 1$ и $y = 0$. Чтобы область была замкнутой, необходимо найти вторую границу интегрирования. Она определяется точкой пересечения графика функции $y = \sqrt{x}$ с осью абсцисс $y=0$.

$\sqrt{x} = 0 \implies x = 0$.

Таким образом, интегрирование производится по отрезку $[0, 1]$, то есть $a = 0$ и $b = 1$.

Вычисляем объем тела вращения:

$V = \pi \int_{0}^{1} (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_{0}^{1} x dx$

Вычисляем интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = \pi \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{2}$

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

г)

Фигура ограничена линиями $y = 1 - x^2$ и $y = 0$. Пределы интегрирования $a$ и $b$ в данном случае — это точки пересечения параболы $y = 1 - x^2$ с осью абсцисс ($y=0$).

Найдем эти точки:

$1 - x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = -1$ и $x = 1$.

Следовательно, пределы интегрирования $a = -1$ и $b = 1$.

Вычисляем объем по формуле:

$V = \pi \int_{-1}^{1} (1 - x^2)^2 dx$

Раскроем скобки в подынтегральном выражении:

$(1 - x^2)^2 = 1 - 2x^2 + x^4$

Вычисляем интеграл:

$V = \pi \int_{-1}^{1} (1 - 2x^2 + x^4) dx = \pi \left[ x - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^5}{5} \right]_{-1}^{1}$

Подставляем пределы интегрирования:

$V = \pi \left( \left( 1 - \frac{2 \cdot 1^3}{3} + \frac{1^5}{5} \right) - \left( (-1) - \frac{2 \cdot (-1)^3}{3} + \frac{(-1)^5}{5} \right) \right)$

$V = \pi \left( \left( 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} \right) - \left( -1 + \frac{2}{3} - \frac{1}{5} \right) \right)$

Раскрываем скобки и упрощаем:

$V = \pi \left( 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} + 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} \right) = \pi \left( 2 - \frac{4}{3} + \frac{2}{5} \right)$

Приводим к общему знаменателю 15:

$V = \pi \left( \frac{2 \cdot 15}{15} - \frac{4 \cdot 5}{15} + \frac{2 \cdot 3}{15} \right) = \pi \left( \frac{30 - 20 + 6}{15} \right) = \pi \left( \frac{16}{15} \right) = \frac{16\pi}{15}$

Ответ: $\frac{16\pi}{15}$

371. Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:
а) $y = x^2$, $y = x$;
б) $y = 2x$, $y = x + 3$, $x = 0$, $x = 1$;
в) $y = x + 2$, $y = 1$, $x = 0$, $x = 2$;
г) $y = \sqrt{x}$, $y = x$.

а) Объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной кривыми $y=f_1(x)$ и $y=f_2(x)$ (где на отрезке $[a, b]$ выполняется $f_1(x) \ge f_2(x) \ge 0$), вычисляется по формуле: $V = \pi \int_a^b (f_1(x)^2 - f_2(x)^2) dx$.
Сначала найдем пределы интегрирования. Для этого найдем точки пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = x$:
$x^2 = x \Rightarrow x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x-1) = 0$.
Точки пересечения имеют абсциссы $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Таким образом, интегрирование будет производиться на отрезке $[0, 1]$.
На отрезке $[0, 1]$ график функции $y = x$ расположен выше графика функции $y = x^2$ (например, при $x=0.5$ имеем $0.5 > 0.25$). Следовательно, $f_1(x) = x$ и $f_2(x) = x^2$.
Теперь вычислим объем тела вращения:
$V = \pi \int_0^1 (x^2 - (x^2)^2) dx = \pi \int_0^1 (x^2 - x^4) dx = \pi \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \pi \left( (\frac{1^3}{3} - \frac{1^5}{5}) - (\frac{0^3}{3} - \frac{0^5}{5}) \right) = \pi \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) = \pi \left( \frac{5 - 3}{15} \right) = \frac{2\pi}{15}$.
Ответ: $\frac{2\pi}{15}$.

б) Фигура ограничена линиями $y = 2x$, $y = x + 3$, $x = 0$ и $x = 1$.
Пределы интегрирования заданы условием: $a=0$, $b=1$.
На отрезке $[0, 1]$ сравним значения функций $y=x+3$ и $y=2x$. Поскольку для любого $x \in [0, 1]$ выполняется неравенство $x \le 1 < 3$, то $2x < x+3$. Таким образом, график функции $y = x+3$ лежит выше графика функции $y=2x$.
Итак, $f_1(x) = x+3$ и $f_2(x) = 2x$.
Вычисляем объем тела вращения:
$V = \pi \int_0^1 ((x+3)^2 - (2x)^2) dx = \pi \int_0^1 (x^2 + 6x + 9 - 4x^2) dx = \pi \int_0^1 (-3x^2 + 6x + 9) dx = \pi \left[ -x^3 + 3x^2 + 9x \right]_0^1 = \pi ((-1^3 + 3 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1) - 0) = \pi (-1 + 3 + 9) = 11\pi$.
Ответ: $11\pi$.

в) Фигура ограничена линиями $y = x + 2$, $y = 1$, $x = 0$ и $x = 2$.
Пределы интегрирования заданы: $a=0$, $b=2$.
На отрезке $[0, 2]$ сравним значения функций $y=x+2$ и $y=1$. Поскольку для любого $x \in [0, 2]$ выполняется $x \ge 0$, то $x+2 \ge 2 > 1$. Следовательно, график функции $y = x+2$ лежит выше прямой $y=1$.
Итак, $f_1(x) = x+2$ и $f_2(x) = 1$.
Вычисляем объем тела вращения:
$V = \pi \int_0^2 ((x+2)^2 - 1^2) dx = \pi \int_0^2 (x^2 + 4x + 4 - 1) dx = \pi \int_0^2 (x^2 + 4x + 3) dx = \pi \left[ \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 3x \right]_0^2 = \pi \left( (\frac{2^3}{3} + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2) - 0 \right) = \pi \left( \frac{8}{3} + 8 + 6 \right) = \pi \left( \frac{8}{3} + 14 \right) = \pi \frac{8 + 42}{3} = \frac{50\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{50\pi}{3}$.

г) Фигура ограничена линиями $y = \sqrt{x}$ и $y = x$.
Найдем пределы интегрирования из точек пересечения графиков:
$\sqrt{x} = x \Rightarrow x = x^2 \Rightarrow x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x-1) = 0$.
Абсциссы точек пересечения: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$. Интегрируем на отрезке $[0, 1]$.
На отрезке $[0, 1]$ график функции $y = \sqrt{x}$ расположен выше графика функции $y = x$ (например, при $x=0.25$ имеем $\sqrt{0.25}=0.5 > 0.25$).
Следовательно, $f_1(x) = \sqrt{x}$ и $f_2(x) = x$.
Вычисляем объем тела вращения:
$V = \pi \int_0^1 ((\sqrt{x})^2 - x^2) dx = \pi \int_0^1 (x - x^2) dx = \pi \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \pi \left( (\frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3}) - 0 \right) = \pi \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = \pi \left( \frac{3 - 2}{6} \right) = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

372. а) Выведите формулу объема шарового сегмента высотой $H$, если радиус шара равен $R$.

б) Выведите формулу объема усеченного конуса высотой $H$ с радиусами оснований $R$ и $r$.

а) Для вывода формулы объема шарового сегмента воспользуемся методом интегрирования (методом дисков). Шаровой сегмент можно рассматривать как тело, полученное вращением криволинейной трапеции вокруг оси Ox.

Расположим шар радиуса $R$ так, чтобы его центр совпадал с началом координат. Уравнение окружности в плоскости Oxy, вращением которой образуется шар, имеет вид $x^2 + y^2 = R^2$. Отсюда радиус поперечного сечения шара на расстоянии $x$ от центра равен $y$, где $y^2 = R^2 - x^2$.

Шаровой сегмент высотой $H$ отсекается плоскостью, перпендикулярной оси вращения. Будем считать, что сегмент расположен так, что его основание находится на расстоянии $x = R - H$ от центра, а вершина — в точке $x = R$.

Объем тела вращения вычисляется как интеграл от площади поперечного сечения $S(x) = \pi y^2$ по оси Ox:

$$ V = \int_{a}^{b} \pi y(x)^2 dx $$

В нашем случае пределы интегрирования от $a = R-H$ до $b = R$. Подставляем выражение для $y^2$:

$$ V = \int_{R-H}^{R} \pi (R^2 - x^2) dx = \pi \int_{R-H}^{R} (R^2 - x^2) dx $$

Найдем первообразную для подынтегральной функции:

$$ \int (R^2 - x^2) dx = R^2x - \frac{x^3}{3} $$

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$$ V = \pi \left[ R^2x - \frac{x^3}{3} \right]_{R-H}^{R} = \pi \left( (R^2 \cdot R - \frac{R^3}{3}) - (R^2(R-H) - \frac{(R-H)^3}{3}) \right) $$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$$ V = \pi \left( \frac{2R^3}{3} - \left( R^3 - R^2H - \frac{R^3 - 3R^2H + 3RH^2 - H^3}{3} \right) \right) $$

$$ V = \pi \left( \frac{2R^3}{3} - R^3 + R^2H + \frac{R^3 - 3R^2H + 3RH^2 - H^3}{3} \right) $$

Приведем все слагаемые в скобках к общему знаменателю 3:

$$ V = \frac{\pi}{3} \left( 2R^3 - 3R^3 + 3R^2H + R^3 - 3R^2H + 3RH^2 - H^3 \right) $$

Сократим подобные члены:

$$ V = \frac{\pi}{3} \left( (2R^3 - 3R^3 + R^3) + (3R^2H - 3R^2H) + 3RH^2 - H^3 \right) = \frac{\pi}{3} (3RH^2 - H^3) $$

Вынесем $H^2$ за скобки, чтобы получить окончательную формулу:

$$ V = \pi H^2 (R - \frac{H}{3}) $$

Ответ: $V = \pi H^2 \left(R - \frac{H}{3}\right)$.

б) Формулу объема усеченного конуса также выведем с помощью интегрирования. Усеченный конус — это тело, полученное вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной основаниям.

Расположим усеченный конус так, чтобы его ось симметрии совпала с осью Ox. Высота конуса $H$ отложена по оси Ox от $x=0$ до $x=H$. Радиус нижнего (большего) основания равен $R$ (при $x=0$), а радиус верхнего (меньшего) основания равен $r$ (при $x=H$).

Радиус $y(x)$ поперечного сечения конуса на расстоянии $x$ от основания является линейной функцией от $x$. Образующая боковой поверхности является отрезком прямой, проходящей через точки $(0, R)$ и $(H, r)$. Уравнение этой прямой имеет вид:

$$ y(x) = R + \frac{r-R}{H}x $$

Объем тела вращения равен интегралу от площади поперечного сечения $S(x) = \pi y(x)^2$:

$$ V = \int_{0}^{H} \pi y(x)^2 dx = \pi \int_{0}^{H} \left( R + \frac{r-R}{H}x \right)^2 dx $$

Раскроем квадрат под знаком интеграла:

$$ \left( R + \frac{r-R}{H}x \right)^2 = R^2 + 2R\frac{r-R}{H}x + \left(\frac{r-R}{H}\right)^2 x^2 $$

Теперь проинтегрируем это выражение по $x$ в пределах от 0 до $H$:

$$ V = \pi \int_{0}^{H} \left( R^2 + \frac{2R(r-R)}{H}x + \frac{(r-R)^2}{H^2}x^2 \right) dx $$

$$ V = \pi \left[ R^2x + \frac{2R(r-R)}{H}\frac{x^2}{2} + \frac{(r-R)^2}{H^2}\frac{x^3}{3} \right]_{0}^{H} $$

Подставим пределы интегрирования. Нижний предел (0) дает ноль, поэтому достаточно подставить только верхний предел ($H$):

$$ V = \pi \left( R^2H + \frac{R(r-R)}{H}H^2 + \frac{(r-R)^2}{H^2}\frac{H^3}{3} \right) $$

$$ V = \pi \left( R^2H + R(r-R)H + \frac{(r-R)^2}{3}H \right) $$

Вынесем общий множитель $\frac{\pi H}{3}$ за скобки:

$$ V = \frac{\pi H}{3} \left( 3R^2 + 3R(r-R) + (r-R)^2 \right) $$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$$ V = \frac{\pi H}{3} \left( 3R^2 + 3Rr - 3R^2 + r^2 - 2Rr + R^2 \right) $$

$$ V = \frac{\pi H}{3} \left( R^2 + Rr + r^2 \right) $$

Ответ: $V = \frac{1}{3} \pi H (R^2 + Rr + r^2)$.

373. Какую работу надо затратить на сжатие пружины на 4 см, если известно, что сила в 2 Н сжимает эту пружину на 1 см?

Для решения этой задачи необходимо выполнить два шага: сначала найти коэффициент жесткости пружины, а затем рассчитать работу, необходимую для ее сжатия на заданную величину.

1. Определение коэффициента жесткости пружины (k)

Согласно закону Гука, сила упругости, возникающая в пружине, прямо пропорциональна ее деформации (сжатию или растяжению). Формула закона Гука выглядит так:

$F = k \cdot x$

где $F$ – приложенная сила, $k$ – коэффициент жесткости пружины, а $x$ – величина сжатия пружины.

Из условия задачи нам известно, что сила $F_1 = 2$ Н сжимает пружину на $x_1 = 1$ см. Перед расчетом необходимо перевести величину сжатия в систему СИ (метры):

$x_1 = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Теперь мы можем выразить и рассчитать коэффициент жесткости $k$:

$k = \frac{F_1}{x_1} = \frac{2 \text{ Н}}{0.01 \text{ м}} = 200 \text{ Н/м}$

2. Расчет работы (A)

Работа, затрачиваемая на сжатие пружины, равна потенциальной энергии, которую пружина накапливает при деформации. Эта работа вычисляется по формуле:

$A = \frac{k \cdot x^2}{2}$

Нам нужно найти работу для сжатия пружины на $x_2 = 4$ см. Снова переведем эту величину в метры:

$x_2 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Теперь подставим известные значения $k$ и $x_2$ в формулу для работы:

$A = \frac{200 \text{ Н/м} \cdot (0.04 \text{ м})^2}{2}$

Выполним вычисления:

$A = \frac{200 \cdot 0.0016}{2} = \frac{0.32}{2} = 0.16 \text{ Дж}$

Ответ: чтобы сжать пружину на 4 см, надо затратить работу в 0.16 Дж.

Сила в $4 \text{ Н}$ растягивает пружину на $8 \text{ см}$. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на $8 \text{ см}$?

Работа, совершаемая при растяжении пружины, равна потенциальной энергии, которую пружина приобретает в результате деформации. Сила, необходимая для растяжения пружины, не является постоянной, а линейно увеличивается с увеличением растяжения. Эта зависимость описывается законом Гука:

$F = kx$

где $F$ – приложенная сила, $k$ – коэффициент жесткости пружины, а $x$ – её растяжение (удлинение).

Работа $A$, совершаемая переменной силой, вычисляется как площадь под графиком зависимости силы от перемещения. Для пружины этот график представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат, а площадь под ним – площадь треугольника. Поэтому работа равна произведению средней силы на величину растяжения:

$A = F_{ср} \cdot x = \frac{F_{начальная} + F_{конечная}}{2} \cdot x$

Так как пружина растягивается из состояния покоя, начальная сила $F_{начальная} = 0$. Формула для работы упрощается:

$A = \frac{F_{конечная}}{2} \cdot x$

В условии задачи даны конечная сила и конечное растяжение.

Дано:
Конечная сила $F = 4$ Н
Растяжение $x = 8$ см

Перед вычислением необходимо перевести единицы измерения растяжения в систему СИ (метры):

$x = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Теперь можно рассчитать работу, подставив значения в формулу:

$A = \frac{4 \text{ Н}}{2} \cdot 0.08 \text{ м} = 2 \text{ Н} \cdot 0.08 \text{ м} = 0.16 \text{ Дж}$

Альтернативный способ решения:

Можно сначала найти коэффициент жесткости пружины $k$ из закона Гука:

$k = \frac{F}{x} = \frac{4 \text{ Н}}{0.08 \text{ м}} = 50 \text{ Н/м}$

Затем вычислить работу как потенциальную энергию пружины $E_p$:

$A = E_p = \frac{kx^2}{2} = \frac{50 \text{ Н/м} \cdot (0.08 \text{ м})^2}{2} = \frac{50 \text{ Н/м} \cdot 0.0064 \text{ м}^2}{2} = 25 \cdot 0.0064 \text{ Дж} = 0.16 \text{ Дж}$

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 0.16 Дж.