Страница 205 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

1) Сформулируйте определение первообразной.

2) Докажите, что функция F является первообразной для функции f на R:

а) $f(x) = 2x + 3, F(x) = x^2 + 3x + 1;$

б) $f(x) = \sin 2x + 3, F(x) = - \frac{\cos 2x}{2} + 3x;$

в) $f(x) = -x^3 + 5, F(x) = - \frac{x^4}{4} + 5x + 2;$

г) $f(x) = -\cos \frac{x}{2} + 1, F(x) = -2 \sin \frac{x}{2} + x.$

3) Является ли функция F первообразной для функции f на заданном промежутке:

а) $F(x) = x^2 - x, f(x) = 2x - 1$ на R;

б) $F(x) = \frac{1}{x^2} - \sin x, f(x) = -\frac{1}{x^3} - \cos x$ на R;

в) $F(x) = x^3 + 1, f(x) = \frac{x^4}{4} + x$ на R,

г) $F(x) = x + \cos x, f(x) = 1 - \sin x$ на R?

1)

Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке $I$, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

2)

Для доказательства того, что функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и убедиться, что она равна $f(x)$.

а) $f(x) = 2x + 3, F(x) = x^2 + 3x + 1$

Найдём производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (x^2 + 3x + 1)' = (x^2)' + (3x)' + (1)' = 2x + 3$.

Сравниваем $F'(x)$ с $f(x)$: $2x + 3 = 2x + 3$.

Поскольку $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in R$, функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Ответ: Доказано.

б) $f(x) = \sin 2x + 3, F(x) = -\frac{\cos 2x}{2} + 3x$

Найдём производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$F'(x) = (-\frac{1}{2} \cos 2x + 3x)' = (-\frac{1}{2} \cos 2x)' + (3x)' = -\frac{1}{2} \cdot (-\sin 2x) \cdot (2x)' + 3 = \frac{1}{2} \sin 2x \cdot 2 + 3 = \sin 2x + 3$.

Сравниваем $F'(x)$ с $f(x)$: $\sin 2x + 3 = \sin 2x + 3$.

Поскольку $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in R$, функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Ответ: Доказано.

в) $f(x) = -x^3 + 5, F(x) = -\frac{x^4}{4} + 5x + 2$

Найдём производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (-\frac{x^4}{4} + 5x + 2)' = (-\frac{1}{4}x^4)' + (5x)' + (2)' = -\frac{1}{4} \cdot 4x^3 + 5 + 0 = -x^3 + 5$.

Сравниваем $F'(x)$ с $f(x)$: $-x^3 + 5 = -x^3 + 5$.

Поскольку $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in R$, функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Ответ: Доказано.

г) $f(x) = -\cos \frac{x}{2} + 1, F(x) = -2 \sin \frac{x}{2} + x$

Найдём производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$F'(x) = (-2 \sin \frac{x}{2} + x)' = (-2 \sin \frac{x}{2})' + (x)' = -2 \cdot \cos \frac{x}{2} \cdot (\frac{x}{2})' + 1 = -2 \cos \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 = -\cos \frac{x}{2} + 1$.

Сравниваем $F'(x)$ с $f(x)$: $-\cos \frac{x}{2} + 1 = -\cos \frac{x}{2} + 1$.

Поскольку $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in R$, функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Ответ: Доказано.

3)

Чтобы проверить, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, необходимо найти производную $F'(x)$ и сравнить её с $f(x)$.

а) $F(x) = x^2 - x, f(x) = 2x - 1$ на $R$

Найдём производную функции $F(x)$: $F'(x) = (x^2 - x)' = 2x - 1$.

Сравниваем $F'(x)$ с $f(x)$: $F'(x) = 2x - 1$ и $f(x) = 2x - 1$.

Равенство $F'(x) = f(x)$ выполняется для всех $x \in R$.

Ответ: Да, является.

б) $F(x) = \frac{1}{x^2} - \sin x, f(x) = -\frac{1}{x^3} - \cos x$ на $R$

Найдём производную функции $F(x) = x^{-2} - \sin x$:

$F'(x) = (x^{-2} - \sin x)' = -2x^{-3} - \cos x = -\frac{2}{x^3} - \cos x$.

Сравниваем $F'(x)$ с $f(x)$: $-\frac{2}{x^3} - \cos x \neq -\frac{1}{x^3} - \cos x$.

Равенство $F'(x) = f(x)$ не выполняется. Кроме того, функция $F(x)$ не определена в точке $x=0$, поэтому она не может быть первообразной на всём множестве действительных чисел $R$.

Ответ: Нет, не является.

в) $F(x) = x^3 + 1, f(x) = \frac{x^4}{4} + x$ на $R$

Найдём производную функции $F(x)$: $F'(x) = (x^3 + 1)' = 3x^2$.

Сравниваем $F'(x)$ с $f(x)$: $3x^2 \neq \frac{x^4}{4} + x$.

Равенство $F'(x) = f(x)$ не выполняется.

Ответ: Нет, не является.

г) $F(x) = x + \cos x, f(x) = 1 - \sin x$ на $R$

Найдём производную функции $F(x)$: $F'(x) = (x + \cos x)' = (x)' + (\cos x)' = 1 - \sin x$.

Сравниваем $F'(x)$ с $f(x)$: $F'(x) = 1 - \sin x$ и $f(x) = 1 - \sin x$.

Равенство $F'(x) = f(x)$ выполняется для всех $x \in R$.

Ответ: Да, является.

2. 1) Сформулируйте признак постоянства функции на заданном промежутке. Сформулируйте основное свойство первообразной.

2) Запишите общий вид первообразных для функции:

а) $f(x) = kx + b$ (k и b — постоянные);

б) $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$;

в) $f(x) = x^n$ (n — целое число, $n \neq -1$);

г) $f(x) = \cos x$.

3) Для функции f найдите первообразную F, принимающую заданное значение в данной точке:

а) $f(x) = \sin x - \cos x, F(\pi) = 1$;

б) $f(x) = \frac{x^2}{3} - \frac{3}{x^2}, F(3) = 5$;

в) $f(x) = 2x - 5, F(1) = -2$;

г) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-2}}, F(6) = 10$.

1) Признак постоянства функции: Если производная функции $f(x)$ равна нулю на некотором промежутке $I$ (то есть $f'(x) = 0$ для любого $x \in I$), то эта функция является постоянной на данном промежутке (то есть $f(x) = C$, где $C$ — некоторая константа).
Основное свойство первообразной: Если функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на промежутке $I$, то любая другая первообразная для функции $f(x)$ на этом же промежутке может быть представлена в виде $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная. Это означает, что все первообразные одной и той же функции отличаются друг от друга на константу.

2) а) Для функции $f(x) = kx + b$ общий вид первообразных находится интегрированием каждого слагаемого. Первообразная для $kx$ равна $k \frac{x^2}{2}$, а для $b$ — $bx$. Добавляя константу интегрирования $C$, получаем общий вид.
Ответ: $F(x) = k\frac{x^2}{2} + bx + C$.

2) б) Функция $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$ является производной для функции $\tan x$. Следовательно, для нахождения общего вида первообразных нужно добавить константу $C$.
Ответ: $F(x) = \tan x + C$.

2) в) Для степенной функции $f(x) = x^n$ (при $n \neq -1$) первообразная находится по формуле $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$. Добавляем константу $C$ для получения общего вида.
Ответ: $F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

2) г) Функция $f(x) = \cos x$ является производной для функции $\sin x$. Общий вид первообразных получаем, прибавив константу $C$.
Ответ: $F(x) = \sin x + C$.

3) а) Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = \sin x - \cos x$:
$F(x) = \int (\sin x - \cos x) dx = -\cos x - \sin x + C$.
Теперь используем заданное условие $F(\pi) = 1$, чтобы найти константу $C$:
$F(\pi) = -\cos(\pi) - \sin(\pi) + C = -(-1) - 0 + C = 1 + C$.
Так как $F(\pi) = 1$, то $1 + C = 1$, откуда $C = 0$.
Подставляем значение $C$ в общий вид первообразной.
Ответ: $F(x) = -\cos x - \sin x$.

3) б) Запишем функцию в виде $f(x) = \frac{1}{3}x^2 - 3x^{-2}$. Найдем общий вид первообразной:
$F(x) = \int (\frac{1}{3}x^2 - 3x^{-2}) dx = \frac{1}{3}\frac{x^3}{3} - 3\frac{x^{-1}}{-1} + C = \frac{x^3}{9} + \frac{3}{x} + C$.
Используем условие $F(3) = 5$ для нахождения $C$:
$F(3) = \frac{3^3}{9} + \frac{3}{3} + C = \frac{27}{9} + 1 + C = 3 + 1 + C = 4 + C$.
Так как $F(3) = 5$, то $4 + C = 5$, откуда $C = 1$.
Подставляем найденное значение $C$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{9} + \frac{3}{x} + 1$.

3) в) Найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = 2x - 5$:
$F(x) = \int (2x - 5) dx = 2\frac{x^2}{2} - 5x + C = x^2 - 5x + C$.
Используем условие $F(1) = -2$ для нахождения $C$:
$F(1) = 1^2 - 5(1) + C = 1 - 5 + C = -4 + C$.
Так как $F(1) = -2$, то $-4 + C = -2$, откуда $C = 2$.
Подставляем найденное значение $C$.
Ответ: $F(x) = x^2 - 5x + 2$.

3) г) Запишем функцию в виде $f(x) = (x-2)^{-1/2}$. Найдем общий вид первообразной:
$F(x) = \int (x-2)^{-1/2} dx = \frac{(x-2)^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{x-2} + C$.
Используем условие $F(6) = 10$ для нахождения $C$:
$F(6) = 2\sqrt{6-2} + C = 2\sqrt{4} + C = 2 \cdot 2 + C = 4 + C$.
Так как $F(6) = 10$, то $4 + C = 10$, откуда $C = 6$.
Подставляем найденное значение $C$.
Ответ: $F(x) = 2\sqrt{x-2} + 6$.

3. 1) Сформулируйте три правила нахождения первообразных.

2) Найдите общий вид первообразных для функции:

а) $f (x) = \sin 3x - \frac{2}{\cos^2 \frac{x}{2}}$

б) $f (x) = \frac{3}{x^4} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$

в) $f (x) = (4 - 5x)^3 - \frac{1}{(2x - 1)^3}$

г) $f (x) = x - 10 \cos 2x$

3) Для функции $f$ найдите первообразную, график которой проходит через точку $M$:

а) $f (x) = (2 - 3x)^2$, $M (1; 2)$

б) $f (x) = \sin 2x$, $M (\frac{\pi}{4}; -2)$

в) $f (x) = \sqrt{2} \cos x$, $M (\frac{\pi}{4}; 2)$

г) $f (x) = -\frac{1}{\sqrt{x+1}}$, $M (0; 3)$

1) Сформулируйте три правила нахождения первообразных.

Существует несколько правил, которые упрощают нахождение первообразных (интегрирование). Вот три основных:

• Правило суммы/разности: Если для функций $f(x)$ и $g(x)$ существуют первообразные $F(x)$ и $G(x)$ соответственно, то для функции $f(x) \pm g(x)$ первообразной будет являться функция $F(x) \pm G(x)$. Иначе говоря, первообразная суммы/разности функций равна сумме/разности их первообразных.
• Правило постоянного множителя: Если для функции $f(x)$ существует первообразная $F(x)$, а $k$ — постоянная величина (константа), то для функции $k \cdot f(x)$ первообразной будет являться функция $k \cdot F(x)$. То есть, постоянный множитель можно выносить за знак первообразной.
• Правило для сложной функции вида $f(kx+b)$ (правило линейной подстановки): Если для функции $f(x)$ существует первообразная $F(x)$, а $k$ и $b$ — постоянные величины, причем $k \neq 0$, то для функции $f(kx+b)$ первообразной будет являться функция $\frac{1}{k}F(kx+b)$.

2) Найдите общий вид первообразных для функции:

а) $f(x) = \sin 3x - \frac{2}{\cos^2 \frac{x}{2}}$

Для нахождения общего вида первообразных $F(x)$ необходимо найти неопределенный интеграл от функции $f(x)$. Используем правило суммы/разности, правило постоянного множителя и правило для сложной функции.

$F(x) = \int \left(\sin 3x - \frac{2}{\cos^2 \frac{x}{2}}\right) dx = \int \sin 3x dx - 2\int \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} dx$

Первообразная для $\sin x$ есть $-\cos x$, а для $\sin 3x$ — это $-\frac{1}{3}\cos 3x$.

Первообразная для $\frac{1}{\cos^2 x}$ есть $\tan x$, а для $\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}$ — это $\frac{1}{1/2}\tan \frac{x}{2} = 2\tan \frac{x}{2}$.

Тогда:

$F(x) = -\frac{1}{3}\cos 3x - 2 \cdot \left(2\tan \frac{x}{2}\right) + C = -\frac{1}{3}\cos 3x - 4\tan \frac{x}{2} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{3}\cos 3x - 4\tan\frac{x}{2} + C$.

б) $f(x) = \frac{3}{x^4} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Перепишем функцию в виде со степенями: $f(x) = 3x^{-4} - \frac{1}{2}x^{-1/2}$.

Используем правило для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$F(x) = \int \left(3x^{-4} - \frac{1}{2}x^{-1/2}\right) dx = 3\int x^{-4} dx - \frac{1}{2}\int x^{-1/2} dx$

$F(x) = 3 \cdot \frac{x^{-4+1}}{-4+1} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = 3 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = -x^{-3} - x^{1/2} + C$.

Возвращаясь к исходной форме записи:

$F(x) = -\frac{1}{x^3} - \sqrt{x} + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x^3} - \sqrt{x} + C$.

в) $f(x) = (4-5x)^3 - \frac{1}{(2x-1)^3}$

Перепишем функцию: $f(x) = (4-5x)^3 - (2x-1)^{-3}$.

Для обоих слагаемых применим правило для функции $(kx+b)^n$, первообразная которой равна $\frac{1}{k}\frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1}$.

$F(x) = \int (4-5x)^3 dx - \int (2x-1)^{-3} dx$

Для первого слагаемого: $k=-5, n=3$. Первообразная: $\frac{1}{-5} \cdot \frac{(4-5x)^{3+1}}{3+1} = -\frac{(4-5x)^4}{20}$.

Для второго слагаемого: $k=2, n=-3$. Первообразная: $\frac{1}{2} \cdot \frac{(2x-1)^{-3+1}}{-3+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x-1)^{-2}}{-2} = -\frac{(2x-1)^{-2}}{4} = -\frac{1}{4(2x-1)^2}$.

Собираем вместе: $F(x) = -\frac{(4-5x)^4}{20} - \left(-\frac{1}{4(2x-1)^2}\right) + C = -\frac{(4-5x)^4}{20} + \frac{1}{4(2x-1)^2} + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{(4-5x)^4}{20} + \frac{1}{4(2x-1)^2} + C$.

г) $f(x) = x - 10 \cos 2x$

$F(x) = \int (x - 10 \cos 2x) dx = \int x dx - 10 \int \cos 2x dx$.

Первообразная для $x$ равна $\frac{x^2}{2}$.

Первообразная для $\cos 2x$ равна $\frac{1}{2}\sin 2x$.

$F(x) = \frac{x^2}{2} - 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\sin 2x\right) + C = \frac{x^2}{2} - 5\sin 2x + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} - 5\sin 2x + C$.

3) Для функции f найдите первообразную, график которой проходит через точку M:

а) $f(x) = (2 - 3x)^2, M(1; 2)$

Сначала найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int (2 - 3x)^2 dx = \frac{1}{-3} \cdot \frac{(2 - 3x)^{2+1}}{2+1} + C = -\frac{(2 - 3x)^3}{9} + C$.

Теперь найдем константу $C$, используя условие, что график проходит через точку $M(1; 2)$, то есть $F(1) = 2$.

$-\frac{(2 - 3 \cdot 1)^3}{9} + C = 2$

$-\frac{(-1)^3}{9} + C = 2$

$\frac{1}{9} + C = 2$

$C = 2 - \frac{1}{9} = \frac{18}{9} - \frac{1}{9} = \frac{17}{9}$.

Искомая первообразная: $F(x) = -\frac{(2 - 3x)^3}{9} + \frac{17}{9}$.

Ответ: $F(x) = -\frac{(2 - 3x)^3}{9} + \frac{17}{9}$.

б) $f(x) = \sin 2x, M(\frac{\pi}{4}; -2)$

Общий вид первообразной:

$F(x) = \int \sin 2x dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C$.

Используем условие $F(\frac{\pi}{4}) = -2$ для нахождения $C$.

$-\frac{1}{2}\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) + C = -2$

$-\frac{1}{2}\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + C = -2$

$-\frac{1}{2} \cdot 0 + C = -2 \implies C = -2$.

Искомая первообразная: $F(x) = -\frac{1}{2}\cos 2x - 2$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2}\cos 2x - 2$.

в) $f(x) = \sqrt{2} \cos x, M(\frac{\pi}{4}; 2)$

Общий вид первообразной:

$F(x) = \int \sqrt{2} \cos x dx = \sqrt{2} \int \cos x dx = \sqrt{2}\sin x + C$.

Используем условие $F(\frac{\pi}{4}) = 2$ для нахождения $C$.

$\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + C = 2$

$\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + C = 2$

$\frac{2}{2} + C = 2 \implies 1 + C = 2 \implies C = 1$.

Искомая первообразная: $F(x) = \sqrt{2}\sin x + 1$.

Ответ: $F(x) = \sqrt{2}\sin x + 1$.

г) $f(x) = -\frac{1}{\sqrt{x+1}}, M(0; 3)$

Перепишем функцию: $f(x) = -(x+1)^{-1/2}$.

Общий вид первообразной:

$F(x) = \int -(x+1)^{-1/2} dx = -\frac{(x+1)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = -\frac{(x+1)^{1/2}}{1/2} + C = -2\sqrt{x+1} + C$.

Используем условие $F(0) = 3$ для нахождения $C$.

$-2\sqrt{0+1} + C = 3$

$-2 \cdot 1 + C = 3$

$-2 + C = 3 \implies C = 5$.

Искомая первообразная: $F(x) = -2\sqrt{x+1} + 5$.

Ответ: $F(x) = -2\sqrt{x+1} + 5$.